最新考研大纲

2011考研大纲

2011 年全国硕士研究生入学考试数学(一)考试大纲考

考试科目：

高等数学、线性代数、概率论与数理统计

高等数学

试卷结构

（一）题分及考试时间

试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。

（二）内容比例

高等教学约 60％

线性代数约 20%.

概率论与数理统计 20％

（三）题型比例

填空题与选择题约 40％

*解答题(包括证明题) 约 60%

一、函数、极限、连续

考试内容

*函数的概念及表示法函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数 M 使f(x)

则无界，注意与无穷大的区别-如振荡型函数)、单调性、周期性(注意周期函数的定积分性质)和奇偶性(奇偶

*性的前提是定义域关于原点对称 ) 复合函数 (两个函数的定义域值域之间关系 )、反函数(函数必须严格单

调，则存在单调性相同的反函数且与其原函数关于y=x 对称)、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及

其图形初等函数函数关系的建立(应用题)

数列极限 (转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理)与函数极限(四则变换无穷小代换积分中值定理

**洛必塔法则泰勒公式 -要齐次展开 )的定义及其性质 (局部保号性 ) 函数的左极限与右极限(注意正负号 )

*无穷小(以零为极限 )和无穷大(大于任意正数 )的概念及其关系无穷小的性质 (和性质积性质)及无穷小的

**比较(求导定阶) 极限的四则运算(要在各自极限存在的条件下) 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹.

*逼准则两个重要极限:

*函数连续的概念(点极限存在且等于函数值) 函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型第二型

*(无定义)：无穷型，振荡型) 初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理)

考试要求

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

*4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

*5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值

定理、介值定理），并会应用这些性质．

二、一元函数微分学

考试内容。

**导数和微分的概念(点可导与域可导的关系) 导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的

关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数

**以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数 (数学归纳法赖布妮子公式法 ) 一阶微分形式的不变性

*微分中值定理(闭区间连续开区间可导ζ不是常数) 洛必达（L’Hospital）法则(注意使用条件洛必塔求解

**不存在时，原极限可能存在) 函数单调性的判别(利用导数) 函数的极值(极值的判定：定义一阶去心邻

*域可导且左右邻域导数异号二阶可导且该点一阶导为零) 函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线(求解

*步骤：垂直水平斜) 函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念(有绝对值注意参数

*方程公式) 曲率半径

考试要求

*1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和

法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算

法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上 dx)．

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．

4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数

5．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理(典型函数的展开)，了解并会用柯西中值定理．

6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．(洛必达法则受阻时：拆项积分中值中值定理)

7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法(一阶导定点二阶导定性)，

掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．

8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

三、一元函数积分学

考试内容

*原函数和不定积分的概念 (被积函数的要求连续只是原函数存在的充分条件 )不定积分的基本性质(线性

**和差与求导互逆) 基本积分公式定积分的概念(求极限的应用)和基本性质(注意上下限的位置线性分

***区间上限大于下限时比大小估值定理 ) 定积分中值定理用定积分表达和计算质心积分上限的函数

**及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法(换元要彻底，不要

*忘了 dx 定积分换元要注意上下限也要换)与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的

*积分广义积分概定积分的应用

考试要求

1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积

分法(常见代换：倒代换三角换元万能代换不要跳步计算，以免出现毁灭性的低级失误)．

3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．

4．理解积分上限的函数，会求它的导数(用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题)，掌握牛顿一莱

布尼茨公式．

5．了解广义积分的概念，会计算广义积分(用极限的观点)．