齿轮加工(根切与最小齿数)汇总
渐开线齿轮的加工及问题分析
渐开线齿轮的加工及问题分析作者：庞立军来源：《商情》2017年第18期摘要：渐开线齿轮的加工可以采用的方法有多种，其中使用最多的是切削法。
按切削原理又分成了仿形法和展成法。
切齿过程中存在相应的问题，为了帮助学生更好地理解齿轮加工，在此分析一下仿形法加工的精度问题，展成法加工的根切现象及解决的方法。
这些内容对学生的学习具有重要意义。
关键词：齿轮加工仿形法近似切削展成法根切变位齿轮学生通过学习齿轮传动类型，传动原理以及参数和尺寸计算，对齿轮传动有了一定程度的了解。
但要想进一步做好今后的实际工作，它们还必须了解齿轮的制作过程。
轮齿的成型过程，齿形的制作原理等。
现以渐开线齿轮的加工为例，对齿轮的加工及出现的一些问题进行说明。
渐开线齿轮的加工，可以采用的方法有热轧、铸造、精锻、切削加工等。
其中最常用、最基本的是切削加工法。
切削加工法按其切齿原理可分为仿形法和展成法两类。
一、仿形法1、仿形法加工原理仿形法顾名思义就是模仿被切齿轮齿槽的形状进行切削。
其原理如图1所示。
刀具的剖面形状与被切齿轮的齿槽形状相同，逐一把齿轮毛坯上多余的材料切掉，就可以制造出一个成型齿轮。
仿形法切削加工在普通铣床上即可进行，采用在其轴向剖面内与被切齿轮齿槽的形状相同的成形刀具切制齿轮。
图示1为用盘状铣刀切制齿轮的情况。
切制过程中，铣刀转动，同时齿轮坯沿齿轮轴线的方向直线移动；切出一个齿槽后，由分度机构将轮坯转过360°/Z，再切制第二个齿槽，直至加工完整个齿轮。
2、仿形法加工的特点及带来的问题仿形法加工方法简单，操作方便，不需要专门的齿轮加工设备。
可以把它想象成配钥匙操作。
但是，齿形轮廓曲线为渐开线，而渐开线的形状是由基圆的大小决定，由于铣制相同模数不同齿数的齿轮是用一组有限数目的齿轮铣刀来完成的。
在工作中我们不可能针对所有齿数的齿轮配备相应的刀具，而是齿数相近的齿轮合用一把道具。
因此，所选铣刀不可能与要求齿形准确吻合，这种方法属于近似加工，加工出的齿形不够准确，另外，轮齿的分度有误差，制造精度较低；并且切削的过程是断续的，生产效率降低。
渐开线标准齿轮不发生根切时的最少齿数
ｈ ｍ≤ ＮＭ
但 ＿ ｓ ｎ ｒｉ２ 一ｍｚｉ。 ＿ ｉ — ｓ ｓ ａ ｎ ｎａ ｎ ｚ ≥ 因 ａ ０ 一２ 。
Ｚ≥ １ ． ９ ２ ４ １ ７ ０ ７ ６ ４
代 入 上 式 并 整 理 得 ： １代 入 上 式 则 有 ： ，
由上 式 可 以看 出 ： 当齿 数 Ｚ为 １ ７齿 时 ， 有 极 小 根 切 。所 仍 齿条 刀具 的 中线 与被 切 齿 轮 的 分 度 圆 切 于 节 点 Ｐ 而 刀 具 ， 齿顶 线 与 啮合 线 的 交 点 Ｂ 已 经 超 过 了被 切 齿 轮 的 极 限 点 Ｎ。 ｚ 图 中 点 Ｂ 为 被 切 齿 轮 齿 顶 圆 与 啮 合 线 的 交 点 。 当 刀 具 齿 廓 从 点 Ｂ 开 始 向右 送 进 到 它 通 过 点 Ｎ 的 位 置 ｃ ， 具 齿 廓 的 ＮＦ ， 时 刀 以渐 开 线 标 准 齿 轮 不 发 生根 切 时 的最 少 齿 数 为 １ ８齿 ， 即
如 前 所 述 ， 用 展 成 法 加 工 齿 轮 时 ， 刀 具 的齿 顶 线 超 过 了 当 若
啮合 极 限 点 Ｎ， 将 发 生 根 切 现 象 。所 以 要 避 免 就 必 须 使 刀 具 必 的齿 顶 线 不超 过 极 限点 Ｎ。 如 图示 ：
ｏ
／ ７ 、
‘
根切的齿廓将使轮齿的弯曲强度大大减弱 ， 合度下降 ， 重 破
Ｚｍ ｉ ｎ＝ １８
（ 任编辑 ： 责 谢
嵩）
。
发 生根 切 时 的 最 少 齿 数 为 １ ７齿 。 但 经 过 理 论 分 析 计 算 ， 现 发
１ 齿 时仍 有根 切 ， 以 渐 开 线 标 准 齿 轮 不 发 生 根 切 时 的 最 少齿 ７ 所
机械基础教案三§3-6齿轮的根切现象、最少齿数和变化齿轮简介
课题§3-6齿轮的根切现象、最少齿数和变化齿轮简介授课日期教材分析本节主要介绍了轮齿的加工方法，及齿轮的根切现象和最少齿数。
学情分析学生虽然了解了常用齿轮形状的特点，但对这些齿轮的加工过程、方法缺少认识。
教学目标了解和理解齿轮的加工方法及根切现象和最少齿数，简单地了解变位齿轮的的概念及其应用。
重点齿轮的加工加工方法与根切现象。
难点变位齿轮的概念及应用。
教学内容活动【导入】齿轮的加工方法有很多一般有冲压、铸造、轧制、粉末冶金等方法外，常用的方法有是经过切削加工而成的。
切削加工就齿形形成的原理不同，可分为仿型法和展成法两类。
【新课】一、齿轮的加工方法1、仿型法（成型法）原理:利用与齿廓曲线相同的成形刀具直接切除齿槽加工出的齿形的方法。
刀具的形状与齿槽的轮廓形状相同。
盘状铣刀铣刀指状铣刀特点：逐齿加工，分度累积误差大，生产效率低，加工精度低。
应用：单齿修配.2、展成法原理：利用齿轮的啮合原理常用的加工方法：滚齿、插齿、剃齿、珩齿、磨齿。
特点： 1、一把刀具适用于同一模数的齿轮加工2、加工精度和生产效率高，但必须使用专门的机床。
应用：主要应用于成批、大量生产。
二、齿轮的根切现象和最少齿数1、 根切现象用展成法切削加工渐开线齿轮时，如果被加工齿轮的齿数太少，会出现齿轮刀具的顶部切入轮齿的根部，使轮齿根部渐开线齿廓被多切去一部分。
原因：齿数太少后果：承载能力，传动平稳性。
.2、最少齿数Z min =2sin 2*a h 标准齿轮：注：用仿型法加工无根切现象，但当Z<17时两齿轮齿根会相互干涉，影响正常传动。
三、变位齿轮的简介1、标准齿轮的局限（1）齿数Z<17会产生根切或存在齿根干涉现象；（2）小齿轮寿命低（3）标准齿轮不适用于非标准中心距的场合；（4）经济性差。
2、齿轮变位的概念：、齿条型刀具的基准平面与被加工齿轮的分度圆柱面（1）相切----标准圆柱齿轮（2）分离----正变位齿轮（X>0）+Xs>e,且齿根变厚，齿顶变尖，承载能力。
齿轮的根切
度均减小， 而齿根高 和齿顶厚度则增加，齿轮抗弯强度降低。 二、变位加工后应用 在一对大小齿轮传动中，通常小齿轮采用正变位，齿顶高增大，齿 根高减小，齿根变厚，强度和寿命提高，还可避免根切；大齿轮采用负变 位，齿顶高减小，齿根高增大，齿根强度有所减弱。由于大齿轮强度较高， 选择适当的变位系数后，可以使一对大小齿轮的强度和使用寿命相近。 复习小结 布置作业
师生问答
教 学 后 记
复习提问 新课讲授
板书、 明胶片 一．齿轮加工原理 齿轮的加工方法很多，如铸造、热轧、冲压、模锻及切削加工等。现 介绍常用的两种切削加工原理。 方法 比较项目 原理 工 所用机器 普通铣床
仿形法 成形铣刀加 理
范成法 齿轮的啮合原 专用插齿、滚齿和
磨齿机床 逐齿切削的， 且不连 加工是连续的， 精度 加工特点 续， 所以精度差， 效 和效率较高， 率低 仅适用于单件生产 和精度要求不高的 齿轮加工 二．根切现象 1、 根切现象 成法加工渐开线标准齿轮时，如被切齿轮的齿数过少，刀具顶线 就会超过啮合线与被切齿轮基圆的切点N1 ，刀刃将轮齿根部的渐开线 齿廓切去，这种现象称为根切现象。 根切后轮齿弯曲强度降低，重合度减小，对传动很不利，因此应当避 免根切。 2、 最少齿数 成法加工渐开线齿轮时，是否产生根切取决于被切齿轮的齿数多 少。我们把不产生根切现象的极限齿数称为最少齿数。 用标准齿条刀具切制标准渐开线齿轮而不发生根切， 被切齿轮的最少齿 数为： Zmin ＝2ha ／sin2α 当α ＝20°, ha ＝1 时, Zmin ＝17； 当α ＝20°, ha ＝0.8 时, Zmin ＝14。 三、变位齿轮及基本特点 由齿轮加工原理可知， 当齿条插刀的中线与被切齿轮的分度圆相切时， 加工出标准齿轮。若齿条刀具的中线与被切齿轮的分度圆不相切时，则加 工出变位齿轮。 刀具中线相对于加工标准齿轮时移动的距离称为变位置，用 Xm 表示。 其中 m 为齿轮的模数，Ｘ称为变位系数。当刀具离移被切齿轮中心时，Ｘ 取正值，称正变位，当刀具移近被切齿轮中心时，Ｘ为负值，称为负变位。 两个特点： 1．不论是正变位还是负变位，刀具变位后的节线与齿轮的分度圆相切 批量和精度要求较 高的场合
齿轮根切
§根切现象
齿廓根切 ：用范成法切制齿轮时，有时刀具会把轮齿根部已 切制好的渐开线齿廓再切去一部分，这种现象称为根切现象。
0
齿顶线
r rb
N1
c 齿轮根切现象
B2
B1
节线
刀刃 Ⅱ
产生根切的原因：当刀具齿顶线与啮合线的交点超过啮合极限点 N1，刀具由位置Ⅱ继续移动时，便将根部已切制出的渐开线齿廓 再切去一部分。
O1
rb
φ
α
r
根切
刀具沿水平移动的距离： N1M ＝rφ
沿法线移动的距离： N1K ＝ N1Mcosα ＝ rφcosα 弧长与直线长度相等： N 1 K ＝ N 1 N ’1
N ’1N1ຫໍສະໝຸດ B2αK M
α
B1 1 2
P 3 发生根切 4
已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；
结论：刀具齿顶线超过极限啮合点N1，必发生根切。 根切条件为： PB2>PN1
α
r N1 B2 O1 rb
标准齿轮不产生根切的最小齿数为 P zmin=17
根切原因:
当B2落在N1点的下方： PB2<PN1
刀具 位置1:开始切削齿间；
位置2:开始切削渐开线齿廓； O1 ra
rb
r N1
B2
位置3:切削完全部齿廓.
1
α
P
B1
2
3
PB2<PN1 不根切
当B2落在N1点上： PB2=PN1
O1 rb
N1 B2 1
B1 2
P
3
PB2=PN1 不根切
到达位置4时，轮坯转过φ 基圆转过的弧长为： N 1 N ’1 ＝ r bφ ＝ rφcosα
圆柱斜齿轮不根切的最少齿数
圆柱斜齿轮不根切的最少齿数在机械工程的世界里，圆柱斜齿轮可谓是一颗璀璨的明珠。
想象一下，它就像一位优雅的舞者，在齿轮的舞台上翩翩起舞，完美地传递着动力。
但是，嘿，你知道吗？要让这位舞者在舞台上尽情展现，必须有足够的“舞伴”。
这就引出了一个重要的问题：不根切的最少齿数到底是多少呢？这一点可真不能小觑。
让我们简单聊聊什么是“不根切”。
简单来说，这种情况就像你不想让你的舞者踩到自己的脚，而是要确保每个舞步都稳稳当当。
根切是指齿轮在加工过程中，切削过深，导致齿根部分变得脆弱，就像一个舞者的脚踝受了伤，无法再跳出优美的舞姿。
为了避免这种情况，设计时就得考虑齿数的问题。
齿数越少，根切的风险越高。
这就像你在拼图时，拼得越少，错位的可能性就越大。
究竟多少齿才算是“安全”的呢？很多工程师建议，至少得有17到20个齿。
这就像你找朋友聚会，不能只叫一两个，至少得有一群人才热闹嘛。
齿数少了，传动的稳定性就不够，齿轮间的啮合就会变得松松垮垮，动力传递就像一只掉了链子的自行车，蹬也蹬不动，真是心烦意乱。
想要达到最佳效果，还得考虑到齿轮的材料和制造精度。
材料越坚固，齿数可以适当减少，但不能小看了制造精度，细节决定成败，啮合不良可就得不偿失。
这就像烹饪，食材好不一定能做出美味的菜，如果火候没掌握好，那可就惨了。
记住，齿轮设计可不是随便糊弄的，得认真对待。
我们再聊聊齿轮的布局。
合理的布局可以让动力传递更加顺畅。
就像我们在排队，大家站得整整齐齐，才能快速通过。
如果每个人都东倒西歪，那排队的速度可想而知。
所以在设计斜齿轮时，合理安排齿数和角度，才能让齿轮间的配合如鱼得水。
斜齿轮的工作环境也会影响齿数的选择。
如果是在高负荷、高速的环境下，齿数就得相应增加，以防止因摩擦过大而造成的磨损。
这就像在跑步比赛中，有的人喜欢慢慢跑，有的人则是风驰电掣，竞争压力大时，装备可得升级，才能立于不败之地。
我们也不能忽视润滑的重要性。
润滑就像舞者的护膝，减少摩擦，保护关节。
第五章 齿轮机构及其设计习题解答
5.１ 设已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮1的角速度1ω的方向如图5.4（a ）所示。
试作出啮合线，并指出理论啮合线和实际啮合线。
【分析】根据渐开线的性质，啮合线必和两轮的基圆相切，由于1ω逆时针方向旋转，故其应切于轮1基圆的左下方和轮2的右上方，设切点分别为1N 、212N N N ，与轮1和轮2齿顶圆的交点分别为21B B 和，则21N N 为理论啮合线，21B B 为实际啮合线。
解：如图5.4（b ）所示。
【评注】本题主要考查对渐开线齿轮啮合原理和渐开线的性质及其相关知识的理解。
(a) (b)图5.45.2 在图 5.5所示轮系中，已知系杆H 为输入端，1000=H n min /r ，而齿轮4为输出端，min /104r n =，它们的转向如图所示。
20mm,3,99,101321=====αm z z z ，且均为直齿圆柱齿轮。
试求：（1）轮4的齿数4z ?（2）若齿轮1、2采用标准齿轮传动，求齿轮3、4的啮合角，说明无侧隙啮合时采用的传动类型。
（3）若齿轮1、2采用标准齿轮，而齿轮3、4改用斜齿圆柱齿轮，法面模数mm 3=n m ，3、4轮的β角应为多少？【分析】本题第一问涉及行星轮系传动比的计算，关于这方面的内容在第11章中将专门讨论。
其余二问涉及到齿轮传动与啮合角的关系，斜齿轮传动的中心距计算公式等，有关公式应当在理解基础上能够记住。
解：（1）求轮4的齿数。
21431441z z z z n n n n i H H H⋅=--=10010001010009910199412134=+⨯⨯=--⋅=HH n n n n z z z z图5.5（2）计算啮合角。
1，2为标准齿轮 mm 30023)10199(2)(2112=⨯+=+=mz z a而 mm 5.29823)10099(2)(4334=⨯+=+=mz z a要使轮系满足同心条件，则mm,300'34=a 故3，4轮的啮合角'34a 为 ︒=︒==773.2030020cos 5.298cos arccos1234'34a a a α由于mm 5.2983003412'34=>==a a a 故为正传动。
【2024版】轮齿切削加工原理讲解
PB刀 ha*m / sin
r
z 2ha* / sin2
• 标准齿轮无根切最少齿数
zmin 2ha* / sin2
❖ 当ha*=1.0, =200时, zmin= 17 2 变位: 加大刀具与齿轮中心距离，使
刀具齿顶线低于N1 ❖ 变位量： xm，变位系数x
❖ 正变位齿轮：xm>0
xm h*am
仿形法
• 盘铣刀 • 指状铣刀
• 仿形铣刀(盘/指):刀齿与齿轮齿 槽相同--旋转+直移
• 齿轮毛坯: 间歇旋转 切削
切削
进
给
空
回
分
分度
度
进给
空回
机械设计基础 ——齿轮传动
仿形法加工特点
• 刀齿形状与齿轮齿槽形状相同
• 优点:普通铣床加工
问题: • 精度低
• 生产率低
• 分度误差
• 空回行程
• 刀具齿形误差
机械设计基础 ——齿轮传动
5-6 轮齿切削加工原理
• 近代齿轮加工方法很多，如切制法、铸造法、 热扎法、冲压法、电加工法等
• 但从加工原理的角度看，可将齿轮加工方法归 为两大类：
• 仿形法 – 铣削法实际加工 – 拉削法实际加工
• 范成法 – 插齿法实际加工 – 滚齿法实际加工
机械设计基础 ——齿轮传动
O’1
r’ O1 b
rb
N’1 N1
B
刀
P
B’刀
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
机械设计基础-齿轮传动-根切现象
当被加工齿轮齿数小于zmin时，为避免根切，可以采用将刀具移离齿坯，使刀具顶线低于极限啮合点Nl的办法来切齿。这种采用改变刀具与齿坯位置的切齿方法称作变位。刀具中线（或分度线）相对齿坯移动的距离称为变位量（或移距）X，常用xm表示，x称为变位系数。刀具移离齿坯称正变位，x＞0；刀具移近齿坯称负变位，x＜0。变位切制所得的齿轮称为变位齿轮。
2．最少齿数zmin
从上面讨论的根切的原因可知，要避免根切，就必须使刀具的顶线不超过N1点。如图10-15b所示，当用标准齿条刀具切制标准齿轮时，刀具的分度线应与被切齿轮的分度圆相切。为避免根切，应满足：NlC≥ha*m，由几何关系不难推得
（10-17）0°、ha*＝1时，zmin＝17；当＝20°、ha*＝0.8时，zmin＝14
课程作业或思考题：
1、齿轮加工时根切产生的原因？
2、避免切根的措施？
3、变位齿轮的传动的三种基本类型。
参考资料或常用网址：韩玉成.机械设计基础.北京.电子工业出版社；庄宿涛.成都.西南交通大学出版社；徐刚涛.北京.高等教育出版社；http//
教学后记：
教研室主任意见：
1）零传动若一对齿轮的变位系数之和为零（x1+x2＝0），则称为零传动。零传动又可分为两种情况。一种是两齿轮的变位系数都等于零（x1=x2＝0）。这种齿轮传动就是标准齿轮传动。为了避免根切，两轮齿数均需大于zmin。另一种是两轮的变系数绝对值相等，即x1= -x2。这种齿轮传动称为高度变位齿轮传动。采用高度变位必须满足齿数和条件：z1+z2≥2zmin。
3.了解变位齿轮传动的三种类型
教学重点、难点#
重点：齿轮加工时根切产生的原因
难点：齿轮加工时避免根切的措施
斜齿轮最小不根切齿数公式
斜齿轮最小不根切齿数公式
《斜齿轮最小不根切齿数公式》
一、斜齿轮的工作原理及特性
斜齿轮是一种重要的机械传动设备，其传动齿轮条例中，总齿数最少应为三齿，并且具有
平相和径向方向的传动步进。
斜齿轮的平行轴蜗轮传动具有多档位传动，可把几个档位分
开传动，而不影响各档位的步进距离，因此在工业生产中得到了广泛的应用。
斜齿轮传动的主要特性在于，其变速率比N1/N2，即两齿轮的齿数比的倒数；其次，斜齿轮的冗余率高，当斜齿轮中的其中一个轴上的齿面损坏时，传动仍然可以正常工作；最后，其传动噪音小，噪声低，给用户以极大的舒适度。
二、斜齿轮最小不根切齿数公式
斜齿轮里常见有隆利式斜齿轮和直齿斜齿轮两种。
它们在复杂的机械结构中有着极大的用途，但是，为了保证斜齿轮能有良好的传动性能，它的最小不根切齿数一般都是大于3的，我们都知道，最小不根切齿数与齿数比有关，也是设计斜齿轮时最重要的参数之一，根据
相关的研究，得出斜齿轮的最小不根切齿数公式为：
Tsmin=(N1+N2)/p
其中， Tsmint表示最小不根切齿数，N1和N2表示齿轮1和2的齿数，P表示齿数比。
三、斜齿轮最小不根切齿数公式的意义
斜齿轮最小不根切齿数公式表明，当连接斜齿轮时，两轮齿数之和要在齿数比的倒数上加
上一个最小的整数，才能保证传动的特性和衔接的效率。
也就是说，斜齿轮最小不根切齿
数也决定了传动效率，这就是斜齿轮最小不根切齿数公式具有重要意义的原因。
以上是关于斜齿轮最小不根切齿数公式的讨论。
我们可以看到，斜齿轮有着非常重要的应用，而最小不根切齿数公式则是斜齿轮设计时需要考虑的重要参数，只有正确地计算此参数，才能保证这种机械设备良好的传动特性和性能。
避免根切的最小变位系数
避免根切的最小变位系数(一)对于z<17的不同齿数的齿轮，为避免根切，都对应有一个必须的最小变位量，用m x min 表示，min x 即为最小变位系数如图所示，在刀具未变位时，其齿顶线超过N 点而与啮合线交与A 点。
为避免根切，刀具变位必须满足CN CA ≤而 ,sin *αxmm h CA a-= ααs i n 2s i n mz r CN == 代入上式可得 2s i n 2*αz h x a -≥由不根切产生的最小齿数公式α2*min sin 2ah z =可知min*22sin z h a=α 代入上式可得()minmin*min z z z h x a -= 所以当1,20*=︒=a h α时，最小变位系数为1717min zz -=例如 z=10时， 412.0min =x Z=12时， 294.0min =x（二）上图所示的小齿数正齿轮切齿加工时，刀具超过根切界限点I 切削时，产生根切。
根切是刀具的刃部先端直线部分（c h ）将齿轮的齿根部齿形曲线的一部分切掉的现象。
标准正齿轮的刀刃先端直线部分深度为m h a *，不产生根切的条件为α2*sin 2mzm h a ≤根据这个条件，导出标准正齿轮根切界限齿数z 的公式α2*sin 2ah z = 分度圆压力角︒=20α时，根切界限齿数为17（1*=a h ），不过，即使齿数在16以下，强度以及重合度等方面没有问题的话，在使用上没有妨碍。
下面两张图上所示的变位齿轮加工时，刀具的移动距离xm 被称为变位量，x 是变位系数。
变位齿轮不产生根切的条件是α2*sin 2mzxm m h a ≤- 由此得出根切界限齿数z 为()α2*sin 2x h z a -=同样亦可得出，变位系数为α2*sin 2z h x a -=附：。
圆柱齿轮最小齿数
圆柱齿轮最小齿数
圆柱齿轮是一种常见的机械传动元件，广泛应用于各种机械设备中。
它由一个圆柱形的轮齿和一个与之啮合的齿轮组成，可以实现两个轴之间的旋转传动。
在设计和制造圆柱齿轮时，齿数是一个重要的参数，它直接影响着齿轮的运动性能和传动比。
在圆柱齿轮的设计中，最小齿数是一个关键的考虑因素。
最小齿数指的是齿轮上的最少齿数，它决定了齿轮的尺寸和传动效果。
最小齿数的选择需要考虑到许多因素，包括传动比、轴间距、齿轮材料等。
最小齿数要满足所需的传动比。
传动比是指输入轴和输出轴的转速之比，它决定了齿轮的大小和传动效果。
一般来说，传动比越大，最小齿数就越小，齿轮的尺寸也就越小。
但是，过小的最小齿数会导致齿轮的齿距过小，容易造成齿轮的强度不足和噪音增加。
最小齿数还要考虑到轴间距和齿轮材料。
轴间距是指两个轴之间的距离，它决定了齿轮的尺寸和啮合性能。
一般来说，轴间距越大，最小齿数就越小，齿轮的尺寸也就越小。
齿轮材料的选择也会影响最小齿数，不同的材料有不同的强度和耐磨性，需要根据具体的应用情况来选择合适的材料。
最小齿数还要考虑到齿轮的制造工艺和可靠性。
齿轮的制造工艺包括铸造、车削、磨削等，不同的工艺对最小齿数有一定的要求。
同
时，最小齿数还要满足齿轮的可靠性要求，包括齿轮的强度、齿面接触疲劳寿命等。
圆柱齿轮的最小齿数是一个关键的设计参数，它直接影响着齿轮的尺寸和传动效果。
在设计和制造圆柱齿轮时，需要综合考虑传动比、轴间距、齿轮材料、制造工艺和可靠性等因素，选择合适的最小齿数，以实现理想的传动效果和可靠性。
齿轮参数总汇
齿轮参数总汇一、齿轮的定义和分类齿轮是一种重要的机械传动元件，广泛应用于各个领域。
它主要由齿片组成，可实现两个或多个轴之间的转动传递。
齿轮根据其不同的特性和用途可以分为多种类型，包括直齿轮、斜齿轮、渐开线齿轮等。
每种类型的齿轮有着不同的参数要求和设计准则。
二、齿轮参数的基本概念1. 齿轮的模数（或分度圆模数）模数表示齿轮齿数与其分度圆直径的比值，常用符号为m。
模数的大小直接影响到齿轮的尺寸和传动性能。
2. 齿轮的齿数齿数是指齿轮上齿的数量，常用符号为z。
齿数的大小决定了齿轮的传动比和工作特性。
3. 齿轮的螺旋角度（斜齿轮）螺旋角度是指斜齿轮齿面与轴线的夹角，常用符号为β。
它影响着齿轮的噪音和传动效率。
4. 齿轮的齿宽齿宽是指齿轮齿面宽度的大小，常用符号为b。
齿宽的选择需考虑到齿轮受力和传动功率等因素。
5. 齿轮的公法线长度公法线长度是指在齿轮传动时两齿轮接触点的轨迹长度。
它与齿轮的模数和齿数有关，对齿轮的接触性能和耐磨性能具有重要影响。
三、不同类型齿轮的参数要求1. 直齿轮直齿轮是最基本的齿轮类型，其参数设计需考虑到齿数、模数、齿宽等因素。
根据具体使用条件和传动性能要求，可选择合适的齿轮材料和热处理工艺。
2. 斜齿轮斜齿轮与直齿轮相比，具有更好的传动性能和噪音特性。
在设计斜齿轮时，需要确定螺旋角度、齿数、齿宽等参数，并进行强度校核和噪声计算。
3. 渐开线齿轮渐开线齿轮是一种常用的高效率齿轮传动形式。
其参数设计主要包括模数、齿数、螺旋角度和齿宽等。
同时，还需考虑到齿轮的啮合性能和运动平稳性。
四、齿轮参数的计算方法齿轮参数的计算涉及到复杂的几何和力学问题，需要依据具体的设计要求和计算方法进行。
常用的计算方法有几何法、强度校核法和噪声计算法等。
结论齿轮参数是齿轮设计的基础，合理选取和优化各个参数对于齿轮传动性能和工作可靠性具有重要影响。
在设计过程中，要充分考虑齿轮的材料、热处理工艺以及传动功率等因素，以确保齿轮能够满足实际工作条件和使用要求。
变位齿轮
2、变位齿轮
标准齿轮：用展成法加工齿轮时，被加工齿坯分度圆与齿条刀具基 准中线相切。
S=e, ha= ha*· hf=(ha*+ c*) ·m m,
变位齿轮：用展成法加工齿轮时，被加工齿坯分度圆与 齿条刀具基准中线相切割或分离。
⑴ 正变位 （ x＞0） 用展成法加工齿轮时，被加工齿坯分度圆与 齿条刀具基准中线分离. N′位于N下方
A、标准齿轮传动B、高度变位齿轮传动C、正传动 D、负传动
例：有四组模数都为3mm的齿轮：①Z1=18，Z2=38；②Z1=22,Z2=36；
③Z1=12，Z2=44；④Z1=12,Z2=42,现凑配中心距a=84mm，则： ⑴ 若四组齿轮都为标准齿轮传动时，则____组适合； ⑵ 若使四组都满足要求，则①②③④四组齿轮分别为_________、 __________、___________、___________。此时两分度圆 仍能保持相切的是组_________；啮合角不等于压力角的是______组。
用插齿刀范成加工
用展成法加工，相同模数和齿形角而齿数不同的齿轮， 可用同一把刀具加工。
Xizhichi.avi
二、齿轮的根切现象和最少齿数
1、渐开线齿廓的根切现象 根切：当用展成法加工渐开线标准齿轮时，如果被加工齿轮的轮齿太少， 有时会出现刀具的顶部切入到轮齿的根部，切去了轮齿根部的渐开线齿廓。
用齿条插刀加工一个直齿圆柱齿轮Z1。已知被加工齿轮Z1轮坯的角速度 ω1=5rad/s，刀具的移动速度为0.375m/s，刀具的模数m=10mm，齿条 分度线与被加工齿轮中心的距离为77mm。Z2与Z1相啮合，其传动比i12 =4，现测得安装时中心距为377mm。完成下列问题： ⑴ 若采用变位齿轮传动，则该齿轮传动应是__________齿轮传动；该 传动跟标准安装相比节点位置_________（“改变”或“不改变”）；啮合角
齿轮加工(根切与最小齿数)
3.根切现象
如图所示为齿条 插刀加工标准外齿轮 的情况，齿条插刀的 分度线与齿轮的分度 圆相切。要使被切齿 轮不产生根切，刀具 的齿顶线不得超过极 限啮合点N。
渐开线齿轮的切齿原理
4.标准外齿轮的最少齿数
模数一定时，标准刀具的 齿顶高也一定，即刀具的 齿顶线位置一定，所以要 使刀具的齿顶线不得超过 极限啮合点N，就必须改变 N点的位置。如图，N点位 置与被切齿轮的基圆半径 有关。基圆半径越小， N 点越靠近节点C，产生根切 的可能性越大。又 被切齿轮的模数和压力角 与刀具的相同，所以是否 会产生根切取决于被切齿 轮齿数的多少。
渐开线齿轮的切齿原理(续）
3.根切现象
用范成法加工齿 轮时，若刀具的齿顶 线（或齿顶圆）超过 理论啮合线极限点N时， 被加工齿轮齿根附近 的渐开线齿廓将被切 去一部分，这种现象 称为根切（如图所 示）。 根切使齿轮的抗弯强度削弱、承载能力降低、啮合 过程缩短、传动平稳性变差，因此应避免根切。
渐开线齿轮的切齿原理(续）
r b= rcosa=(mzcosa)/2
渐开线齿轮的切齿原理(续）
4.标准外齿轮的最少齿数
实际应用中，为了 使齿轮传动结构紧 凑，允许又少量根 切，可取Z min=14
变位齿轮的概念
前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计 计算简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着 一些局限性：
(1)受根切限制，齿数不得少于Zmin，使传动结构不够紧 凑； （2）不适合于安装中心距a‘不等于标准中心距a的场合。 当a’<a时无法安装，当a‘>a时，虽然可以安装，但会产生 过大的侧隙而引起冲击振动，影响传动的平稳性； （3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的齿根厚度小而啮合 次数又较多，故小齿轮的强度较低，齿根部分磨损也较严 重，因此小齿轮容易损坏，同时也限制了大齿轮的承载能 力。
渐开线齿轮的最少齿数设计及根切控制
6
7
2 . 0 62 2 . 25 9 <0
1 . 9 99 2 . 0 83 <0
1 . 956 1 . 9 25 二0
1 . 9 13 1. 7 82 >0
如图2， 为保证齿轮传动的连续性和平稳性， 应满 足重合度 。 1。重合度 E值越大， > 表明齿轮传动的连 续性和平稳性越好， 一般机械制造业中， 齿轮传动的 许用重合度「 二 3 一 4 ， 司 1. 1. 即要求 。 【 。以外啮 ) 司 合直齿圆柱齿轮传动为例， 在连续传动的条件下分析
插齿机加工)齿轮时， 不发生根切的 少齿数Zm 最 in=17
( a =200) ， 但这并不是实际应用中的最少齿数， 这里 从齿轮连续传动的条件和变位齿轮的角度来分析探 讨最少齿数的求法。
1. 1 范成法加工标准齿轮时不发生根切的最少
齿数 用范成法加工标准齿轮时， 不发生根切的最少齿 数， 通过公式( 1) 计算。
等方向发展。为达到其小型化的目的， 常采用少齿
数齿轮传动。这是因为: 虽然在直齿圆柱齿轮传动 中很少采用少齿数( Z- 5) 的齿轮。但在很多情况下 这样做又是合理的。它可以扩大传动组合的可能 性;扩大齿轮副的齿数比;在传动比不变的情况下减 少齿轮传动装置的体积; 在不改变齿轮传动装置外 形尺寸的前提下增大齿轮模数， 以提高轮齿的弯曲 承载能力。同时， 根据渐开线标准齿轮传动中心距
对于用插齿刀加工的齿轮为了确定xmin应先求得加工啮合时的最小极限啮合角然后再求得用插齿刀加工开始出现根切的齿轮齿数可得出最少齿数zmin为523渐开线斜圆柱齿轮可能的最少齿数由于具有轴向重合度渐开线斜齿圆柱齿轮传动的最少齿数理论上无限制在实际中限制少齿数齿轮使用的是齿轮轴的强度刚度与齿轮接触强度这一对矛盾
齿轮加工根切过程(可控制的动态图)
齿数： z=8
连续动画：按键不松手， 点动：单击键
版权所有
作者：潘存云教授
按ESC返回, 正转↓， 反转↑
模数：m=14
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模数：m=14
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渐开线齿轮的切齿原理
1.仿形法
仿形法是在普通铣床上用轴向剖面形状与被切齿轮齿槽 形状完全相同的铣刀切制齿轮的方法，如图所示。铣完一个 齿槽后，分度头将齿坯转过3600/z，再铣下一个齿槽，直到 铣出所有的齿槽。
铣直齿
铣 新建文件夹\Fig6-20铣斜齿轮.AVI
仿形法特点：
加工方便易行，但精度难以保证。由于渐开线齿廓形
标准齿轮
变位齿轮
刀具分度线
变位齿轮的齿廓
由于齿条刀具变位后，其节线上的齿距 和压力角都与分度线上相同，所以切出的变 位齿轮的模数、齿数和压力角都不变，即变 位齿轮的分度圆和基圆都不变，其齿廓渐开 线也不变，只是随变位系数的不同，取同一 渐开线的不同区段作齿廓。
变位齿轮的最小变为系数
ha*m-xm≤N1E N1E=CN1sinα=rsin2α=mz/2sin2α 式中z为被切齿轮的齿数。
联立以上二式得x≥ha*-z/2sin2α 由式 zmin=2ha*/sin2α， x≥ha*(zmin-z)/zmin 由此可得最小变位系数为
xmin=ha*(zmin-z)/zmin 当ha*=1, α=200时，xmin=(17-z)/17 当Z<Zmin时，Xmin>0，此时必须采用正变位方可避免根切；
渐开线齿轮的切齿原理(续）
2.范成法
加工方法有：插齿和滚齿 插斜齿
插直 Fig623.avi
插齿演示
齿轮插刀加工内齿轮
渐开线齿轮的切齿原理(续）
2.范成法
滚 Fig624c.avi 直齿
滚斜齿
渐开线齿轮的切齿原理(续）
2.范成法
用范成法加工齿轮时，只要刀具与被切齿轮的 模数和压力角相同，不论被加工齿轮的齿数是多少， 都可以用同一把刀具来加工，这给生产带来了很大 的方便，因此范成法得到了广泛的应用。
被切齿轮的模数和压力角 与刀具的相同，所以是否 会产生根切取决于被切齿 轮齿数的多少。
渐开线齿轮的切齿原理(续）
4.标准外齿轮的最少齿数
实际应用中，为了 使齿轮传动结构紧 凑，允许又少量根 切，可取Z min=14
变位齿轮的概念
前面讨论的都是渐开线标准齿轮，它们设计 计算简单，互换性好。但标准齿轮传动仍存在着 一些局限性：
3.根切现象
如图所示为齿条 插刀加工标准外齿轮 的情况，齿条插刀的 分度线与齿轮的分度 圆相切。要使被切齿 轮不产生根切，刀具 的齿顶线不得超过极 限啮合点N。
渐开线齿轮的切齿原理
4.标准外齿轮的最少齿数
r b= rcosa=(mzcosa)/2
模数一定时，标准刀具的 齿顶高也一定，即刀具的 齿顶线位置一定，所以要 使刀具的齿顶线不得超过 极限啮合点N，就必须改变 N点的位置。如图，N点位 置与被切齿轮的基圆半径 有关。基圆半径越小， N 点越靠近节点C，产生根切 的可能性越大。又
状取决于基圆的大小，而基圆半径rb=(mzcosα)/2，故齿廓形状 与m、z、α有关。欲加工精确齿廓，对模数和压力角相同的、齿 数不同的齿轮，应采用不同的刀具，而这在实际中是不可能的。 生产中通常用同一号铣刀切制同模数、不同齿数的齿轮，故齿形 通常是近似的。表中列出了1-8号圆盘铣刀加工齿轮的齿数范围。
渐开线齿轮的切齿原理(续）
3.根切现象
用范成法加工齿 轮时，若刀具的齿顶 线（或齿顶圆）超过 理论啮合线极限点N 时，被加工齿轮齿根 附近的渐开线齿廓将 被切去一部分，这种 现象称为根切（如图 所示）。
根切使齿轮的抗弯强度削线齿轮的切齿原理(续）
圆盘铣刀加工齿数的范围
刀号 1 2 3 4 5 6 7
8
加工齿
数范围 12-13 14-16 17-20 21-25 26-34 35-54 55-134 135以上
加工不连续，生产效率低，不宜用于批量生产。 可在普通铣床上加工，不需专用机床。 这种方法适用于单件生产而且精度要求不高的齿轮加工。
渐开线齿轮的切齿原理(续）
2.范成法
范成法是利用一对齿轮无侧隙啮合时两轮的 齿廓互为包络线的原理加工齿轮的。加工时刀具 与齿坯的运动就像一对互相啮合的齿轮，最后刀 具将齿坯切出渐开线齿廓。范成法切制齿轮常用 的刀具有三种： （1）齿轮插刀 是一个齿廓为刀刃的外齿轮；
（2）齿条插刀 是一个齿廓为刀刃的齿条；
（3）齿轮滚刀 像梯形螺纹的螺杆，轴向剖面齿 廓为精确的直线齿廓，滚刀转动时相当于齿条在 移动。可以实现连续加工，生产率高。
(1)受根切限制，齿数不得少于Zmin，使传动结构不够紧 凑；
（2）不适合于安装中心距a‘不等于标准中心距a的场合。 当a’<a时无法安装，当a‘>a时，虽然可以安装，但会产生 过大的侧隙而引起冲击振动，影响传动的平稳性；
（3）一对标准齿轮传动时，小齿轮的齿根厚度小而啮合 次数又较多，故小齿轮的强度较低，齿根部分磨损也较严 重，因此小齿轮容易损坏，同时也限制了大齿轮的承载能 力。
当Z>Zmin时，Xmin<0，只要X>= Xmin，齿轮就不会产生根切。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
变位齿轮的概念
为了改善齿轮传动的性能，出 现了变位齿轮。如图所示，当齿条 插刀齿顶线超过极限啮合点N1，切 出来的齿轮发生根切。若将齿条插 刀远离轮心O1一段距离（xm），齿 顶线不再超过极限点N1，则切出来 的齿轮不会发生根切，但此时齿条 的分度线与齿轮的分度圆不再相切。 这种改变刀具与齿坯相对位置后切 制出来的齿轮称为变位齿轮，刀具 移动的距离xm称为变位量，x称为 变位系数。刀具远离轮心的变位称 为正变位，此时x>0；刀具移近轮心 的变位称为负变位，此时x<0。标准 齿轮就是变位系数x=0的齿轮。
思考题 现有4个标准齿轮：1)m1=4mm, z1=25； 2)m2=4mm,
z2=50； 3)m3=3mm, z3=60； 4)m4=2.5mm, z4=40。 试问： 1）哪两个齿轮的渐开线形状相同？ 2）哪两个齿轮能正确 啮合？ 3）哪两个齿轮能用同一把滚刀制造? 这两个齿轮能 否改成用同一把铣刀加工？