1.多项式单元测试答案

多项式单元测试

（2010.10）

姓名 学号 得分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1．实数域上不可约的多项式)(x f 是： （ A ）

33)( 33)( 33)( 33)(3232----++++x x D x x C x x B x x A

2．设()1gx x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ B ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是 （ B ）A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式

4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( B ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是 （ A ）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±

C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f

D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f

二、填空题（每小题4分，共32分）

1．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ??=??=，则(()())f x g x ???= m 。

2.当实数t 3± 时，多项式32x tx -+有重根。

3.设(),()f x g x 是有理系数多项式，且(),()f x g x 在复数域上有()f x 整除()g x ，则有理数域上 一定 （选填“一定”或“未必”）有()f x 整除()g x 。

4.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为158423+++x x x ，余式为 35 。

5．设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 )(a

b f 。 6．把532)(23-+-=x x x x f 表成1-x 的多项式是 1)1(7)1(5)1(2)(23--+-+-=x x x x f 。

7．在有理数域上将多项式32()22f x x x x =+--分解为不可约因式的乘积 )1)(2(2+-x x 。

8．设123,,ααα为方程320x px qx r +++=的根，其中0r ≠，则 111122331αααααα+

+= 。r p

三、计算题（每小题7分，共28分）

1.求多项式432()441f x x x x x =--++，2()1g x x x =--的最大公因式()d x ，以及满足等式()()()()()f x u x g x v x d x +=的()u x 和()v x 。 ,1))(),((=x g x f 23)(,1)(23--+=--=x x x x v x x u

2．求多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根。

f(x)的有理根可能为14,7,2,1±±±±

的根不是)(136

)1(,4)1(x f f f ±∴-=--=

进一步验证f(x)的有理根可能为2

由综合除法可得，f(x)的有理根为2 其重数为1

f(x)的单有理根为2

3.用,,x a x b x c ---除()f x 的余式依次为,,r s t ，试求用()()()(g x x a x b x c =---除()f x 的余式。

解：由带余除法可设2))((0),()())()(()(0≤?≤+---=x r x r x q c x b x a x x f 。 t c f c r s b f b f r a f a r ======)()(,)()(,)()(

由插值公式 )

)(())(())(())(())(())(()(b c a c b x a x t c b a b c x a x s c a b a c x b x r x r ----+----+----= 4、设42623)(2345+---+=x x x x x x f ，求一个没有重因式的多项式)(x g ，使)(x g 与)(x f 有相同的不可约因式。

1418815)(234---+='x x x x x f

1))(),((-='x x f x f )4783)(1(4353))

(),(()()(23234+++-=---+='=x x x x x x x x x f x f x f x g 四、证明题（每小题2分，共20分）

1、证明：如果((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x += 证明：因.1))(),((=x g x f

则)(),(x v x u ?，使得1)()()()(=+x v x g x u x f ，

1)()()()()()()()(=++-x v x g x v x f x v x f x u x f

1)())()(())()()((=++-x v x g x f x v x u x f

那么 .1))()(),((=+x g x f x f ------------------4分

2、证明：22)()(x f x g 当且仅当)()(x f x g 。

证明：设s k s k k x p x p x ap x f )()()()(2121 =

s m s m m x p x p x bp x g )()()()(2121 =

其中)(,),(),(21x p x p x p s 为互不相同的不可约多项式，s k k k ,,,21 ，s m m m ,,,21 为非负整数， 则

s k s k k x p x p x p a x f 2222122)()()()(21 =，s m s m m x p x p x p b x g 2222122)()()()(21 = 从而

22)()(x f x g ),,2,1(22s i k m i i =≤?),,2,1(s i k m i i =≤??)()(x f x g