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向量的数量积和坐标运算

b a

,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||??b a 叫做a 与b 的数量积（或内

积），记作b a ?，即.c o s ||||θ??=?b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则

①212121z z y y x x b a ++=?

；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；

③212121z z y y x x b a ++=?

④2

2

2

22

22

12

12

12

12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++?++++>=

<

1.2. 异面直线n m ,所成的角

分别在直线n m ,上取定向量,,b a

则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角

（如图1所示），则.|||||

|cos b a b a

??=θ 1.3. 异面直线n m 、的距离

分别在直线n m 、上取定向量,,b a

求与向量b a 、都垂直的

向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即|

|||n n AB d ?=

.

1.4. 直线L 与平面α所成的角

在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示），再求|

|||||cos n AB n AB ??=θ，则θ

π

β-=

2

为所求的角.

C n

图1

D

A

B

n

m

a

b

1.5． 二面角

方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量

21n n 、（都取向上的方向，如图3所示）

，则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即.|

|||cos 2121n n n n ??-=θ（例如2004年高考数

学广东卷第18题第（1）问）.

② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即.|

|||cos 2121n n n n ??=θ

③ 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示）

，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 .|

|||cos 2121n n n n ??=

θ

1.6. 平面外一点p 到平面α的距离

先求出平面α的法向量n ，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面

α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即|

|||n n AP d ?=

.

练习

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．

α

β

1

n 2

n 图3乙

l

α

1

n 2

n l

β

图3甲

α

1

n 2

n l β

图4

B

A

图5

A

p

n

α

2.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1

AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．

45

3．，在四面体S-ABC 中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是棱SA 、BC 、AB 、SC 、AC 、SB 的中点，且

EF=GH=MN ,求证：AB SC AC SB BC SA ⊥⊥⊥,,.

4．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．

A B 1A

1D

1C

C D

5．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．

6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定

P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．

7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，

1

12

SA AB BC AD ====

，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．

7.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；

（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦值．

8．(本小题满分14分)

如图，三棱柱ABC AB A ABC C B A 平面中，平面⊥-1111, ,1ABC AC A 平面平面⊥

90=∠BAC ,3,21===AA AC AB .

(Ⅰ) 求证：ABC AA 平面⊥1；

（Ⅱ） 求异面直线所成角的余弦值与11BC AB ； （Ⅲ） 求点的距离到平面11ABC B A

E

B

C

F

S

D

9、如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ＝2，底面ABCD 为

直角梯形，其中BC ∥AD , AB ⊥AD , AD =2AB =2BC =2, O 为AD 中点. （1）求证：PO ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值大小； （3）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32

？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，请说明理由.

10．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD= AA 1=1，AB=2。E 是CC 1的中点， （1）求锐二面角D-B 1E-B 的余弦值

（2）试判断AC 与面DB 1E 的位置关系，并说明理由。 （3）设M 是棱AB 上一点，若M 到面DB 1E 的距离为21

7

，试确定点M 的位置。 E

A

C

B

D 1

A 1

B 1

C 1

D

A B C D P

11 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，

F 分别是BC , PC 的中点.

（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;

（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角正切

值为6

2

，求二面角E —AF —C 的余弦值.

12．长方体ABCD-A 1B l C l D 1中，AB =2，AD =1，AA 1=2，E 、F 分别是

AB 、CD 的中点

(1)求证：D l E ⊥平面AB l F ；

(2)求直线AB 与平面AB l F 所成的角 (3)求二面角A-B 1F-B 的大小。

13．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．

(I) 求证：AB ⊥平面PCB ；

(II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．

课外练习

1．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．

（1）求二面角C -DE -C 1的正切值； （2）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．

2已知，如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，

⊥PG 平面ABCD ，垂足为G G ,在AD 上，且GD AG 3

1

=，

E GC GB GC BG ,2,==⊥是BC 的中点，四面体BCG P -的体

积为83

（Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；

（Ⅱ）若F 点是棱PC 上一点，且GC DF ⊥，求FC

PF

的值.

A E

D C

B

A 1 F D 1 C 1

B 1