电磁场与电介质的作用

第五章电磁场与介质的相互作用

本章我们将研究电磁场与介质的相互作用问题.从电磁学的角度看，所谓介质，就是由大量带电粒子组成的宏观物理系统，其中包括导体、半导体、电介质和磁介质，等等.这些物质在电磁场的作用下，显示出各种各样的电磁(或光学)性能，并为人类广泛利用.

4.1 电介质（教材P117）

电介质就是绝缘介质，其分子中的电子均被原子核紧密束缚，因而没有导电性能，但在外电场作用下却显示一定的介电特性，许多非金属晶体都有这种性质.自然界存在着两类电介质：

无极分子电介质.分子中的电子云分布相对于正电中心呈球对称性，因而正、负电荷中心重合，如图4-1，

)等.

因而每个分子电偶极矩P = 0，例如基态的氢（H）、二氧化碳(CO

2

有极分子电介质.分子中的电子云分布偏离球对称性，使正、负电荷中心不重合，如图4-2，因而每个分子

O等.

都有电偶极矩P ，例如CO、HCl、H

2

虽然这类电介质的每个分子都有固有的电偶极矩，但在通常的状态下，由于分子热振动的无规性，分子电矩的取向也是无规的，故一定体积内所有分子电矩的矢量和为零.

1.电介质的极化

电介质在外部电场的作用下，将出现宏观电偶极矩和宏观极化电荷分布，于是这些宏观极化电荷将激发出宏观的电场.

无极分子电介质的“位移极化”.无极分子电介质在外部电场的作用下，分子中的电子云将偏离球对称分布，

于是每个分子都出现电偶极矩p = ql，如下图,而且它们都倾向于朝外电场E 的方向排列，因而显示出宏观电偶极矩.

有极分子电介质的“取向极化”.有极分子电介质在外部电场的作用下，每个分子电偶极矩P都受到力矩L=p×E 的作用而倾向于转向外电场方向排列，因而显示出宏观电偶极矩.

应当指出，有极分子电介质在外电场的作用下，也会出现“位移极化”，但一般来说，取向极化效应比位移极化要强得多.

2．极化强度与极化电荷 ( 教材P181)

介质的极化强度矢量P，定义为单位体积内的分子电偶极矩P 的矢量和：

(4.1-1)

其中，△V 表示很小的物理体积，但它又含有大量的介质分子.由这定义可知，极化强度矢量P是一个衡量介质内各处极化状态（极化强度与取向）的物理量，单位是库仑/米2.

若介质内所有各点的P都有相同的数值和取向，亦即P是一个与坐标无关的常矢量时，就表示介质是均匀极化的，否则是非均匀极化的.

虽然电介质内没有自由电荷，但由于极化后分子电偶极矩都呈现某种倾向性的排列，就必然出现一定的宏观束缚电荷分布，有时候我们把这类电荷分布称为极化电荷.

设介质单位体积内含n个分子，每个分子的电偶极矩为p =q l ，按定义(4.1-1)，极化强度就是

(4.1-2)

在介质内取一体积为

的小柱体，如图4-4，由于分子电偶极矩的有规则排列，而每个分子都是电中性的，因此，如果从小柱体底面穿出的电荷为 dq

，则这小体积内的净电荷应是

P

我们将此式对介质内任一闭合曲面S 积分，便有

(4.1-3)

表示V内的极化电荷的体密度. 利用高斯积分变换定理

V是闭合曲面所包围的体积，

p

(4.1-4)

从(4.1-3)式，我们得到电介质内极化电荷的体密度：

(4.1-5)

=0，亦即均匀极化可见，如果介质是均匀极化的，即极化强度P是与坐标无关的常矢量时，将处处有

p

的介质内部不会存在宏观的极化电荷体分布.

但是，如果介质是非均匀极化的，其内部将会积累宏观的极化电荷.

现在，我们再来考虑极化电荷在介质表面的分布（教材P184）.

我们仍设单位体积内的分子数为n,并在介质表面薄层取一小体积

如图，

其中，是介质表面的面积元矢量，方向沿外法向 . 这小体积内的极化电荷量为

由于这薄层的厚度仅为分子线度，因此可以将这薄层的电荷看成是面分布的，于是得到极化电荷面密度

(4.1-6)

这里，P是介质表面某处的极化强度，是该处的外法向单位矢量.

[例4-1]均匀极化的介质球的极化电荷分布（教材P184）

[解]如图4-6，令介质球的极化强度为

由于介质球内的P 是与于坐标无关的常矢量，因此，球内的极化电荷体密度

介质球表面的极化电荷面密度为

即右半球面出现正的极化电荷，左半球面则出现负的极化电荷，但介质球整体上仍然是电中性的. [例4-2] 沿其长度方向均匀极化及非均匀极化的介质圆柱.

[解] 如图4-6（a），介质圆柱沿其长度方向均匀极化，即棒内的极化强度处处相同，我们令，

处处为零:

P 是与坐标无关的常数，因此介质柱内极化电荷体密度

p

介质柱右端面的外法向为，左端面的外法向为，而側面的外法向为，于是由

得介质柱右端面的极化电荷面密度，左端面上，側面上

图4-6（b）表示介质柱的极化是非均匀的，假定沿着长度的方向，其极化强度为，A是常数于是其内部的极化电荷体密度

是一个与坐标无关的常数.由

在介质柱的左端面即 z =0处，P=0，此处极化电荷面密度，而右端面即z =L处，P=AL，此处极化电荷面密度.

在上述两种情况下，虽然极化介质柱都显示出宏观的极化电荷分布，但是我们可以验证，极化电荷的总量都为零，这是因为，介质柱在整体上本来就是电中性的，极化现象只是令其内部分子中的电子云分布发生了某种倾向性的改变而已.

3.极化电荷的电场（P185）

电介质的极化过程，是外电场E0与介质内的束缚电荷相互作用的过程，并由此导致介质出现宏观极化电荷分布.极化电荷一定会在介质的内部和

的电荷，并使之重新分布，这外部产生宏观电场 E'，这“附加”电场E'反过来又会作用于产生外电场 E

意味着一般情况下作用于介质的那个

也发生了改变.

外电场 E

与极化电荷的电场 E'之矢量和：根据电场叠加原理，介质内和介质外每一点上的总场强E，都是外电场 E

+ E' (4.1-7)

E = E

，一般情况下已经不是没有电介质存在时的那个原外场.

我们必须强调，(4.1-7)式中的 E

例如，原来是孤立存在的导体球壳带有自由电荷+q，它将产生球对称的电场 E

，如果我们在其附近放进

一条电介质棒，则介质棒靠近导体球壳的那一端将出现负的极化电荷,远离导体球壳的那一端则出现正的极

不再化电荷,这极化介质棒的电场 E' ，反过来又作用于导体球壳的电荷并使之偏离球对称分布，于是 E

具有球对称性.

[例4-3]设一个无限大平行板电容器两极板的距离为l，利用电源给它充电，使两极板分别带自由电荷面密.

度±

f

然后在电容器内插入一块厚度为 d 的无限大电介质平板，如图4-8，这介质板在电场作用下将被极化，设它的极化强度矢量P处处相同并与电容器的极板垂直. （另可参见P186例3）

（1）若保持电容器两极板上的电荷面密度±

f

不变，

（2）或如果保持电容器两极板的电势差△U= U

+ - U

-

不变，求各点的总电场强度.

[解] 选择坐标轴 z与极板垂直.

（1）电容器两极板上均匀分布的自由电荷产生一个均匀电场 E

，由电场的高斯定律，有：

介质板正是在这电场作用下被极化的，它的极化强度，由(4.1-6)可知介质板左、右两面的极化电荷面密度分别为，显然，这些极化电荷在介质板内产生的附加电场

(4.1-8)

与原来外电场的方向相反.由于我们保持电容器极板的自由电荷分布不变，这意味着介质板的极化电荷在介质板外部产生的电场将被抵消，于是介质板外的总电场仍然为

(4.1-9)

而介质板内的总电场

(4.1-10)

比原来作用于介质的外电场 E

减弱了.

（2）事实上，介质板出现的极化电荷所产生的电场 E'，一定会影响到电容器极板上的自由电荷分布，从而也就改变了原外场.如果我们不再保持电容器极板上的电荷分布不变，而是保持电容器两极的电势差△U=

U 1 - U

2

不变，电场分布将有另一个结果.由电容器两极板的电势差

得这情况下电容器极板的自由电荷密度

于是介质外和介质内的电场强度分别是

(4.1-11)

介质内的电场强度是

(4.1-12) [例4-4] 均匀极化介质球的电场（P187）

[解]我们在例4-2中已经求出均匀极化介质球面的极化电荷密度

这电荷分布存在着z轴的对称性，因此它产生的电场也有同样的对称性.

现在我们计算介质球内部的电场强度.从电荷分布我们看到，介质球内的电场应当是均匀场，因此我们只需计算球心O的电场强度.

如图4-9.一个球面元和相应的电荷元分别是

据库仑定律，一个电荷元在球心O产生的元场强是

由于任何两个关于z轴对称的电荷元在O点产生的元场强dE叠加后，都只有z分量，因此我们只需对dE 的z分量

积分，便得到球心的场强

介质球内所有点上的场强，事实上都有这个数值和取向，即球内

(4.1-13)

球面上的电荷分布构成一个宏观电偶极子.由于球内极化强度P是常矢量，故根据定义(4.1-1)，这宏观电偶极子的电矩矢量为

(4.1-14)

这意味着极化介质球在其外部产生电偶极场，即球外区域由这个电偶极矩产生的电势和场强分别是（见教材P92-93）：

(4.1-15)

(4.1-16)

当我们把一个均匀的介质球放进均匀外电场 E

中，它就会被极化而出现上述的极化电荷分布.

不变（例如，介质球的尺度很小，而且离开产生均匀电场的两块导体平板很如果我们假定均匀外电场 E

远时，介质球的电场对导体平板上自由电荷分布的影响即可忽略），则介质球内的总电场是

(4.1-17)

减弱了.球外区域的总电场则是均匀场E0与电偶极场的叠加：

它仍然是均匀场，但比原外场 E

(4.1-18)

如图

4.电位移矢量（P191）和介质的极化响应（P189）

从前面的例子我们看到，在有电介质存在时，无论是介质的内部还是外部，总电场 E 都决定于自由电荷 q

f 和极化电荷 q

的分布，因此在一般情况下，作为电磁学的一个基本方程，电场的高斯定理应当是

p

(4.1-19)

其中， q

f 和 q

p

分别是闭合曲面S所包围的体积V内的自由电荷和极化电荷，ρ

f

和 ρ

p

分别是V内自由电荷

和极化电荷的密度函数.

然而在实际问题中，极化电荷的分布并不像自由电荷那样容易地由实验直接测量出来.为了使上述方程不出现极化电荷，考虑到(4.1-3)式给出的介质的极化强度P与极化电荷的关系：

(4.1-20)

我们可以将(4.1-19)写成

(4.1-21)

现在，我们定义一个辅助场量D ：

(4.1-22)

并把它称为电位移矢量（electric displacement vector）.按此定义，电位移矢量D显然与极化强度P拥有相同的量纲，单位都是库仑/米2.

于是(4.1-21)可以写成

(4.1-23)

(4.1-23)是普遍情况下，电场高斯定律(4.1-19)的另一种描述，它们的微分形式分别是

(4.1-24)

(4.1-25)

表示某处总的电荷密度.

我们通过引入电位移矢量D，使电场的高斯定律(4.1-23)及其微分形式(4.1-25)不再出现极化电荷. 但是描写电场的基本场量是电场强度E,而电位移矢量D只是一个辅助场量.

从定义我们看到，对于任何电介质而言，只有在给出了介质内每一点上的极化强度P 和总场强E 的关系，我们才有可能知道每一点上D与E 的关系.

事实上，介质内极化强度P和总场强E 的关系，或者说介质的极化响应，决定于两个方面的因素：其一是介质本身的内部结构，其二是作用于介质的外部电场的强度和频率.在同样强度和频率的外电场作用下，不同结构的介质有着不同的极化响应；即使是同一种介质，作用外场的强度和频率不同，极化响应也不一样. 因此，介质的极化响应需要通过实验测量才能确定.

各向同性的线性电介质（linear isotropic dielectrics）对于内部结构为各向同性的线性电介质——即均匀的电介质，在作用外场不是太强时，实验给出其内部的极化强度P和总场强E 存在着简单的线性关系：

(4.1-26)

称为介质的极化率（electric susceptibility）.不同结构的介质有着不同的其中，无量纲的比例系数χ

e

极化率.

由于极化率χ

只有正的值，因此(4.1-26)表示，各向同性的线性电介质内每一点上，P和E 有着相同的取e

向.

我们把(4.1-26)代入电位移矢量的定义式(4.1-22)，便有

(4.1-27)

无量纲的系数

(4.1-28)

称为介质的相对介电常数（relative dielectric constant），或称为相对电容率（relative permittivity）.而

(4.1-29)

则称为介质的介电常数（dielectric constant）或电容率（permittivity）,它与真空介电常数ε

有相同的量纲.

由于 ε 是一个标量，因此我们从(4.1-27)看到，各向同性的线性介质内部的每一点上，电位移矢量D正比于总场强E，而且E、P、D三者有相同的取向.

表4-1给出某些各向同性的均匀电介质的相对介电常数和介电强度（即击穿场强）

在真空中，χ

0 = 0，ε

=1，故真空中的电位移为

(4.1-30)

对于内部结构为各向异性的（anisotropic）电介质，例如晶体材料，虽然它们的极化率也是线性的，但却与方向有关，这便使得电位移矢量D 的每一个分量，一般地与电场强度E 的所有分量都有关，在直角坐标系中两者的普遍关系为：

介电系数是一个二阶张量，共有9个分量εxx χxx = χxx ε0 , εxy = χξψ ε0 ......, εzz = χzz ε0 .

还有一类称为铁电体（例如钛酸钡 BaTiO

3

）的电介质，不仅具有非线性的极化响应，而且还有“电滞效应”(即极化强度P的变化，滞后于电场强度E的变化). 其P与E 的关系如图4-10.

必须强调，虽然高斯定理(4.1-23) 及其微分形式(4.1-25) 中，没有明显地包含着极化电荷，但这并不意味着电位移D只与自由电荷有关而与极化电荷无关.从(4.1-27)、(4.1-30)和(4.1-31)我们看到，无论是在介质内还是真空中的每一点上，总电场强度E 都与电位移D 存在着某种确定的关系，而总场强E一般地是

自由电荷 q

f 和极化电荷 q

p

共同产生的，因此，电位移D一般地与自由电荷 q

f

和极化电荷 q

p

都有关.

[例4-5]平行板电容器填满了极化率为 χe 的均匀电介质，两金属极板上的自由电荷密度为± σ

f

，极板间的距离为d ，求

（1）电容器内的总电场强度E

（2）电容器的电容C.

[解]

产生方法一:先求出极化电荷的附加电场 E'，再求总场强E (教材p190)金属极板上的自由电荷分布±

f

电场 E

(4.1-32)

这电场使介质极化，设极化强度为P，由于介质是均匀的，它只在与极板分界的面上出现极化电荷，其密度为

反向的附加电场

这极化电荷分布产生一个与 E

总电场E= E

+ E' 决定着介质的极化响应

即

由此得介质中的总场强的值

(4.1-33)

及极板与介质分界面上出现的极化电荷密度

方法二:利用高斯定理（教材p193）

在静电平衡条件下，导体内部E 和D 都为零（记住这个结论，以后会证明）.

我们取底面为△S 的柱面为高斯面，其中一个底面在极板内，另一个底面在介质中，此高斯面包围的自由

电荷为△q

f =

f

△S,于是由

得介质中的电位移

(4.1-34) 再由

得介质中的总场强

(4.1-35)

两种方法所得结果是一样的.

(2)设电容器两极板的面积为S，距离为d，如果我们保持极板上的自由点电荷密度±σ

f

不变，则这电荷

分布产生电场 E

0 = σ

f

/ ε

也不变.

在填入电介质之前，两极的电势差和电容分别是

(4.1-36)

(4.1-37)

填入电介质后，由(4.1-35)给出的总电场,两极间的电势差和电容分别变成

(4.1-38)

(4.1-39)

可见，同样尺寸的电容器，填入电介质后，其电容量C 将会增加（1+ce）倍，介质的极化率χ

e

越高，电容量的增加越显著.

另一方面，由于许多电介质的击穿场强要比空气高得多（如教材表4-1），因此，在电容量内填入电介质还可以提高它的耐压能力(见教材P196).

4. 介质中的静电能（教材P209）

电场作用于介质，改变了介质分子中束缚电荷的分布状态，作用电场的一部分能量将转化为介质的极化能

，在没有填充介质时,电容器内的场我们再来看看上例的平行板电容器，极板上的自由点电荷密度为±

f

强为

两极板的电势差为

电容量为

此时，电容器储存的能量为

(4.1-40)

Sd=V就是电场存在的体积，由于电场中不存在电介质，因此，

就是电容器内电场的能量密度.

当我们在电容器内填满介电常数为