Boltzmann方程的量子修正

中国科学 G辑:物理学 力学 天文学 2008年 第38卷 第9期:1178~1187

1178 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS

Boltzmann方程的量子修正

王正川①*, M. Levy Peter②

①中国科学院研究生院物理科学学院, 北京 100049;

②Department of Physics, New York University, New York, NY10003

* E-mail: wangzc@

收稿日期: 2007-05-31; 接受日期: 2007-12-18

国家自然科学基金(批准号: 10404037)和中国科学院研究生院科研启动基金(编号: 055101BM03)资助项目

摘要讨论了经典玻尔兹曼分布函数的量子修正项及其满足的方程. 我们将用于推导量子玻尔兹曼方程的梯度近似中的普朗克常数明显地写出, 并且将量子Wigner分布函数用普朗克常数展开, 经过推导就可以得到量子修正项所满足的方程. 量子Wigner分布函数的普朗克常数展开式中的一阶和高阶项正好是量子修正项, 它们可具有负值, 而零阶项则具有正值. 这样我们自然在量子Wigner分布函数中分离出正的分布函数, 避免了用Husimi方法做粗粒平均取得正值的传统框架. 另外我们也用量子Wigner分布函数普朗克常数展开的方法讨论了量子热力学熵的经典极限这一问题. 关键词

量子玻尔兹曼方程Wigner分布函数量子修正项

Boltzmann方程描述的是单粒子的非平衡分布函数如何随时间空间变化的运动方程[1~5]. 通常它只适用于稀薄的单原子分子气体动力学的研究, 但是近年来一些人开始用它来研究介观系统的输运问题, 如用它来研究磁性多层膜系统中的自旋极化隧穿现象[6~11]. 可是常用的经典Boltzmann方程不适用于描述诸如磁性多层膜表面那样的尺度非常小的区域, 所以人们怀疑它应用于介观系统输运问题的研究是否正确. 事实上, 经典Boltzmann方程仅适用于介观系统中没有明显的量子干涉效应的耗散输运过程的研究.

可是量子Boltzmann方程却有助于克服经典Boltzmann方程的上述局限性. 利用非平衡Green函数理论, Kadanoff和Baym得到了量子形式的Boltzmann方程. 它实际上是一个关于Green函数的运动方程, 其中经典Boltzmann方程中的分布函数在这里变成了量子Wigner分布函数[12~14]. 量子Boltzmann方程和经典Boltzmann方程形式上具有相似性, 因此人们尝试着用它来研究介观系统中的输运问题. 然而量子Boltzmann方程也有它适用的局限性[12~14], 而且还会碰到负几率的困难[15~17].

这是因为在量子Boltzmann方程中引入了所谓的Wigner分布函数[12~14], 这个分布函数中

中国科学 G 辑: 物理学 力学 天文学 2008年 第38卷 第9期

1179

包含了量子关联的影响, 所以不总是正定的, 它不能象经典分布函数那样被简单地解释成几率分布函数, 当然也不能用它来求物理量的平均值了. 为了克服量子Boltzmann 方程中出现的负几率困难, Husimi [16]对Wigner 分布函数进一步做了粗粒平均. 平均后的新的分布函数是正定的. 但是由于做了粗粒平均, 最后得到的分布函数的空间分辨精度被大大降低了[15].

本文尝试着用另外一种办法解决负几率困难. 为此, 我们重新考查了在得到量子Boltzmann 方程中必须采用的“梯度近似” [12~14], 如果我们在“梯度近似”中将Planck 常数明显地写出, 那么“梯度近似”就不光是原来的关于空间和时间梯度的展开, 而且也是关于Planck 常数的展开. 进而我们在用如此形式的“梯度近似”来推导量子Boltzmann 方程, 最后便可得到关于量子修正项所满足的方程. 展开的零阶项对应于经典的Boltzmann 方程, 而高阶项正是我们所要的量子修正项所满足的方程. 我们可以用这些量子修正项来估计介观系统中感兴趣的量子效应. 我们也将量子Wigner 分布函数用Planck 常数展开, 在展开中的零阶分布函数总是正定的, 而高阶量子修正项可以有负值. 通过这样的展开有助于我们克服负几率困难, 因为我们能自然地将出现负几率的量子修正项分离出来, 而留下具有正值的零阶分布函数, 并且没有象Husimi 分布函数那样降低正的零阶分布函数的空间分辨精度. 零阶分布函数描述粒子的经典的轨道, 而量子修正项描述由于量子涨落而造成的对经典轨道的偏离.

上述方法不仅可以用于研究介观系统中的输运问题, 而且还可以用于研究量子热力学熵[18]和经典热力学熵之间的关系. 我们的结果显示, 在0→=的经典极限下, 量子热力学熵可以自然地过渡到经典热力学熵.

1 梯度展开近似

Green 函数G <的定义为费米子场算符()x Ψ在两个不同时空点的关联[12]: 122(,)i ()(),x G x x x x ΨΨ<+= (1) 其中(,)i i i x t =r , (1,

2)i =是四维时空中的矢量, 括号表示对系统非平衡分布中所有可能的态求平均. 而量子Boltzmann 方程中量子Wigner 分布函数被定义为Green 函数G <的Fourier 变换[12~14], 即

3(,,)i d exp(i )d exp(i )(,,,),f k R T t t G t R T ω<=−−⋅∫∫r k r r (2) 其中121(,)()2R T x x =

+为质心坐标, 12(,)t x x =−r 为相对坐标, (,)k ω=k 为波矢空间的四维矢量. 我们知道Green 函数G <满足的运动方程为[13] 1123t 133213t 321i ()(,)d [(,)(,)(,)(,)],H x G x x x x x G x x x x G x x t <<<∂⎡⎤−=Σ−Σ⎢⎥∂⎣⎦

∫ (3) 其中1()H x 是系统的哈密顿量, <Σ和t Σ分别为系统的小于和时序的自能. t G 为系统反时序的Green 函数. 对方程(3)中的相对坐标(,)t r 做Fourier 变换, 便可得到量子Wigner 分布函数满足的方程[13]:

33(,,)i d exp(i )d exp(i )d R k U f k R T t t x T R ω∂∂⎛⎞=−−⋅+⋅∇−∇⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫∫r k r v