第二讲 §5.2 李雅普诺夫(Liapunov)第二方法(5课时)

第二讲 §5.2 李雅普诺夫（Liapunov ）第二方法(5课时)
一、教学目的：了解Liapunov 在处理稳定性中的两种方法；了解
Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第
二方法并学会运用它来判定自治系统的稳定性。

二、教学要求：了解Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov
第二方法并学会运用它来判定自治系统解的稳定性。

三、教学重点：运用Liapunov 第二方法判定自治系统解的稳定性。

四、教学难点：如何构造Liapunov 函数。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程： 1．相关概念
上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的.
Liapunov 创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利
用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的Liapunov 函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数
()
dV X dt
的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法。

本节主要介绍Liapunov 第二方法。

为了便于理解，我们只考虑自治系统
(),dx
F x dt
= n x R ∈ (5.11) 假设1()((),,())T n F x F x F x =在{}n G x R x K =∈≤上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0)＝0．
为介绍Liapunov 基本定理，先引入Liapunov 函数概念. 定义5.3 若函数 ():V x G R →满足V(0)＝0, ()V x 和(1,2,,)i
V
i n x ∂=∂都连续，且若存在0H K <≤,使在
{
}D x x H =≤上()0(0)V x ≥≤，则称()V x 是常正(负)的；若在D 上除x=0
外总有()0(0)V x ><，则称()V x 是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的. 通常我们称函数()V x 为Liapunov 函数.
易知：函数2212V x x =+在12(,)x x 平面上为正定的；
函数 22
12()V x x =-+在12(,)x x 平面上为负定的；
函数 2212()V x x =-在12(,)x x 平面上为变号函数； 函数 21V x =在12(,)x x 平面上是常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义.
首先看正定函数12(,)V V x x =.
在三维空间12(,,)x x V 中, 12(,)V V x x =是一个位于坐标面12x ox ，即Ｖ＝0上方的曲面.它与坐标面12x ox 只在一个点，即原点Ｏ(0,0,0)接触(图5-1(a)). 如果用水平平面V=C(正常数)与12(,)V V x x =相交，并将截口垂直投影到12x ox 平面上，就得到一组一个套一个的闭曲线族12(,)V x x C = (图5-1(b)),由于12(,)V V x x =连续可微，且V(0,0)=0,故在120x x ==的充分小的邻域中，12(,)V x x 可以任意小.即在这些邻域中存在C 值可任意小的闭曲线V=C.
(b)
对于负定函数12(,)V V x x =可作类似的几何解释，只是曲面
12(,)V V x x =将在坐标面12x ox 的下方.
对于变号函数12(,)V V x x =，自然应对应于这样的曲面，在原点O 的任意邻域，它既有在12x ox 平面上方的点，又有在其下方的点.
定理5.1 对系统(5.11)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足
(1) 正定；
(2)
(5.11)
1()n
i i i
dV V
F x dt
x =∂=∂∑
常负. 则(5.11)的零解是稳定的.
图 5-2证明 对任意ε>0(ε<H)，记 {}x x εΓ==则由V(x)正定、连续和Γ是有界闭集知 min ()0x b V x ∈Γ
=> 由V(0)=0和V(x)连续知存在δ>0(δ<ε)，使当x δ≤，V(x)<b,于是有x δ≤ 时
00(,,),x t t x ε< 0t t ≥ （5.12）
若上述不等式不成立，由x δε≤<和00(,,)x t t x 的连续性知存在10t t >，当[)01,t t t ∈时，00(,,),x t t x ε<而100(,,)x t t x ε=. 那么由b 的定义,有
100((,,))V x t t x b ≥ （5.13） 另一方面，由条件(2)知
00((,,))
0dV x t t x dt ≤在[]01,t t 上成立，即[]01,t t t ∈时
000((,,))()V x t t x V x b ≤<
自然有100((,,))V x t t x b <. 与(5.13)予盾.即(5.12)成立. 考虑无阻尼线性振动方程
20x x ω+= (5.14) 的平衡位置的稳定性.
解 把(5.14)化为等价系统 2
x y y x
ω⎧=⎪⎨
=-⎪⎩ (5.15)
(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V 函数
22211(,)2V x y x y ω
⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
有
(5.15)
(5.15)
21dV xx yy dt
ω⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
即V(x,y)正定，
(5.15)
0dV
dt
≤.于是由定理5.1知(5.15)的零解是稳定的，
即(5.14)的平衡位置是稳定的.
引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数 x(t)有
lim (())0t V x t →∞
=
则lim ()0t x t →∞
=
证明由读者自己完成.
定理5.2 对系统(5.11)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 (1) 正定,(2)
(5.11)
1()n
i i i
dV V
F x dt
x =∂=∂∑
负定， 则(5.11)的零解渐近稳定.
证明 由定理5.1知(5.11)的零解是稳定的. 取δ为定理5.1的证明过程中的δ，于是当0x δ≤时，00((,,))V x t t x 单调下降. 若00x =，则由唯一性知00(,,)0x t t x ≡,自然有 00lim (,,)0t x t t x →∞
=
不妨设00x ≠. 由初值问题解的唯一性，对任意t, 00(,,)0x t t x ≠. 从而由V(x)的正定性知00((,,))0V x t t x >总成立，那么存在a ≥0使
00lim ((,,))t V x t t x a →+∞
=
假设0a >,联系到00((,,))V x t t x 的单调性有 000((,,))()a V x t t x V x <<对0t t >成立. 从而由(0)0V =知存在0h >使0t t ≥时
00(,,)h x t t x ε<< (5.16) 成立. 由条件(2)有max
0h x dV
M dt
ε≤≤=<故从(5.16)知00((,,))
dV x t t x M dt
≤对上述不等式两端从t0到t>t0积分得 0000((,,))()()V x t t x V x M t t -≤-. 该不等式意味着
00lim ((,,))t V x t t x →+∞
=-∞矛盾.故0a =，即00lim ((,,))0t V x t t x →+∞
=由于零解是稳定的，所以00(,,)x t t x 在0[,]t +∞上有界，再由引理知
00lim (,,)0t x t t x →+∞
=.
定理证毕.
例2 证明方程组 2222
(1)
(1)
x y x x y y x y x y ⎧=-++-⎨=++-⎩ (5.17)的零解渐近稳定.
证明 作李雅普诺夫函数 221(,)()2
V x y x y =+ 有
2222(5.17)(5.17)
()
()(1)dV xx yy x y x y dt
=+=++-
在区域{}22(,)1D x y x y =+<上(,)V x y 正定，(5.17)
dV dt
负定，故由定理5.2
知其零解渐近稳定. 最后，我们给出不稳定性定理而略去证明.
定理5.3 对系统(5.11)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足（1）
(5.11)1
()n
i i i
dV
V
F x dt
x =∂=∂∑
正定，（2）V(x)不是常负函数，则系统(5.11)的零解是不稳定的. 本讲要点： 1．李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定性定义。

2．李雅普诺夫第二方法的基本原理和直观意义。

作业：
习题5.2 p234-235 1,2,3。