导数与数学归纳法

导数与数学归纳法

1、设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )

4

2、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围

是( )A ．[94，＋∞) B ．(0，94] C ．[95，＋∞) D ．(0，95

] 3、设函数f (x )＝12

x 2＋e x －x e x . (1)求f (x )的单调区间；

(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围

4、已知函数f (x )＝ln x ＋1－x ax

，其中a 为大于零的常数． (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；

(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值；

(3)*求证：对于任意的n ∈N *且n >1，都有ln n >12＋13

＋…＋1n 成立．

1、在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为n (n －3)2

条时，第一步检验n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．0 2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22

，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )

A ．k 2＋1

B ．(k ＋1)2

C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22 D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 3．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )

A ．2k ＋1

B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1

4．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1

1)，第一步要证的不等式是________．

5．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.

6、n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n .

7、求证：12＋22＋…＋n 2＝

n (n ＋1)(2n ＋1)6

.

8、已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n

.求证：（1）当n ∈N *时，a n n S n

9、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．

(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．

10、已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；

(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．

11．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….

(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；

(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2.

12、若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24

对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．

（FZ1703W ）已知圆O:x 2+y 2=4，点

，以线段AP 为直径的圆C 1 内切于圆O ．记点P 的轨迹为C 2．

（Ⅰ）证明|AP|+|BP |为定值，并求C 2的方程；

（Ⅱ）过点O 的一条直线交圆O 于M,N 两点，点D(-2,0)，直线DM,DN 与C 2 的另一个交点分别为S,T ．记△DMN,△DST 的面积分别为S 1,S 2，求

12

S S 的取值范围．