匀速圆周运动向心力和向心加速度

我们不是为了考试而学习，我们只是想开发自己的潜能，证明自己的聪明才智。

第二章 匀速圆周运动

第二讲 匀速圆周运动的向心力和向心加速度

一、基础知识回顾

（一）向心力

1、定义：

做匀速圆周运动的物体受到一个始终指向圆心的合力的作用，我们把这个力叫做向心力。

2、向心力的方向：

与速度垂直，始终指向圆心（方向不断变化）。

3、向心力的作用效果：

只改变速度的方向，不改变速度的大小。

4、向心力的大小：

物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。即：r m mr F v 2

2==ω 真题回顾： 对于一个质量不变的物体做匀速圆周运动，下列关于向心力的说法中，正确的是（ ）

A 、向心力的方向始终与速度的方向垂直

B 、向心力的方向保持不变

C 、向心力是恒定的

D 、向心力的大小不断变化

解析：向心力与速度垂直，始终指向圆心，且只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此BCD 错误。 答案：A

变式一：关于同一物体在北京和广州随地球自转的向心力，下列说法中正确的是（ ）

A 、它们的方向都沿半径指向地心

B 、它们的方向都平行于赤道平面指向地轴

C 、北京的向心力比广州的向心力大

D 、北京的向心力比广州的向心力小 变式二：在内壁光滑的玻璃漏斗中有一个小球沿着漏斗的内壁在一水平面内做匀速圆周运动，这时小球受到的力是（ ）

A 重力和支持力

B 重力和向心力，

C 支持力和向心力

D 重力、支持力和向心力。

（二）向心加速度

1、向心加速度的产生：

根据牛顿第二运动定律，做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，必然产生一个向心加速度。

2、向心加速度的方向：

与向心力的方向相同，总是指向圆心。

3、向心加速度的意义：

描述线速度方向变化快慢的物理量。

4、向心加速度的大小：

注意：向心力和向心加速度的公式也适用于一般的圆周运动，当速度的大小发生变化时，求出的是某一点的瞬时向心力和瞬时向心加速度。 真题回顾： 细绳一端系一物体，使物体绕另一端在光滑水平面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A 、线速度一定时，线长容易断

B 、向心加速度一定时，线短容易断

C 、角速度一定时，线短容易断

D 、周期一定时，线长容易断

答案：

D

r r a v 2

2==ω

变式一：如图所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法哪些是正确的? （ ）

A 、两轮角速度相等

B 、两轮边缘线速度的大小相等

C 、大轮边缘一点的向心加速度大于小轮

边缘一点的向心加速度

D 、同一轮上各点的向心加速度跟该点与中心的距离成正比

（三）离心运动

1、定义：在做圆周运动时，由于合外力提供的向心力消失或不足，以致物体沿圆周运动的切线方向 飞出或远离圆心而去的运动

2、离心运动的条件：

做匀速圆周运动的物体合外力消失或不足以提供所需的向心力。

3、对离心运动的分析：

当ω

2mr F =时，物体做匀速圆周运动； 当F= 0时，物体沿切线方向飞出； 当ω

2mr F <时，物体逐渐远离圆心； 当ω2

mr F >时，物体逐渐靠近圆心

4、离心机械：利用离心运动的机械 真题回顾： 下列说法正确的是 ( )

A 、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失

时，将沿圆

周半径方向离开圆心；

B 、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，将沿圆周切线方向离开圆心；

C 、作匀速圆周运动的物体，它自己会产生一个向心力，维持其作圆周运动；

D 、作离心运动的物体，是因为受到离心力作用的缘故。

变式一：为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以：( )

A 、增大汽车转弯时的速度

B 、减小汽车转弯时的速度

C 、增大汽车与路面间的摩擦

D 、减小汽车与路面间的摩擦 变式二：下列说法中错误的有：（ ）

A 、提高洗衣机脱水筒的转速，可以使衣服

甩得更干

B 、转动带有雨水的雨伞，水滴将沿圆周半径方向离开圆心

C 、为了防止发生事故，高速转动的砂轮、飞轮等不能超过允许的最大转速

D 、离心水泵利用了离心运动的原理

二、考点、热点解析

高考中出现向心力和向心加速度的考点很多，高考大纲中向心力更是要求理解与应用，而且与天体运动联合考察。因此本节要求对向心力和向心加速度能进行分析、推理和综合应用。

考点一：汽车过拱形桥

如图：G 和N 的合力提供汽车做圆周运动的向心力（桥半径R ）

由R m N G v 2

=-得R m G N v 2

-=

（1）由牛顿第三定律可知汽车对桥的压力N′= N

（2）汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小

（3）当汽车的速度增大到 Rg 时,压力为零。

例题1：一辆汽车匀速率通过半径为R 的圆弧拱形路面，关

于汽车的受力情况，下列说法正确的

是（ ）

A ．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力

B ．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车所受重力

C ．汽车的牵引力大小不发生变化

D ．汽车的牵引力大小逐渐变小 变式一： 如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥

面的压力情况，以下说法正确的是 ( )

A.受支持力和向心力

B.在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力

C.汽车对桥面的压力小于汽车的重力

D.汽车对桥面的压力大于汽车的重力 变式二：如图所示，汽车以一定的速度经过丘陵地带，由于轮胎太旧，途中“放了炮”。你认为可能性最大的是那一点( )

A. A 处

B.B 处

C.C 处

D.D 处

变式三： 如图所示，圆弧形拱桥AB 的圆弧半径为

40 m ，桥高l0m ，一辆汽车通过桥中央时桥受压力为车重的1/2，汽车的速率多大?若汽车通过桥中央时对桥恰无压力，汽车的落地点离AB 中点P 多远?

考点二：“旋转秋千”模型

如图，小球做圆锥摆时细绳长l ，与竖直方向成α角。

小球受到竖直向下的重力G ，沿绳方向的拉力T ，向心力由T 和G 的合力

提供：ω2

tan mg mr a F ==合 又

得

结论：缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与

所乘坐人的体重无关，在绳长一定的情况下，角速度越大则缆绳与中心轴的夹角也越大。 例题2：如图所示,内壁光滑的半球形容器半径为R ，一个小球(视为质点)

在

θsin l r =2

cos l g ωα

=

容器内沿水平面做匀速圆周运动，小球与容器球心连线与竖直方向成θ角，则小球做匀速圆周运动的角速度为＿＿.

答案： 变式一： 质量为m 的小球，用长为l 的线悬挂在O 点，在O 点正下方l/2处有一光滑的钉子O/，把小球拉到与O/在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示，将小球从静止释放，当球第一次通过最低点P 的瞬间：

A ．小球速率突然减小

B ．小球角速度突然减小

C ．小球的向心加速度突然减小

D ．摆线上的张力突然减小

变式二：如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC ⊥AB ，∠AOC ＝30°，一条不计质量、长为L 的绳(L

，(2)当gL v 2

3=时，分别求出绳对物体的拉力。

考点三：火车转弯

α

ωcos l g

=

设内外轨间的距离为L ，内外轨的高度差为h ，火车转弯的半径为R

L mgh a mg a F /sin tan mg =≈=合 又R

m v F 2

=合 即火车转弯的规定速度L

Rgh v =0 例题3： 在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了( )

A ．减轻火车轮子挤压外轨

B ．减轻火车轮子挤压内轨

C ．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力

D ．限制火车向外脱轨

答案:ACD 变式一：火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶的速度为v ，则下列说法中正确的是( )

① 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

② 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③ 当速度大于v 时，轮缘挤压外轨

④ 当速度小于v 时，轮缘挤压外轨

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

三、重难点、易混点、典型例题

竖直平面内圆周运动所需的拉力或支持力是本节的重点与难点。

例题1：如图所示,小球A 质量为m.固定在长为L 的轻细直杆一端,并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动.如果小球经过最高位置时,杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力.求

(1)球的速度大小.⑵当小球经过最低点时速度为gL 6，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小.

解析：(1)最高点时,杆对小球的拉力向下,设球的速度为v 1,

由牛顿第二定律有 L

v m mg 212= 得

gL v 21= (2)当经过最低点时gL v 62= ,则向心加速度

g L

gL L v a 66222=== 又由牛顿第二定律有

L

v m mg F 22=- 得 mg F 7= 变式一：绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳长=40cm.求

（1）桶在最高点水不流出的最小速率？

（2）水在最高点速率=3m/s 时水对桶底的压力？(g 取10m/s 2

)

变式二：如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速率进入管内，若A 球通过圆周最高点C ，对管壁上部的压力为3mg ，B 球通过最高点C 时，对管壁内侧下部的压力为0.75mg ，求A 、B 球落地点间的距离．

四、课堂精练

1、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运

动，物体相对桶壁静止．则（ ）

A ． 物体受到4个力的作用．

B．物体所受向心力是物体所受的重力提供的．

C．物体所受向心力是物体所受的弹力提供的．

D．物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．

2、如图A2所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定的圆弧形轨道的A点滑到B点，下列说法

正确的是（）

A、它所受的合外力的大小是恒定的

B、向心力大小逐渐增大

C、向心力逐渐减小

D、向心力不

3、在一段半径为R的圆孤形水平弯道上,已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍,则汽车拐弯时的安全速度是（）

4、质量为m的飞机，以速率v在水平面上做半径为r的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等

于（）

A、mg

B、mv2/r

C、m（g2+v4/r2）1/2

D、m（v4/r2- g2）1/2

5、做匀速圆周运动的物体，其线速度大小为3m/s，角速度为6rad/s，则在0.1s内物体通过的弧长

为__________m，半径转过的角度为_________rad，半径是_______m。

6、一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来

的向心力大40 N，物体原来的向心力大小为________ .

7、汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥的压力为车重的3/4，如果使汽车行驶至桥顶时桥

恰无压力，则汽车速度大小为_ m/s。

8、如图所示，一绳系一球在光滑的桌面上做匀速圆周运动，绳长L＝0.1m，当角速度为ω＝20πrad/s

时，绳断开，试分析绳断开后：

(1) 小球在桌面上运动的速度；

(2) 若桌子高1.00m，小球离开桌子后运动的时间．