2017年考研数学一真题及答案解析
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已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（18）（本题满分10分）
设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
且 ，使得 ，即
在 至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
求 在 平面上的投影曲线的方程；
求 的 质量。
【答案】64
【解析】
（1）由题设条件知， 的方程为
则 在 平面的方程为
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
，当 时满足，故选C.
（5）设 是 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（）
【答案】A
【解析】选项A,由 得 有非零解，故 。即 不可逆。选项B,由 得 的特征值为n-1个0，1.故 的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
（6）设矩阵 ,则（）
【答案】B
【解析】由 可知A的特征值为2,2,1
当
当
当 时，
综上
令
由此可得 的矩估计量
对总体 的 个样本 ，则相交的绝对误差的样本 令其样本值为
则对应的似然函数
两边取对数，当 时
令
所以， 为所求的最大似然估计。
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)已知函数 ，则 =__________
【答案】
【解析】
(10)微分方程 的通解为 _________
【答案】 ，（ 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为
故通解为
(11)若曲线积分 在区域 内与路径无关，则
（3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（）
【答案】D
【解析】
选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
【答案】B
【解析】从0到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（21）（本题满分11分）设二次型
在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
，
由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
（4）当 时，
（5）当 时，
所以综上
所以
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质量 是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 。该工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计 。
求 的概率密度；
利用一阶矩求 的矩估计量
【答案】
【解析】
__________
【答案】
【解析】 由积分与路径无关知
(12)幂级数 在区间 内的和函数 ________
【答案】
【解析】
（13）设矩阵 ， 为线性无关的3维列向量组，则向量组 的秩为_________
【答案】2
【解析】由 线性无关，可知矩阵 可逆，故
再由 得
（14）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 _________
证明 ；
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
（22）（本题满分11分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密度为
求
求 的概率密度。
【答案】
【解析】
（1）当 ，而 ，则
（2）当 即 时，
（3）当 时，
【答案】2
【解析】 ，故
。令 ，则 =
因此 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（16）（本题满分10分）求
【答源自文库】
【解析】
（17）（本题满分10分）
2017年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数 在 处连续，则（）
【答案】A
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设函数 可导，且 ，则（）
【答案】C
【解析】 或 ，只有C选项满足 且满足 ，所以选C。
因为 ，∴A可相似对角化，且
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴ ，且B不相似于C
（7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是（）
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（18）（本题满分10分）
设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
且 ，使得 ，即
在 至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
求 在 平面上的投影曲线的方程；
求 的 质量。
【答案】64
【解析】
（1）由题设条件知， 的方程为
则 在 平面的方程为
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
，当 时满足，故选C.
（5）设 是 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（）
【答案】A
【解析】选项A,由 得 有非零解，故 。即 不可逆。选项B,由 得 的特征值为n-1个0，1.故 的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
（6）设矩阵 ,则（）
【答案】B
【解析】由 可知A的特征值为2,2,1
当
当
当 时，
综上
令
由此可得 的矩估计量
对总体 的 个样本 ，则相交的绝对误差的样本 令其样本值为
则对应的似然函数
两边取对数，当 时
令
所以， 为所求的最大似然估计。
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)已知函数 ，则 =__________
【答案】
【解析】
(10)微分方程 的通解为 _________
【答案】 ，（ 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为
故通解为
(11)若曲线积分 在区域 内与路径无关，则
（3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（）
【答案】D
【解析】
选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
【答案】B
【解析】从0到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（21）（本题满分11分）设二次型
在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
，
由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
（4）当 时，
（5）当 时，
所以综上
所以
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质量 是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 。该工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计 。
求 的概率密度；
利用一阶矩求 的矩估计量
【答案】
【解析】
__________
【答案】
【解析】 由积分与路径无关知
(12)幂级数 在区间 内的和函数 ________
【答案】
【解析】
（13）设矩阵 ， 为线性无关的3维列向量组，则向量组 的秩为_________
【答案】2
【解析】由 线性无关，可知矩阵 可逆，故
再由 得
（14）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 _________
证明 ；
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
（22）（本题满分11分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密度为
求
求 的概率密度。
【答案】
【解析】
（1）当 ，而 ，则
（2）当 即 时，
（3）当 时，
【答案】2
【解析】 ，故
。令 ，则 =
因此 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（16）（本题满分10分）求
【答源自文库】
【解析】
（17）（本题满分10分）
2017年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数 在 处连续，则（）
【答案】A
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设函数 可导，且 ，则（）
【答案】C
【解析】 或 ，只有C选项满足 且满足 ，所以选C。
因为 ，∴A可相似对角化，且
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴ ，且B不相似于C
（7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是（）