第八讲_数学史融入数学课堂教学

后来印度数学家婆什迦罗，阿拉伯数学家阿 尔比鲁尼(AlBiruni,973—1048)，意大利 数学家斐波那契(L.Fibonacci,1175— 1250)都曾对等比数列的求和问题进行过讨 论或研究。
1410年，意大利数学家贝尔达曼迪 (Prosdocimo de’Beldamandi,1370— 1428)在《整数算法》中给出如下的等比数 aq n 1 a 列求和公式：a aq aq 2 aq n1 aq n1 ,
二、教学设计
根据等比数列的历史发展特点，主要是历史悠 久和实际联系性，我们将设计一个教学方案以 强调等比数列的内在性质。
1.等比数列的概念
研究某一特殊简单的数列，给学生以直观的 印象。如 1, 2, 4,8,16, 让学生思考这 一数列有什么特点。进而得出等比数列的本 质特征：该数列的任意后一项与前一项的比 始终为一个常数。
2. 等比数列的性质
让学生思考如何来表示这一类数列的性质？ 根据性质的含义可以用如下等式表示：
a3 an a2 a4 q, q, q, q, a1 a2 a3 an 1
把这些等式相乘，得
a2 a3a4 an 1an an n 1 q ,即 q n 1所以an a1q n 1 a1a2 a3 an 2 an 1 a1
数列课时（12课时）及要求
（1）数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示 方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。

（2）等比数列
①通过实例，理解等比数列的概念。 ②探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知 识解决相应的问题。
教师应用数学史至少可以分为三个层次： (1)讲故事； (2)在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓 宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹 性； (3)从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学 教育过程中实践多元文化关怀的理想。
1.2 将数学史融入数学教学的过程 将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历 史故事那么简单，Furinghetti认为，融入的过程一 般包括以下几个阶段： 学习历史资料 选出适合于课堂教学的话题 分析课堂需要 制定课堂活动计划 完成方案 对活动的评价。
米粒的数目是64个数的和，第一个数是1，第 二个是2，以下每个数是它前一个数的两倍。 如此，64个数的和为 2 3 62 63 S 1 2 2 2 2 2 （1） 考虑错位相减法，用2乘（1）式两边得 （2） 2S 2 22 23 263 264 （2）减去（1）得
本专题不必追求数学发展历史的系统性和完 整性，通过学生喜闻乐见的语言与生动有趣 的事例呈现内容，使学生体会数学发展的轨 迹和重要思想。本专题的内容安排与教学可 以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数 学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉 的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展 中的重要事件和人物。
HPM视角下的等比数列及教学设计
高中数学课程标准要求：
数学史对于比较全面了解和深刻认识数学本 身，全面了解整个人类文明的发展具有重要 意义。在本专题中，学生将通过生动、丰富 的事例，概略地了解数学发展过程中若干重 要事件、重要人物与重要成果，初步了解数 学产生与发展的过程，体会数学对人类文明 发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对 数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而 不舍的探索精神。
此问题亦为已知等比数列的项数，公比及各项 之和，求各项。公比仍是2，而
1 2 2 2 2 2 1
2 3 4 5
因此
5 5 a1 2 3 4 1 2 2 2 2 31
又如《孙子算经》卷下一题：“今有出门望见 九 堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九 禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几 何？” 此问题虽然是一个简单的计算问题，但是很明 显题中的堤，木，枝，巢，禽，雏，毛，色的 数目构成一个等比数列。这样的数列具有浓郁 的生活气息，给我们的教学提供了参考素材。
S 2 1 184467440737709551615
64
这么多的米粒，若把它铺撒在地球的表面 上，可以铺成约为9毫米厚的米层！难怪太子 西拉谟发不出这奖品。
由特殊导出一般算法求出前n项和公式
当q 1时， S n a1 a2 a3 an a1 a1q a1q 2 a1q n 2 a1q n 1 S n a1 a1q a1q 2 a1q n 2 a1q n 1两边同乘以q，则有 qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n 1 a1q n 两式相减得： 1 qn qS n S n a1q n a1，即得S n a1 1 q 当q 1时,S n na1
第八讲 数学史融入数学课堂教 学的方法
如何将数学史融入数学教学？
•Leabharlann Baidu数学史在数学教学中的各种作用正在被越 来越多的研究所证实，也逐步成为各国数 学教育界的共识。随着HPM研究的深入开 展，学术界日益注重数学史融入数学教学 的可操作性具体方法的探讨以及数学史在 数学教育中作用的实际证据的获取。如何 将数学史融入数学教学的实践探索是未来 HPM研究的重要方向之一。如果不注重实 际操作的研究，将数学史融入数学教学恐 怕只是一句空洞的口号而已。
④体会等比数列与指数函数的关系。
一、数列的历史背景
远古时期已存留下数列的某些痕迹，虽然那 时对数列还是初步的和肤浅的认识，但从中 看出数列问题具有非常悠久的历史，对数列 历史发展的考察，将促使我们对数列加深理 解，同时也为数列的教学挖掘一些具有启示 性的素材。
早在公元前3000年，古巴比伦就研究了数 列： 2 ,23 , ,29 ，并给出了它的和为： 1,2,2 古希腊欧几里德的《几何原本》第九篇命题 6：若几何级数一些项之和（前n项和） 2 n1 1 2 2 2 是质数（素数），那么 这个和同最末项的乘积是完全数。其中就涉 及到了几何级数（等比数列）的问题。
• 经由T-C1-I循环即是教师融入教材编者所编写的 教科书内容，领会教材的精神，做出自己的诠释。 这是一般的数学教师在从事数学教学时经历的思 考过程。当在数学教学中融入数学史之后，教师 必须进入C2循环，领会古代数学家对数学内容所 做的解释，经过自己的诠释，显现于教学。同时， 教师还必须斟酌C1和C2之间的连结，此时，教师 能够体会到教学目标是数学知识，这样，当真正 进入实际教学时，教师的数学教学活动就不会迷 失在漫无目的琐碎历史细节之中。 • 这也正是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（H. Freudenthal, 1905～1990）所主张的“经过引导 的再创造”(guided re-invention)的真正含义： “我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是 经改良过同时有更好引导的历史过程。”
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本的数学模型。在本模块中，学生将通 过对日常生活中大量实际问题的分析，建立 等差数列和等比数列这两种数列模型，探索 并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两 种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一 些实际问题。
等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学 中应重视通过具体实例（如：教育贷款、购 房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等）， 使学生理解这两种数列模型的作用，培养学 生从实际问题中抽象出数列模型的能力。
n
《九章算术》中的第三章“衰分”（即比例 分配问题）章第二题：今有牛，马，羊食人 苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半 马（所食）”。马主曰：“我马食半牛（所 食）”。今欲衰偿之，问各出几何。此问题 其实就是一个等比数列的问题，而且是一个 简单，典型的实际例子。
术曰：置牛四，马二，羊一，各自为列衰（即 所配的比率），副并（得所配比率的和）为法。 以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。
q 1
a aq aq 2 aq n 2 其实此公式就是：
这与现代公式是一致的。
aq n 1 a , q 1
1484年，法国数学家休盖给出等比数列求 qaq n 1 a 和公式： S n
q 1
1544年，德国数学家斯蒂菲尔则给出如下 的公式：
(qaq n 1 a )a Sn (q 1)a
而后16世纪，德国数学家克拉维斯在其《实 用算术概要》中给出等比数列的前n项和公 式。
(an a1 ) Sn an q 1
这个公式给出了首项，末项，公比与和的关 系，与贝尔达曼迪的一致。
17世纪，英国数学家沃利斯给出等比数列的 求和公式
VR A S R 1
其中A，R，V，S分别表示首项，公比，末 项，和。
第一节 数学教学中如何运用数学史 • 1.1 将数学史融入数学教学的层次 • 对于数学史融入数学教学，存在着很多片 面的理解，最普遍的是将其理解为在数学 课堂讲点数学史以提高学生的兴趣，显然 这只是数学史应用的较低层次。很多学者 赞成使用“将数学史融入数学教学”这一 说法，是因为它“更适合表达数学史在分 析学习和理解过程方面的效果”
卖柑子
小贩以其所有柑子的一半又一半卖给第一 人，以其剩余的一半又半个卖给第二人，同 样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来 买时，小贩已经卖完了，问小贩原有柑子若 干？
得
an 1 an an an 1 a a 2 1 an an 1 a1
由合比定律，我们又有
an 1 a1 an 1 a1 a2 a1 q 1 an an 1 a1 Sn a1
这等价于我们今天的
a1 (q 1) Sn (q 1) q 1
试着让学生计算简单数列的前n项和
传说古印度有人发明了一种棋类游戏，太子 西拉谟打算建立发明者，让他自己选择奖品， 发明者请求，按军棋上的格数赏给他一粒米， 但必须第一格给他一粒米，第二格两粒米， 第三格四粒米，以下各格的米粒是它的前一 格米粒数的两倍，台资应允了他的请求，按 照军棋盘上的64个方格计算应发给发明者的 米粒熟，结果使太子目瞪口呆，因为全国的 存米还不够数！现在我们来计算一下应给发 明者的米是多少？
2 2 1
9 9
以上这些说明在人类文明的早期不仅注意到 了等比数列的基本性质，而且也进一步研究 等比数列的求和问题了。
命题35给出等比数列求和公式（Heath1921） 设有等比数列 a1 , a2 , , an1，公比为q( 1)。则由
an 1 an a2 an an 1 a1
上述问题的实质是，已知等比数列的项数，公 比及各项和，求各项。由于公比是2，而
1 2 2 2 1
2 3
因此
5 a1 2 1 2 2
a1 (q n 1) Sn (q 1) q 1
这实际上是公式
的实际应用。
第四题：今有女子善织，日自倍，五日织五 尺。问日织几何？ 术曰：置一，二，四，八，十六为列衰，副 并为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如 法得一尺。
• 在C1 和C2 的连结上，教师可以采取不同 的路径，例如：T-C1-I-C2-I-C1-I-…代表的 是教师从教科书入手，寻找数学史料，然 后来回地思考C1和C2之间的联系，用以教 学。此时教师是针对教材寻找史料，对所 寻找素材的重要性加以自我诠释。另外教 师也可能经由T-C2-I-C1-I-C2-…等路径， 这是因为当教师认识了HPM 之后，当发现 有趣的数学史料，也会进入C1，寻找适合 的角度融入教学。