工程力学第八章
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nb ns
- 塑性材料 - 脆性材料
40
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [ ] A max
max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [ ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [ ] 确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[ ]
20
2. 斜截面 m-m 上的应力
0 12.5 MPa
50
50 0 cos 2 0cos 2 50
50 51.6 MPa 50 0 sin 2 0 sin 100
2 2
50 61.6 MPa
21
§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
2F [ t ] A1
F [ c ] A2
F
A1[ t ] 14.14 kN F A2[ c ] 15.0 kN 2 故 [ F ]14.14 kN
45
§7 胡克定律与拉压杆的变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
胡克定律与杆的轴向变形
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
4
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
5
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
6
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
38
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力
轴向拉压强度条件 例题
39
失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s - 塑性材料 u b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 u [ ] n ≥ 1 安全因数 n
[ ] [ ]
s b
41
例 题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
解：1. 问题分析 轴力分析应力分析根据强度条件确定直径
42
2. 轴力分析
F
y
0, F 2FN cos 0
得：FN F 2cos
横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
13
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos 0 cos A
p cos 0cos 2 0 p sin sin2
2
14
15
圣维南原理 杆端应力分布
16
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
17
圣维南 Adhé mar Jean Claude Barréde Saint-Venant (1797～1886) 法国力学家。1797年生于福尔图瓦索，1886年1月6日卒于圣旺。 圣维南出身于一个农业经济学家的家庭。1813年进巴黎综合工科学校求 学，1814年因政治原因被除名。1823年法政府批准他免试进桥梁公路学校学 习，1825年毕业。后从事工程设计工作，业余研究力学理论。1834年发表两 篇力学论文，受到科学界重视。1837年起在桥梁公路学校任教。1868年被选 为法国科学院院士。 圣维南主要研究弹性力学。1855和1856年用半逆解法分别求解柱体扭转 和弯曲问题，求解运用了这样的思想;如果柱体端部两种外加载荷在静力学上 是等效的,则端部以外区域内两种情况中应力场的差别甚微。J.V.布森涅斯克 于1885年把这个思想加以推广，并称之为圣维南原理：设弹性体的一个小范 围内作用有一个平衡力系(即合力和合力矩均为零)，则在远离作用区处弹性体 内由这平衡力系引起的应力是可以忽略的。圣维南原理长期以来在工程力学 中得到广泛应用，但是它在数学上的精确表述和严格证明经过将近一百年的 时间,才由R.von米泽斯和E.斯特恩贝格作出。但此证明有局限性，后来有人举 出了圣维南原理不适用的实例。1868年以后，圣维南研究延性材料的塑性流 动，提出塑性流动的基本假设和基本方程。他把这一课题称为塑性动力学。 圣维南研究结果大多发表于法国科学院学报上。他在1864年为老师C.-L.M.-H.纳维的著作《力学在结构和机械方面的应用》编辑第三版时，在书中加 入大量注释和附篇，使纳维的原著只占全书的十分之一；圣维南在这些注释 和附篇中表述了自己对材料力学和弹性力学的许多见解。
18
圣维南原理
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系 可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于 同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区 别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处 的影响可以忽略。 其要点有两处： 一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等 效”力系；
二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在 小表面附近失去精确解。
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
34
应力集中因数
max K n
max－最大局部应力 n －名义应力
n
F ( b d )
－板厚
35
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
36
疲劳破坏
b s
24
拉伸试验与应力－应变图
F F / A l l / l
应力－应变图
25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性 低碳钢Q235
滑移线
26
p-比例极限 s-屈服极限
b-强度极限 E= tan - 弹性模量
27
材料的塑性 塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力
试求载荷F的许用值－许用载荷 [F]
解：1. 轴力分析
由
Fy 0
与
Fx 0
44
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
2. 应力分析
1
FN1 2F (拉应力) A1 A1 FN2 F (压应力) A2 A2
2
3. 确定[F]
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
等截面匀质杆:
E
l
FN A
l l
FN l －胡克定律 EA
在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴 力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比 EA - 杆截面的 拉压刚度 阶梯形杆:
F l l Ni i i 1 Ei Ai
n
l - 伸长为正, 缩短为负
伸长率 l－试验段原长（标距） l0－试验段残余变形
l0 100 0 0 l
28
断面收缩率
A A1 1000 0 A
A －试验段横截面原面积
A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料 塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
BC 段： FN2 F 0
FN2 F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
7
轴力图
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
8
例 题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆 的轴力图，求最大轴力 解：1. 轴力计算
FN x xA rg FN x Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 0
FN l lArg
FN,max lArg
9
§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
ห้องสมุดไป่ตู้
10
拉压杆横截面上的应力
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（塑 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
3. 最大应力分析
0cos
2
0
2
sin2
max 0 0 max 45 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为0 最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为
0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
29
其它材料的拉伸力学性能
塑性金属材料拉伸
30铬锰硅钢 50钢 硬铝
/%
0.2－名义屈服极限
30
灰口铸铁拉伸
断口与轴线垂直
31
灰口铸铁压缩
b)c= 3 ~ 4 (b)t
断口与轴线约成45o
32
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数 交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
n － 杆段总数 FNi－ 杆段 i 的轴力
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
b b1 b
泊松比
试验表明
b ' b
：在比例极限内，’ ，并异号
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区 域深度与小表面的直径有关。 19
例 题
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
FN F 50 103 N 0 12.5 MPa A A 400 106 m2
3. 应力计算
4FN F 2 2 πd πd 2 cos
4. 确定直径 d
2F [ ] πd 2 cos
d 2F 5.31102 m [ ]πcos
取 d 5.30 mm
43
例 6-2 已知 A1=A2=100 mm2, [t ]=200 MPa, [c ]=150 MPa
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
11
2. 假设
变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 – 拉压平面假设
3.正应力公式
横截面上各点处仅存在正 应力，并沿横截面均匀分布 公式得到试验证实
12
FN A
拉压杆斜截面上的应力
1. 斜截面应力分布
横截面上 的正应力 均匀分布
胡克定律
实验表明：当 p 时，
引入比例常数E
E
在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律
E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
1 GPa109 Pa103 MPa 钢与合金钢： E 200~ 220 GPa
铝合金： E 70~ 72 GPa
轴向变形公式
拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能 其它材料的拉伸力学性能 材料压缩时的力学性能
22
拉伸试验与应力－应变图
拉伸标准试样
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
23
拉伸试验
试验装置
- 塑性材料 - 脆性材料
40
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [ ] A max
max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [ ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [ ] 确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[ ]
20
2. 斜截面 m-m 上的应力
0 12.5 MPa
50
50 0 cos 2 0cos 2 50
50 51.6 MPa 50 0 sin 2 0 sin 100
2 2
50 61.6 MPa
21
§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
2F [ t ] A1
F [ c ] A2
F
A1[ t ] 14.14 kN F A2[ c ] 15.0 kN 2 故 [ F ]14.14 kN
45
§7 胡克定律与拉压杆的变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
胡克定律与杆的轴向变形
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
4
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
5
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
6
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
38
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力
轴向拉压强度条件 例题
39
失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s - 塑性材料 u b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 u [ ] n ≥ 1 安全因数 n
[ ] [ ]
s b
41
例 题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
解：1. 问题分析 轴力分析应力分析根据强度条件确定直径
42
2. 轴力分析
F
y
0, F 2FN cos 0
得：FN F 2cos
横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
13
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos 0 cos A
p cos 0cos 2 0 p sin sin2
2
14
15
圣维南原理 杆端应力分布
16
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
17
圣维南 Adhé mar Jean Claude Barréde Saint-Venant (1797～1886) 法国力学家。1797年生于福尔图瓦索，1886年1月6日卒于圣旺。 圣维南出身于一个农业经济学家的家庭。1813年进巴黎综合工科学校求 学，1814年因政治原因被除名。1823年法政府批准他免试进桥梁公路学校学 习，1825年毕业。后从事工程设计工作，业余研究力学理论。1834年发表两 篇力学论文，受到科学界重视。1837年起在桥梁公路学校任教。1868年被选 为法国科学院院士。 圣维南主要研究弹性力学。1855和1856年用半逆解法分别求解柱体扭转 和弯曲问题，求解运用了这样的思想;如果柱体端部两种外加载荷在静力学上 是等效的,则端部以外区域内两种情况中应力场的差别甚微。J.V.布森涅斯克 于1885年把这个思想加以推广，并称之为圣维南原理：设弹性体的一个小范 围内作用有一个平衡力系(即合力和合力矩均为零)，则在远离作用区处弹性体 内由这平衡力系引起的应力是可以忽略的。圣维南原理长期以来在工程力学 中得到广泛应用，但是它在数学上的精确表述和严格证明经过将近一百年的 时间,才由R.von米泽斯和E.斯特恩贝格作出。但此证明有局限性，后来有人举 出了圣维南原理不适用的实例。1868年以后，圣维南研究延性材料的塑性流 动，提出塑性流动的基本假设和基本方程。他把这一课题称为塑性动力学。 圣维南研究结果大多发表于法国科学院学报上。他在1864年为老师C.-L.M.-H.纳维的著作《力学在结构和机械方面的应用》编辑第三版时，在书中加 入大量注释和附篇，使纳维的原著只占全书的十分之一；圣维南在这些注释 和附篇中表述了自己对材料力学和弹性力学的许多见解。
18
圣维南原理
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系 可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于 同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区 别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处 的影响可以忽略。 其要点有两处： 一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等 效”力系；
二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在 小表面附近失去精确解。
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
34
应力集中因数
max K n
max－最大局部应力 n －名义应力
n
F ( b d )
－板厚
35
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
36
疲劳破坏
b s
24
拉伸试验与应力－应变图
F F / A l l / l
应力－应变图
25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性 低碳钢Q235
滑移线
26
p-比例极限 s-屈服极限
b-强度极限 E= tan - 弹性模量
27
材料的塑性 塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力
试求载荷F的许用值－许用载荷 [F]
解：1. 轴力分析
由
Fy 0
与
Fx 0
44
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
2. 应力分析
1
FN1 2F (拉应力) A1 A1 FN2 F (压应力) A2 A2
2
3. 确定[F]
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
等截面匀质杆:
E
l
FN A
l l
FN l －胡克定律 EA
在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴 力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比 EA - 杆截面的 拉压刚度 阶梯形杆:
F l l Ni i i 1 Ei Ai
n
l - 伸长为正, 缩短为负
伸长率 l－试验段原长（标距） l0－试验段残余变形
l0 100 0 0 l
28
断面收缩率
A A1 1000 0 A
A －试验段横截面原面积
A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料 塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
BC 段： FN2 F 0
FN2 F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
7
轴力图
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
8
例 题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆 的轴力图，求最大轴力 解：1. 轴力计算
FN x xA rg FN x Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 0
FN l lArg
FN,max lArg
9
§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
ห้องสมุดไป่ตู้
10
拉压杆横截面上的应力
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（塑 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
3. 最大应力分析
0cos
2
0
2
sin2
max 0 0 max 45 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为0 最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为
0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
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其它材料的拉伸力学性能
塑性金属材料拉伸
30铬锰硅钢 50钢 硬铝
/%
0.2－名义屈服极限
30
灰口铸铁拉伸
断口与轴线垂直
31
灰口铸铁压缩
b)c= 3 ~ 4 (b)t
断口与轴线约成45o
32
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数 交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
n － 杆段总数 FNi－ 杆段 i 的轴力
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
b b1 b
泊松比
试验表明
b ' b
：在比例极限内，’ ，并异号
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区 域深度与小表面的直径有关。 19
例 题
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
FN F 50 103 N 0 12.5 MPa A A 400 106 m2
3. 应力计算
4FN F 2 2 πd πd 2 cos
4. 确定直径 d
2F [ ] πd 2 cos
d 2F 5.31102 m [ ]πcos
取 d 5.30 mm
43
例 6-2 已知 A1=A2=100 mm2, [t ]=200 MPa, [c ]=150 MPa
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
11
2. 假设
变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 – 拉压平面假设
3.正应力公式
横截面上各点处仅存在正 应力，并沿横截面均匀分布 公式得到试验证实
12
FN A
拉压杆斜截面上的应力
1. 斜截面应力分布
横截面上 的正应力 均匀分布
胡克定律
实验表明：当 p 时，
引入比例常数E
E
在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律
E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
1 GPa109 Pa103 MPa 钢与合金钢： E 200~ 220 GPa
铝合金： E 70~ 72 GPa
轴向变形公式
拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能 其它材料的拉伸力学性能 材料压缩时的力学性能
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拉伸试验与应力－应变图
拉伸标准试样
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
23
拉伸试验
试验装置