因式分解思维与运用论文

因式分解的思维与运用

摘要：因式分解有近百年来的沿革历程．它在代数教学中具有非常重要的地位，是代数运算的基础。能够灵活的运用因式分解，对直觉思维能力和观察能力的培养有很大作用。

关键词：因式分解；代数；灵活；思维；能力

中图分类号：g633.62 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）11-228-02

一、引言

因式分解在代数教学中具有重要的地位，是代数运算的基础，如在分式运算、一元二次方程的解法、一元二次不等式、二次函数、三角方程和根式运算等方面都发挥着十分重要的作用，著名数学家吴文俊曾说“只会推理, 缺乏数学直觉, 是不会有创造的”一个可约多项式究竟如何去分解，需要正确的灵活掌握因式分解的方法。分解因式蕴含的数学思想、方法需要我们通过因式分解这一“载体”塑造良好的数学思维品质，而不能满足于仅只知道一些相对固定的方法，可以说“因式分解将贯穿整个数学过程”。因式分解是初中代数“式”的重要内容，是代数教学的重点，因为其在整个初中代数教学体系，甚至部分几何教学里发挥着重要作用，是一个必不可少的“工具”；在分式的运算中，因式分解是通分和约分必备的基础知识；在解二次或高次方程、方程组、不等式中，因式分解法可以有效地解决方程中的降次问题；在数的计算中，因式分解是进行

简便运算的一种常用方法；因式分解还可以在等式证明、整除问题、初中几何问题中发挥作用。可见，因式分解在初中数学体系中具有承上启下的重要作用。因式分解一般安排在初二（或八年级）学习，而这一时期是学生学习数学的一个重要发展阶段，也就是具体思维向形式思维转变的时期，所以可以说因式分解的教学处于学生数学思维的转变阶段，由具体的数的运算向字母的运算过渡的阶段．在初二分式运算中的约分、通分、加减、乘除混合运算的运用，初三的解一元二次方程以及简单的二元二次方程组中的运用等，可以说在因式分解中的运用以外，还在计算、化简中起着重要的衔接作用，是初中代数的重要一环。

二、因式分解的分类及发展

整式之因式的考题分为四类，一是利用乘法及除法公式分析代数式之因式；二是利用配方法分析因式，此法对于一般之二次三项式均能适用；三是三次以上之多项式可择一文字为主元而依其降次排列之，然后将全式分成若干组，每组二项或三项，如果各组有共同之因式即为原式之因式，是为集项法；四是应用下述之因式定理，可以分析一元多项式或二元齐次式之因式．定理：如果一个数l 替代一元多项式的主元x，所得的值是零，则必然是该式的因式；五是对称函数，形如：（现称对称式）；六是待定系数法，三元二次式用此法；七是利用除法公式，可以分析二项式之因式；八是最高公因式及最低公倍式，求公因式约分法之根据，求公倍式为通分之根本．反观现在的中学数学题已很难找到这样的题目，现在的中考

题因式分解主要考核三个方面：一是因式分解的意义，解此类题主要是依据因式分解的定义，从对象和结果两方面去分析;二是多项式的因式分解，主要使用首先提公因式，然后利用公式法进行因式分解；三是因式分解的应用.现在的因式分解的试题无论是难度还是分值都在减弱，也就是现今对因式分解的考核一般不再单独考核而把其融入分式或其他代数基本运算考核之中，正如最小公倍数，最大公约数等知识已融入分式中的通分和约分的教学中一样，不再把其当作知识考核，而把其当作一种运算技能在相关题目中考核．可到现在对于多项式的因式分解取消了最高公因式，最低公倍式，立方和与立方差公式的要求。对于十字相乘法，却没有明确给出其交叉相乘再相加的运算过程，只是提到用视察法来套用公式。现今更注重从实际的例子引入，这样能够显得顺理成章，毫不突兀，便于理解。

三、因式分解中思维的重要性

在因式分解中，需要多角度地讨论每一题目的解题思路, 认真思考每一定理、性质等在各个题型和各题目中的应用, 有的可一题多解，这就需思维要有流畅性；因式分解中会一题多变,需化归思想转化策略等, 这就需思维能够变通；在命题引申、拓广过程中，如因式分解中的通过变通形式上非“二次三项式”而实质上可通过用解决“二次三项式”的多项式策略进行分解等, 这就需思维能够具备独特性，而思维的流畅性、变通性、独特性正是发散思维的突出特点。例如,一个四项式可以为分为一项与三项两组, 也可

以分为二项与二项两组, 个别的还需要补项变成六项后再分组等等。其二, 对于同一个多项式, 有的能运用恰当方法准确迅速地求解, 而有的则是过程繁琐, 甚至认为自己的思路是对的可就是达个到问题的解决或者说因方法的差异得到不同的结果而感到困惑不解，我们知道, 发散思维只为创造思维提供了思维方向的各种可能性, 并没有为思维成果提供必然性, 这就需要发挥集中思维的作用。只有通过集中思维才能提供创造思维的产品，由发散思维产生的许多观点、设想方法，有正有误是司空见惯的，甚至的还与我们的目标相背离。那么，对此如何作正确有效的选择呢？集中思维就是要对这些由发散思维所提出的各种可能性，逐一地进行讨论、分析、综合，作出比较、评价和选择，从中得出最终的抉择和判断，最后将各种假设变为解决问题的现实方案。对创造思维来说, 集中思维虽然是在发散思维的基础上进行的，并且它可以看做创造思维的第二阶段，缺乏发散思维素质的人固然想不出创新的主意和设想。但如果仅仅善于进行发散思维，而缺乏进行集中思维的素质, 就不能进行正确的判断和决策,即使产生了非常有价值的发散思维成果, 也不能使之获得实现和成功。因此，作为一个完整的思维过程，发散思维和集中思维如同创造思维的两翼而缺一不可。

四、因式分解常见方法

1、提公因式法提公因式是最简单的，也是最基础的。当提公因式是，项数是不变的，且公因式是每项的最大公因式。

2、运用公式法

3、十字相乘法

十字相乘关键是强调以二次项系数与常数项的因数分解来“凑”一次项的系数, 即两数之和等于一次项的系数, 两数之积等于常数项来进行因数分解。十字相乘为分式中的约分、通分、加减、乘除的混合运算分散了难点。为解一元二次方程中的因式分解法创设了灵活的方法和快捷的计算，为化简带来方便, 实效性强。这样设计有利于对学生在初中数学学习上的基本技能、运算能力、思维能力的进一步培养起着不可忽视的作用。十字相乘法不仅可以用于一元多项式, 还可以用于多元多项式, 并且也不限于二次的.有的需进行“二次三项式”的目的性观察，用已有的工具“十字相乘法”解决形式上非而实质上是二次三项式的分解问题。这一思维过程是：问题提出—非标准形式—桥梁作用—实质化归—问题解决。

4、分组分解法

利用分组分解法主要是在四项及以上的式子，多项式里分组有好多种，重要的是看清楚，分好组，才能准确的分解因式。

如是前三项看为一组，后一项看为一组；

若前两项看为一组，后两项看为一组，解得，不好分解

5、有些多项式需要整式乘法去掉括号，在进行因式分解

；有些多项式需拆项添项，重新整理分解

如：