九年级数学辅导： 圆 圆心角、孤、

圆心角定理

【知识要点】

1、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

2、圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦的弦心距中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等。

4、整个圆被分成360份，每一份的弧叫做10的弧，圆心角的度数等于它所对弧的度数。

【经典例题】

例1 已知，如图7—40，⊙O 的弦AB 、CD 相交于P ，PO 平分∠APD ． 求证：AB ＝CD ．

例2 如图AB 是⊙o 的直径，过AB 上任意一点Q 作与AB 相交成ο45的弦PR ，如果⊙o 的半径为R ，求证：22QP PR +是定值

例3．如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线

· A B

R

O

P

Q

交⊙O 于P 点，边结PA 、PB ．求证:PA=PB.

例4．如图所示， ABCD （BC AB <）的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC ，AD 于E 、F ，延长BA 交⊙O 于M 。求证：EF=FM

【课堂训练】（时间为40分钟，看谁做得又对又快。）得分

1．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成

立的是（ ）

A 、AB=2CD

B 、AB=2CD

C 、AB <2C

D D 、AB=CD 2．∠AOB ，B O A ''∠分别为⊙O 、⊙o '的圆心角，若∠AOB=B O A ''∠，则（ ） A 、⊙O 、⊙o '是等圆 B 、AB=B A '' C 、AB=B A '' D ．AB 的度数与B A ''的度数

相等

3．在ABC ∆中，∠B=︒90,以BC 为直径作圆交AC 于E,若BC=12,AB=312,那么BE 的度数

( )

A 、︒60

B 、︒80

C 、︒100

D 、︒120 4．⊙O 的半径为10cm ，AB 是︒60，那么弦AB 的弦心距长为（ ）

A 、cm 310

B 、cm 3215

C 、cm 35

D 、cm 32

5

A

B

E

C

D

F

M

P

5．下列语句中，正确的个数为（ ）

①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等弧是等弧；④长度相等的孤是等弧；

A 、1个别

B 、2个

C 、3个

D 、4个 6．如右图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=B O A ''∠=︒60，则（ ）

A 、AB=

B A ''

B 、AB >B A ''

C 、AB 的度数=A ''的度数

D 、AB 的长度=B A ''的长度 二、解答题（13分）

1、如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．

2、如图所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为

︒40BE 的度数．

A

B

·

O D E

C O ．

A

B

B ' A '

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

一、填空

1．已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．

2．在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．

3．如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.

4.一条弦分圆周为7:5两部分，则这条弦所对的圆心角等于 度．

5．如图2所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，则∠BOC= .

6．如图3所示，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，∠AOC=︒130，则AD 的度数 ，CBD 的度数 ．

7．直径为20cm 的⊙O 为︒60，则弦AB 的弦心距为 ．

8．如图4，⊙O 的半径OP=10cm ，弦AB 过OP 中点Q ，∠OQB=︒45，则弦AB 的弦心距 ．

9．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为 10．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距 （有两种情况，）

·O A

B C

D

E · A C F

E O

D 图1

·O

A

B

C

图2

图3

0·

A P

B Q

图4