初三圆中常见的辅助线的(20191224045605)
人教版数学九上第24章圆——例谈圆中常见作辅助线的方法(word版,含精品例题解析)
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距——在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距例1 如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=3.求⊙Ｏ的半径。
解：过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AM=MD=AD/2=1.∵PQ 切⊙Ｏ于T ，∴OT ⊥PQ ．又∵AC ⊥PQ ，OM ⊥AC ， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°， ∴四边形OTCM 为矩形．∴OM=TC=3， ∴在Rt △AOM 中，22312AO OM AM ++．即⊙Ｏ的半径为2． 例2 如图2，已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证：AC=BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE=BE ，CE=DE ，∴AE-CE=BE-DE. ∵AC=AE-CE ，BD=BE-DE.∴AC=BD.二、连半径——与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径例3 如图3，⊙O 的直径CD=20cm ，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm ，直线l 平移多少厘米时能于⊙O相切？ 解：连接OA ，· ＣＤ ＡＥ ＢＯ图2C ·AD图1AB D O M∵l ⊥CO ，∴OC 平分AB ∴AH=8cm.在Rt △AHO 中，OH==-=-2222810AH AO 6cm. ∴CH=4cm ，DH=16 cm.答：直线l 向左平移4cm ，或向右平移16cm 时能于⊙O 相切。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
中考数学10大类辅助线
中考数学10大类辅助线
中考数学中，常见的辅助线有以下10大类：
1.垂直辅助线：通过一个点和另一直线的垂直线，常用于求两条
直线的垂直关系、求直角三角形等问题。
2.平行辅助线：通过一点和一条直线，与已知的另一直线平行，
常用于求两条直线的平行关系、求平行四边形等问题。
3.中垂线：将一个线段的中点与另一点相连的线段，用于求线段
的中点、判断三角形的等腰性质等问题。
4.角平分线：将一个角分成两个相等的角的线段，通常用于求角
的平分线、求角的刻度等问题。
5.对称辅助线：通过一个点，找到与已知点关于某一直线对称的点，用于求对称点的位置、对称图形等问题。
6.高线：将一个顶点到对立边的垂线段，常用于求三角形的高度、找到垂心等问题。
7.过定点画圆：通过一个已知点和一个已知的半径，画出以该点为圆心的圆，常用于求圆的位置关系、圆与线的交点等问题。
8.过三点画圆：通过给定的三个点，画出以这三点为圆上三个点的圆，用于求圆与三角形的关系等问题。
9.共轭辅助线：通过两个点，在给定条件下找到与已知直线共轭的直线，常用于求一对共轭角、共轭点等问题。
10.谁是谁的辅助线：在解题过程中，发现和已知量之间存在特定的几何关系时，可以将某个量作为另一个量的辅助线，通过推导或等式的变形求解。
以上是中考数学中常用的10大类辅助线。
通过合理地运用这些辅助线，可以帮助我们更好地解决各种几何问题，提高解题的效率和准确性。
中考数学10大类辅助线
中考数学10大类辅助线中考数学常见的辅助线方法有很多种，可以根据题目的特点和计算的需要来选择适当的辅助线方法。
以下是常见的十大类辅助线方法：1.垂直线：通过绘制垂直线可以将几何图形划分为各个部分，方便计算和推导。
垂直线常用于求证和求交点等问题。
2.平行线：通过绘制平行线可以将几何图形划分为等价的部分，方便进行比较和推导。
平行线常用于求证和相似三角形等问题。
3.对角线：通过绘制对角线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
对角线常用于求面积和相似多边形等问题。
4.中垂线：通过绘制中垂线可以将线段划分为等分的两部分，方便计算和推导。
中垂线常用于求证和等腰三角形等问题。
5.角平分线：通过绘制角平分线可以将角划分为等角的两部分，方便计算和推导。
角平分线常用于求证和相似三角形等问题。
6.高线：通过绘制高线可以将三角形划分为底边和顶点的垂直线段，方便计算和推导。
高线常用于求证和面积等问题。
7.过中点的连线：通过绘制过中点的连线可以将线段或图形划分为对称的两部分，方便计算和推导。
过中点的连线常用于求证和相似图形等问题。
8.过交点的连线：通过绘制过交点的连线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
过交点的连线常用于求证和相似三角形等问题。
9.辅助圆：通过绘制辅助圆可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。
辅助圆常用于求证和相似图形等问题。
10.分割线：通过绘制分割线可以将几何图形划分为等价或相似的部分，方便计算和推导。
分割线常用于求证和比例等问题。
以上是中考数学常见的十大类辅助线方法的简介。
使用辅助线可以在解题过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
在实际应用中，需要根据题目的具体要求和解题步骤选择适当的辅助线方法，灵活运用，有助于提高数学解题能力。
中学初三圆中常见的辅助线的
圆中常有的协助线的作法1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。
【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．2．碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,B=3．碰到90°的圆周角时经常连接两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可获得直径。
【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是4．碰到弦时经常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.5．碰到有切线时（1）经常增添过切点的半径（连接圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，获得直角或直角三角形。
【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延伸线于D，求证：AC=CD．2）经常增添连接圆上一点和切点作用：可构成弦切角，进而利用弦切角定理。
6．碰到证明某向来线是圆的切线时1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
例7】如下图，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。
（2）若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
圆中常用辅助线
圆中常用辅助线遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量.例1 如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC BD =. 证明 过O 作OE AB ⊥于E∵ O 为圆心，OE AB ⊥∴ ,AE BE CE DE == ∴ AC BD =练习 如图2，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，10AB cm =，4AP cm =.求⊙O 的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥,DN AB ⊥. 求证： AC BD =证明：（一）连结OC 、OD ∵ M 、N 分别是AO 、BO 的中点, ∴ 12OM AO =、12ON BO =. ∵ OA OB =, ∴ OM ON =. ∵ CM AB ⊥,DN AB ⊥、OC OD =, ∴Rt △COM ≌Rt △DON . ∴COA DOB ∠=∠. ∴ AC BD =.3.有弦中点时常连弦心距图1图2BA图3（二）连结AC 、OC 、OD 、BD （如图3）.请自己完成证明过程.例3 如图4，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB CD =，求证：AMN CNM ∠=∠. 证明 连结OM 、ON .(其余证明过程略，请自己补充完整) 4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角例4 如图5，已知D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD CE =. 证明 连结OC ∵ C 为弧AB 的中点∴ AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵ D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO,∴ 1122OD OE AO BO ===. ∴ △ODC ≌△OEC. ∴CD = CE.5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．．，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例5 如图6，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC PC =,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC DC =.证明 连结AD.∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADP = 90o.∵AC = PC, ∴AC = CD =12AP . 例6 如图7，P 是⊙O 的弦CB 延长 线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C . 求证：PA 是⊙O 的切线.证明 作⊙O 的直径AD ，连BD ，则∠=∠∠=︒C D ABD ,90，即∠+∠=︒D BAD 90.所以∠+∠=︒C BAD 90.因为∠=∠C PAB ，所以∠+∠=︒BAD PAB 90，即AP AD ⊥.图4 图5P图6图7所以PA为⊙O的切线.6.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角.练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC.7.有弦中点时，常构造三角形中位线.例7已知如图8，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=12AD.证明作直径CF，连结DF、BF.∵CF为⊙O的直径, ∴CD⊥FD.又∵CD⊥AB , ∴AB∥DF.∴AD BF. ∴AD = BF∵OE⊥BC,O为圆心, CO = FO.∴CE = BE. ∴OE =12BF. ∴OE =12AD.图8。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 ()
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角平分线梦园。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；?????②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；?????③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；?????②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4、?遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
??????5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：（1）??内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；?????（2）??内心到三角形三条边的距离相等7、?遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
初三圆中常见的辅助线的性质有哪些？
初三圆中常见的辅助线的性质有哪些？
1. 弦：初三圆中的弦是任何两个圆上的点之间的线段，且穿过圆心。
性质如下：
- 弦长相等的两条弦所对的圆心角相等。
- 圆心角相等的两条弦所对的弦长相等。
2. 切线：初三圆上的切线是与圆只有一个公共点的直线。
性质如下：
- 切线与半径垂直。
3. 弦切定理：在初三圆中，若一条弦和一条切线相交，那么两条弦所对的圆心角相等。
即切线所对的弦和切线相交处的弦所对的圆心角相等。
4. 弧：初三圆上的弧是两个点之间的曲线，也可以看成是圆周上两个点间的部分。
性质如下：
- 圆心角相等的两个弧的弧长相等。
5. 直径：初三圆的直径是通过圆心的一条弦，它同时也是圆的最长的弦，且是弦中最长的一条。
性质如下：
- 直径的中点是圆的圆心。
- 直径是其他弦的两倍长。
6. 弧切定理：在初三圆中，若一条切线和一条弧相交，那么切线所对的圆心角等于相交弧所对的弧度。
7. 径切定理：在初三圆中，若一条切线和一条直径相交，那么切线所对的圆心角等于90度。
以上是初三圆中常见辅助线的性质。
Note: This answer assumes the "初三圆" mentioned refers to a circle studied in the Chinese mathematics curriculum for students in their third year of junior high school.。
圆中常见辅助线的作法---九年级数学上册
圆中常见辅助线的作法---九年级数学上册1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例题】如图, 在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明: 过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．故答案为：过O作OE⊥AB于E，则OE⊥CD，∵OE过O，∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．2、遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例题】如图，在Rt△ABC中,∠BCA = 90 o ,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。
求证：BC/BE=CF/EF证明：连结CE．∵BC为⊙O的直径，∴∠BFC为90°，∠BEC为90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB=∠BAC.∵∠ECB=∠BAC ，∠EFB=∠ECB，∴∠BAC=∠EFB.∵∠BAC=∠EFB ，∠ABD公用，∴△BEF∽△BDA.∴EF/BE=AD/BD.∵∠BFC=∠ACB=90°，∠CBD公用，∴△CBF∽△DBC.∴CDBD=CFBC.∵D为AC中点，∴AD=CD，∴EF/BE=CF/BC.∴BC/BE=CF/EF.3、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5. 遇到有切线时①添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。
为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。
下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。
1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。
在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。
2.过圆心的直线与圆的切线垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。
3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。
当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。
1.过切点的切线与圆的半径垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。
2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。
当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。
1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。
当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。
2.以弦的中点为顶点的直角三角形。
当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。
1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。
在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。
2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。
当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。
以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
AB (BD ， (CD (D A 图 1AC(AC (BD (AB (CD(证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
圆中常用的作辅助线的八种方法
解：CD与⊙O相切，理由如下： 如图，作直径CE，连接AE. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. ∴∠E＋∠ACE＝90°. ∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB. ∴∠B＝∠ACD. 又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E. ∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC. 又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
证明：如图，连接AD，BD. ︵
∵∠DAC、∠DBC是DC所对的圆周角．
∴∠DAC＝∠DBC.
∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，
∴DP＝DH.
在△ADP和△BDH中，ìïïïïíïïïïî
行DAP＝ 行DPA＝ DP＝DH
DBH， DHB＝90?， .
∴△ADP≌△BDH. ∴AP＝BH.
∴R＝
26 .
2
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，
∴OF∥EA.
又∵O为中点，
∴OF＝ 1 AE＝ 1 BC＝ 1 .
2
2
2
即点O到AD的距离为 1 . 2
本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周 角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带 来了方便．
方法 4 证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且 与OA的延长线交于点D. 判断CD与⊙O的位置关 系，并说明理由．
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．【中考·自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上， 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD， 且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6 3 cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：(1)如图，连接CO，交DB于点E， ∴∠O＝2∠CDB＝60°. 又∵∠OBE＝30°， ∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°. ∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°. 即OC⊥AC. 又∵点C在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线．
初中数学圆的常用辅助线知识点
初中数学圆的常用辅助线知识点圆的常用辅助线是指在解决与圆相关的问题时，通过引入一些特殊的辅助线，可以简化问题的步骤和求解的过程。
在初中数学中，常用的辅助线有弦、弧、切线、垂径等。
下面我将详细介绍一些常用的辅助线知识点，以及它们的引入和应用。
一、弦：1.定义：在圆上任取两点A、B，将其连接的线段AB称为圆的弦。
2.性质：（1）等幅弦：从圆的圆心引一条互相垂直于弦AB的直径CD，可以得出两条等幅弦AC和BD。
（2）等分弦：若弦AB平分弦CD的位置，且AN=NB，即AN=NB=ND，则可得出弦AB平分弦CD。
（3）垂直弦：若直径AD垂直于弦BC，即AD⊥BC，则可得出弦BC是直径AD上的线段。
（4）垂直弦截弦：若直径AD垂直于弦BC，即AD⊥BC，在圆上任取一点E，则可得出由DE与弦BC所构成的一对相交直线的乘积等于DE的平方，即DE²=EB×EC。
二、弧：1.定义：圆上相邻两点的连线所代表的弧叫做圆的弧。
2.弧长：圆的弧长度等于弧所对圆心角的大小。
3.弧所对的圆心角：圆心角是以圆心为顶点，两条弧所在直线为两腿的角。
4.弧所对的面积：圆上起始点和终止点之间的弧所对的扇形面积等于扇形的面积减去由对应弦所截取圆的面积。
三、切线：1.定义：切线是指与圆只有一个交点的直线。
2.性质：（1）切点所在半径垂直于切线。
（2）半径在切点上的长度等于切线与圆心的距离。
（3）由同一点引的切线相等。
（4）切线和半径之间的夹角等于切线所在弧所对的圆心角的一半。
四、垂径：1.定义：从圆心引一条垂直于弦的直径，叫做弦的垂径。
2.性质：（1）垂径恒垂直于弦，即垂径和弦互相垂直。
（2）垂径平分弦，即垂径把弦平分为两个等份。
（3）垂径间的距离始终保持不变。
五、割圆：1.定义：用直线割圆叫做割圆。
2.性质：（1）割圆的两个切线段相等。
（2）割圆的两个切线乘积等于割圆所截圆的弦乘积，即AB×CD=BC×DE。
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O C B A O C B A O C B A 圆中常见的辅助线的作法
1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，
那么OP 的长的取值范围是_________．
2．遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,
∠B=
3．遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=6，AC=8，⊙O 的半径是。