车辆路径问题概念、模型与算法
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精确算法主要有： 分枝定界法(Branch and Bound Approach) 割平面法(Cutting Planes Approach) 网络流算法(Network Flow Approach) 动态规划算法(Dynamic Programming Approach)
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分枝定界法(Branch and Bound Approach) 以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得到
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首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。
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如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
(10) 最后时间期限：引出带最后时间期限的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem with Time Deadlines)。
(11) 车速随时间变化：引出车速随时间变化的车辆路 径问题(Time-Dependent Vehicle Routing Problem)。
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Fra Baidu bibliotek
3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车的 最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配送，
每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最终回到中
心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且 qi<Q。记配送中心编号为0，各客户编号为 i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。求满足车
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(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand，VRPSD)。
车辆路径问题概念、模型及算法
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1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点和卸 货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通过它们， 在满足一定的约束条件(如货物需求量、发送量、交发 货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、时间限制等) 下，达到一定问题的目标(如路程最短、费用最少、时 间尽量少、使用车辆数尽量少等)。
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2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该车辆 的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
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目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为：给定 一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一 个车辆集合和一个顾客集合，车辆和顾客各有自己的属 性，每辆车都有容量，所装载货物不能超过它的容量。 起初车辆都在中心点，顾客在空间任意分布，车把货物 从车库运送到每一个顾客（或从每个顾客处把货物运到 车库），要求满足顾客的需求，车辆最后返回车库，每 个顾客只能被服务一次，怎样才能使运输费用最小。而 顾客的需求或已知、或随机、或以时间规律变化。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
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(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。 引出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径问 题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
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割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数 约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解， 即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满足整数约 束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重 新求解。这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应 松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解 (包括原已得到的非整数最优解)。而把所有的整数解都 保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。当经过多 次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个 坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优 解。即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具 有相同的最优解。
辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方案。
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定义变量如下:
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建立此问题的数学模型：
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4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以分 为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性规 划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述物流 系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学领域）
的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支，每支 增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解范围也 随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于相应的线 性规划最优值。 “定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那些 最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划问题 的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划最优解 已求出。
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分枝定界法(Branch and Bound Approach) 以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得到
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首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。
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如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
(10) 最后时间期限：引出带最后时间期限的车辆路径 问题(Vehicle Routing Problem with Time Deadlines)。
(11) 车速随时间变化：引出车速随时间变化的车辆路 径问题(Time-Dependent Vehicle Routing Problem)。
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3、 CVRP问题描述及其数学模型
CVRP的描述：设某中心车场有k辆车，每辆配送车的 最大载重量Q，需要对n个客户(节点)进行运输配送，
每辆车从中心车场出发给若干个客户送货，最终回到中
心车场，客户点i的货物需求量是qi (i=1,2,…,n)，且 qi<Q。记配送中心编号为0，各客户编号为 i(i=1,2 ,…,n)， cij表示客户i到客户j的距离。求满足车
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(7) 开路：引出开路车辆路径问题(Open Vehicle RoutingProblem)。
(8) 多运输中心：引出多运输中心的车辆路径问题 (Multi-Depot Vehicle Routing Problem)。
(9) 回程运输：引出带回程运输的车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Backhauls)。
(5) 相容性约束：引出相容性约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Compatibility Constraints，VRPCC)。
(6) 随机需求：引出随机需求车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with Stochastic Demand，VRPSD)。
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1、定义
车辆路径问题(VRP)一般定义为：对一系列装货点和卸 货点，组织适当的行车线路，使车辆有序地通过它们， 在满足一定的约束条件(如货物需求量、发送量、交发 货时间、车辆容量限制、行驶里程限制、时间限制等) 下，达到一定问题的目标(如路程最短、费用最少、时 间尽量少、使用车辆数尽量少等)。
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2、VRP问题约束
(1) 容量约束：任意车辆路径的总重量不能超过该车辆 的能力负荷。引出带容量约束的车辆路径问题 (CapacitatedVehicle Routing Problem，CVRP)。
(2) 优先约束：引出优先约束车辆路径问题 (VehicleRouting Problem with precedence Constraints，VRPPC)。
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目前有关VRP的研究已经可以表示（如图1）为：给定 一个或多个中心点（中心仓库，central depot）、一 个车辆集合和一个顾客集合，车辆和顾客各有自己的属 性，每辆车都有容量，所装载货物不能超过它的容量。 起初车辆都在中心点，顾客在空间任意分布，车把货物 从车库运送到每一个顾客（或从每个顾客处把货物运到 车库），要求满足顾客的需求，车辆最后返回车库，每 个顾客只能被服务一次，怎样才能使运输费用最小。而 顾客的需求或已知、或随机、或以时间规律变化。
(3) 车型约束：引出多车型车辆路径问题 (Mixed/Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。
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(4) 时间窗约束：包括硬时间窗(Hard Time windows)和软时间窗(Soft Time windows) 约束。 引出带时间窗(包括硬时间窗和软时间窗)的车辆路径问 题(Vehicle Routing Problem withTime windows， VRPTW)。
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割平面法(Cutting Planes Approach)
用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数 约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解， 即为所求，运算停止。如果所得到最优解不满足整数约 束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重 新求解。这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应 松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解 (包括原已得到的非整数最优解)。而把所有的整数解都 保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。当经过多 次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个 坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优 解。即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具 有相同的最优解。
辆数最小，车辆行驶总路程最短的运送方案。
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定义变量如下:
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建立此问题的数学模型：
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4、车辆路径问题算法综述
目前，求解车辆路径问题的方法非常多，基本上可以分 为精确算法和启发式算法2大类。
精确算法是指可求出其最优解的算法，主要运用线性规 划、整数规划、非线性规划等数学规划技术来描述物流 系统的数量关系，以便求得最优决策。（运筹学领域）
的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支，每支 增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解范围也 随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于相应的线 性规划最优值。 “定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那些 最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划问题 的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划最优解 已求出。