经典数学建模方法--随机建模算法
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评价由于资料限制和储层 复杂性而导致的井间储层 预测的不确定性，以满足 油田开发决策在一定风险 范围的正确性。
一 簇 随 机 模 拟 实 现
储层预测的不确定性评价
（>50%概率）
（>70%概率）
（>95%概率）
储量不确定性评价
将一簇模拟实现用于三维 储量计算，则可得出一簇储 量结果。它不是一个确定的 储量值，而是一个储量分布。
直接用于随机建模 用于模拟实现的后处理
第三节 随机建模方法
算法及模型 随机模型 基于目标的 随机模型 基 于 象 元 的 随 机 模 二点直方图 型 指示模拟 分形随机域 马尔可夫随 机域 模拟方法 标 点 过 程 (布 尔模型) 高斯域 截断高斯域 序贯高斯 LU 模 拟 截断高斯 模拟 序贯指示 模拟 分形模拟 转带模拟 截断高斯 模拟 概率场高 斯模拟 截断高斯 模拟 概率场指 示模拟 序贯模拟 误差模拟 概率场 模拟 优 化 算 法 (模 拟 退 火及迭代算法) 标 点 过 程 模 拟 (用 退火或迭代算法) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) 马尔可夫模拟( 应用迭代算法) (很 少 单 独 使 用 , 主用作退火后处 理) 离散 模型性质 离散 连续 离散 离 散 /连 续 连续 离 散 /连 续
③克里金插值法(包括其它任何插值方法) 只产生一个储层模型，因而不能了解和 评价模型中的不确定性，而随机模拟则 产生许多可选的模型，各种模型之间的 差别正是空间不确定性的反映。
（克里金作为部分随机建模方法的基础)
第一节 随机模拟原理
随机模拟以随机函数理论为基础。 随机函数由区域化变量的分布函数 和协方差函数来表征。
在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布， 则通过正态得分变换将 其变为正态分布，模拟 后再进行反变换。
累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：
通过克里金方法，求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，并转换为ccdf。 （简单克里金、普通克里金、 具有趋势的 克里金、 （综合地震信息) 同位协同克里金)
pixel : Picture element， 象元、象素
二点统计学
多点地质统计模拟 （离散） 多点统计学
一、二点统计学随机建模方法
高斯模拟 （连续）
截断高斯模拟 （离散）
指示模拟 （连续/离散）
分形模拟 （连续）
1.高斯模拟
Gaussian Simulation ----连续变量模拟
高斯随机域是最经典的随机函数模型。最 大特征是随机变量符合高斯分布(正态分布)。
(h ) C (h ) / C (0) 1 (h ) / C (0)
相当于定义了n种指示函数：
1 I Fi ( x ) 0
当t i 1 y ( x ) t i 其他
截断值ti的确定：
保证不同相在研究区域内应占据的比例Pi (i=1,2,…n) 分两种情况： A. 沉积相空间分布具有平稳性， Pi不随位置变化而变化， ti也不随位置变化而变化
第三讲
储层随机建模
Stochastic Reservoir Modeling
随机模拟原理 随机建模方法
储层建模
确定的
不确定而需预测的
建 模 途 径
确定性建模 随机建模
储层系统的复杂性
资料的不完备性
储层随机建模
以已知的信息 为基础，以随机函 数为理论，应用随 机模拟方法 ，产 生可选的、等可能 的储层模型。
(l )
( x) F
* 1
[ x; P
(l )
( x ) (n )]
模拟退火(simulated annealing)
模 拟 退火 类似 金属 冷 却 和 退火 。高 温状 态 下 分 子分 布紊 乱而 无 序 ， 但随 着温 度缓 慢 地 降 低， 分子 有序 排
列形成晶体。 模 拟 退火 的基 本思 路 是 对 于一 个初 始的 图 直 到 它与 一些 预先 定
B. 沉积相空间分布具有非平稳性， Pi随位置变化而变化， ti也随位置变化而变化。 ti变为ti (x)
比例曲线
层模型的归一化处理
三维趋势（3D比例模型）
相比例趋势（3D趋势 = 横向趋势 + 垂向趋势 ）
+
=
（2）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场
A. 井位观测数据的条件化;
Y ( x j ) ( t i j 1 , t i j )
B. 井位条件化数据的克里金 插值 Y ( x ) C. 非条件高斯场的建立 Y S ( x )
* C
D. 观察点处非条件模拟值的 * 克里金插值 Y S ( x ) E. 得出模拟残差， 观察点的残差赋为 0 Y S ( x ) - Y S* ( x ) F. 得到忠实于井点观察值 的条件模拟实现
代表变量Z(x)空间分布的L个可能的实现。 每个实现亦称为随机图象。
（改变种子数，得到多个模拟实现）
条件模拟与非条件模拟
若用观测点的数据对模拟过程进行条 件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测 值（井数据、地震数据、试井数据等）， 就称为条件模拟； 否则为非条件模拟。
随机模拟算法
序贯模拟(Sequential 误差模拟
含油饱和度模型
（平面切片）三个实现
油藏数值模拟
通过快速数模（如流线法，
Stremline），对随机模拟实 现进行排序（依据动态参数， 如连通性）
N P
分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现，
通过粗化(Upscaling)之后进入模拟器进行油藏 数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开 发状况。
simulation)
(Error simulation)
(P-field simulation)
概率场模拟
模拟退火(simulated annealing)
序贯模拟(sequential
simulation)
（1 ）随机地选择一个待模拟的网格节点； （2 ）估计该节点的 累积条件分布函数(ccdf)； （3 ）随机地从 ccdf中提取一个 分位数作为该节点的模拟值； （4 ）将该新模拟值加到条件数据组中； （5 ）重复1-4步，直到所有节点都被模拟到为止， 从而得到一个模拟实现z(l)(u)
储层随机建模
建立分布函数(概率分布模型) 随机模拟
概率分布模型的建立
（随机建模）
概率分布
先验分布
累计概率分布模型(cdf)
F ( x , z ) Pr ob Z ( x ) z
未抽样位置x处，储层属性Z的先验概率分布模型。
后验分布
先验信息+数据
后验信息
条件累计概率分布模型(ccdf)
P
Mean St.Dev.
P
非参数化建模
直接推断模型
0.8 0.7 0.6 0.5 0.3 0.2 0.1 0 A B 相 C
P
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 A B 相 C
0.4
P
随机模拟
随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来 自随机模型的各个部分的联合实现。
Z
(l )
( x ) x D , l 1, L ,
基于目标的随机建模方法 (object-based)
布尔模拟 基于目标的方法与 建立目标模型（离 散变量模型）的方 法有差别，很多人 混淆了这种差别
标点过程 （示性点过程）
基于象元的随机建模方法 (pixel-based)
高斯模拟 （连续） 截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
建模基本输入：
条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程）
（若为相控建模，还需分相输入上述参数）
2.截断高斯模拟
Truncated Gaussian Simulation (TGS) ----离散变量的模拟
截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基 本模拟思路是通过一 系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变 量而建立离散物体的 三维分布 。
误差模拟
(Error simulation)
（ 1 ）应用原始数据进行克里 金插值估计，得到估计值 Z * (u)； （ 2 ）进行非条件模拟，得到 一个模拟实现Z(1)(u） （ 3 ）提取在模拟实现 Z(1)(u) 中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计，得 到新的估计值Z*(1)(u)。 （ 4 ）比较非条件模拟与新的 估计值，得出模拟残 差 Z(1)(u)-Z*(1)(u) ，其中，观察 点的残差赋为0。 （ 5 ）将模拟残差与原始的克 里金估计值相加，即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟 实现 Z c(1)(u)。
概率场模拟
(P-field simulation)
（ 1）应用 n个原始数据，求取各待模拟点的ccdf。
F [ x; z ( n )]
（ 2）通过非条件模拟，得到P场实现。
P
Z
(l )
( x ), x D ; l 1, L
（ 3）利用每一个P场实现，从ccdf中抽取可能的实现。
P
Mean St.Dev.
P
（cdf）
（ccdf）
随机模拟： 从条件概率分布函数（ccdf）中随机地提 取分位数便可得到模拟实现。
序贯高斯模拟 Sequential Gaussian Simulation (SGS)
概率场高斯模拟 P-field Gaussian Simulation
高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随 机模拟方法。它适用于各向异性不强的条件 下连续变量的随机模拟。 相控条件下应用广泛。
随机建模与克里金插值的差别：
①克里金插值为局部估计方法，力图对待估 点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专 门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法 首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次 才是局部估计值的精确程度。
②克里金插值法给出观测值间的光滑估值， 对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从 而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结 果在在光滑趋势上加上系统的“随机噪音”， 这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然 对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实 的，估计方差甚至比插值法更大，但模拟曲线 能更好地表现真实曲线的波动情况。
F [ x , z ( n ) ] Pr ob Z ( x ) z ( n )
未抽样位置x处，储层属性Z的后验概率分布模型。 对于类型变量，则有：
F [ x , k ( n )Baidu Nhomakorabea] Pr ob Z ( x ) k ( n )
连续变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x 2 , , x k ; z1 , z 2 , , z k ( n ) ] Pr ob Z ( x1 ) z1 , , Z ( x k ) z k ( n )
类型变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x 2 , , x k ; z1 , z 2 , , z k ( n ) ] Pr ob Z ( x1 ) l1 , , Z ( x k ) l k ( n )
参数化建模
假定模型类别（如高斯模型）， 仅推断模型参数 （如均值函数和协方差函数）
义 的 包含 在目 标函 数 内的特征相吻合
象， 连续地进行扰 动，
目标函数
表达了模拟实现空间特性与希望得到的空间特性 之间的差别。
空间特性： 直方图、变差函数、井-震相关关系、 岩相形态、含量、垂向层序等。
O
h
[ * ( h ) ( h )]
2
(h)
2
* ( h ) --模拟实现的变差函数 ( h ) --预先定义的变差函数 --两者之差，即能量。 O
O = （模拟的平均长度-60）
+ （模拟的平均厚度-10）
扰动的接受与拒绝
接受扰动的概率分布由Boltzman概率分布给出：
1 P accep t ( O new O old ) e
O new O old O new O old
t
t 类似退火中的温度。温度越高，接受一次不理想 的扰动的概率越大。控制温度（指定退火计划），使 扰动理想，而且模拟实现得到收敛。
（1）相序规律与截断值的确定
如三角洲(平原、前缘和前三角洲)、 滨面相 (上滨、中滨、下滨)
空间D，有n种排序的相，F1, F2, … ,Fn 设 Y ( x ) x D 是一个定义在空间D上的平稳高斯随机函数， 均值为0，方差为1，相关函数(h) 定义
Fi x D t i 1 y ( x ) t i
一 簇 随 机 模 拟 实 现
储层预测的不确定性评价
（>50%概率）
（>70%概率）
（>95%概率）
储量不确定性评价
将一簇模拟实现用于三维 储量计算，则可得出一簇储 量结果。它不是一个确定的 储量值，而是一个储量分布。
直接用于随机建模 用于模拟实现的后处理
第三节 随机建模方法
算法及模型 随机模型 基于目标的 随机模型 基 于 象 元 的 随 机 模 二点直方图 型 指示模拟 分形随机域 马尔可夫随 机域 模拟方法 标 点 过 程 (布 尔模型) 高斯域 截断高斯域 序贯高斯 LU 模 拟 截断高斯 模拟 序贯指示 模拟 分形模拟 转带模拟 截断高斯 模拟 概率场高 斯模拟 截断高斯 模拟 概率场指 示模拟 序贯模拟 误差模拟 概率场 模拟 优 化 算 法 (模 拟 退 火及迭代算法) 标 点 过 程 模 拟 (用 退火或迭代算法) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) (优 化 算 法 可 用 作 后处理) 马尔可夫模拟( 应用迭代算法) (很 少 单 独 使 用 , 主用作退火后处 理) 离散 模型性质 离散 连续 离散 离 散 /连 续 连续 离 散 /连 续
③克里金插值法(包括其它任何插值方法) 只产生一个储层模型，因而不能了解和 评价模型中的不确定性，而随机模拟则 产生许多可选的模型，各种模型之间的 差别正是空间不确定性的反映。
（克里金作为部分随机建模方法的基础)
第一节 随机模拟原理
随机模拟以随机函数理论为基础。 随机函数由区域化变量的分布函数 和协方差函数来表征。
在实际应用中，若参数 分布不符合正态分布， 则通过正态得分变换将 其变为正态分布，模拟 后再进行反变换。
累计条件概率分布函数（ccdf）的求取：
通过克里金方法，求取某网格的随机变量的 均值和估计方差，并转换为ccdf。 （简单克里金、普通克里金、 具有趋势的 克里金、 （综合地震信息) 同位协同克里金)
pixel : Picture element， 象元、象素
二点统计学
多点地质统计模拟 （离散） 多点统计学
一、二点统计学随机建模方法
高斯模拟 （连续）
截断高斯模拟 （离散）
指示模拟 （连续/离散）
分形模拟 （连续）
1.高斯模拟
Gaussian Simulation ----连续变量模拟
高斯随机域是最经典的随机函数模型。最 大特征是随机变量符合高斯分布(正态分布)。
(h ) C (h ) / C (0) 1 (h ) / C (0)
相当于定义了n种指示函数：
1 I Fi ( x ) 0
当t i 1 y ( x ) t i 其他
截断值ti的确定：
保证不同相在研究区域内应占据的比例Pi (i=1,2,…n) 分两种情况： A. 沉积相空间分布具有平稳性， Pi不随位置变化而变化， ti也不随位置变化而变化
第三讲
储层随机建模
Stochastic Reservoir Modeling
随机模拟原理 随机建模方法
储层建模
确定的
不确定而需预测的
建 模 途 径
确定性建模 随机建模
储层系统的复杂性
资料的不完备性
储层随机建模
以已知的信息 为基础，以随机函 数为理论，应用随 机模拟方法 ，产 生可选的、等可能 的储层模型。
(l )
( x) F
* 1
[ x; P
(l )
( x ) (n )]
模拟退火(simulated annealing)
模 拟 退火 类似 金属 冷 却 和 退火 。高 温状 态 下 分 子分 布紊 乱而 无 序 ， 但随 着温 度缓 慢 地 降 低， 分子 有序 排
列形成晶体。 模 拟 退火 的基 本思 路 是 对 于一 个初 始的 图 直 到 它与 一些 预先 定
B. 沉积相空间分布具有非平稳性， Pi随位置变化而变化， ti也随位置变化而变化。 ti变为ti (x)
比例曲线
层模型的归一化处理
三维趋势（3D比例模型）
相比例趋势（3D趋势 = 横向趋势 + 垂向趋势 ）
+
=
（2）应用误差模拟方法，获取条件化高斯场
A. 井位观测数据的条件化;
Y ( x j ) ( t i j 1 , t i j )
B. 井位条件化数据的克里金 插值 Y ( x ) C. 非条件高斯场的建立 Y S ( x )
* C
D. 观察点处非条件模拟值的 * 克里金插值 Y S ( x ) E. 得出模拟残差， 观察点的残差赋为 0 Y S ( x ) - Y S* ( x ) F. 得到忠实于井点观察值 的条件模拟实现
代表变量Z(x)空间分布的L个可能的实现。 每个实现亦称为随机图象。
（改变种子数，得到多个模拟实现）
条件模拟与非条件模拟
若用观测点的数据对模拟过程进行条 件限制，使得观测点的模拟值忠实于实测 值（井数据、地震数据、试井数据等）， 就称为条件模拟； 否则为非条件模拟。
随机模拟算法
序贯模拟(Sequential 误差模拟
含油饱和度模型
（平面切片）三个实现
油藏数值模拟
通过快速数模（如流线法，
Stremline），对随机模拟实 现进行排序（依据动态参数， 如连通性）
N P
分别选择悲观、中性、乐观的随机模拟实现，
通过粗化(Upscaling)之后进入模拟器进行油藏 数值模拟，以了解或预测不同风险条件下的开 发状况。
simulation)
(Error simulation)
(P-field simulation)
概率场模拟
模拟退火(simulated annealing)
序贯模拟(sequential
simulation)
（1 ）随机地选择一个待模拟的网格节点； （2 ）估计该节点的 累积条件分布函数(ccdf)； （3 ）随机地从 ccdf中提取一个 分位数作为该节点的模拟值； （4 ）将该新模拟值加到条件数据组中； （5 ）重复1-4步，直到所有节点都被模拟到为止， 从而得到一个模拟实现z(l)(u)
储层随机建模
建立分布函数(概率分布模型) 随机模拟
概率分布模型的建立
（随机建模）
概率分布
先验分布
累计概率分布模型(cdf)
F ( x , z ) Pr ob Z ( x ) z
未抽样位置x处，储层属性Z的先验概率分布模型。
后验分布
先验信息+数据
后验信息
条件累计概率分布模型(ccdf)
P
Mean St.Dev.
P
非参数化建模
直接推断模型
0.8 0.7 0.6 0.5 0.3 0.2 0.1 0 A B 相 C
P
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 A B 相 C
0.4
P
随机模拟
随机模拟是一个抽样过程，抽取等可能的、来 自随机模型的各个部分的联合实现。
Z
(l )
( x ) x D , l 1, L ,
基于目标的随机建模方法 (object-based)
布尔模拟 基于目标的方法与 建立目标模型（离 散变量模型）的方 法有差别，很多人 混淆了这种差别
标点过程 （示性点过程）
基于象元的随机建模方法 (pixel-based)
高斯模拟 （连续） 截断高斯模拟 （离散） 指示模拟 （连续/离散） 分形模拟 （连续）
建模基本输入：
条件数据 数据均值与偏差 变差函数参数（如变程）
（若为相控建模，还需分相输入上述参数）
2.截断高斯模拟
Truncated Gaussian Simulation (TGS) ----离散变量的模拟
截断高斯随机域属于 离散随机模型，其基 本模拟思路是通过一 系列门槛值截断规则 网格中的三维连续变 量而建立离散物体的 三维分布 。
误差模拟
(Error simulation)
（ 1 ）应用原始数据进行克里 金插值估计，得到估计值 Z * (u)； （ 2 ）进行非条件模拟，得到 一个模拟实现Z(1)(u） （ 3 ）提取在模拟实现 Z(1)(u) 中观察点处的非条件模拟值， 对其进行克里金插值估计，得 到新的估计值Z*(1)(u)。 （ 4 ）比较非条件模拟与新的 估计值，得出模拟残 差 Z(1)(u)-Z*(1)(u) ，其中，观察 点的残差赋为0。 （ 5 ）将模拟残差与原始的克 里金估计值相加，即得到一个 忠实于井点观察值的条件模拟 实现 Z c(1)(u)。
概率场模拟
(P-field simulation)
（ 1）应用 n个原始数据，求取各待模拟点的ccdf。
F [ x; z ( n )]
（ 2）通过非条件模拟，得到P场实现。
P
Z
(l )
( x ), x D ; l 1, L
（ 3）利用每一个P场实现，从ccdf中抽取可能的实现。
P
Mean St.Dev.
P
（cdf）
（ccdf）
随机模拟： 从条件概率分布函数（ccdf）中随机地提 取分位数便可得到模拟实现。
序贯高斯模拟 Sequential Gaussian Simulation (SGS)
概率场高斯模拟 P-field Gaussian Simulation
高斯模拟是应用很广泛的连续性变量随 机模拟方法。它适用于各向异性不强的条件 下连续变量的随机模拟。 相控条件下应用广泛。
随机建模与克里金插值的差别：
①克里金插值为局部估计方法，力图对待估 点的未知值作出最优的、无偏的估计，而不专 门考虑所有估计值的空间相关性，而模拟方法 首先考虑的是模拟值的全局空间相关性，其次 才是局部估计值的精确程度。
②克里金插值法给出观测值间的光滑估值， 对真实观测数据的离散性进行了平滑处理，从 而忽略了井间的细微变化；而条件随机模拟结 果在在光滑趋势上加上系统的“随机噪音”， 这一“随机噪音”正是井间的细微变化，虽然 对于每一个局部的点，模拟值并不完全是真实 的，估计方差甚至比插值法更大，但模拟曲线 能更好地表现真实曲线的波动情况。
F [ x , z ( n ) ] Pr ob Z ( x ) z ( n )
未抽样位置x处，储层属性Z的后验概率分布模型。 对于类型变量，则有：
F [ x , k ( n )Baidu Nhomakorabea] Pr ob Z ( x ) k ( n )
连续变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x 2 , , x k ; z1 , z 2 , , z k ( n ) ] Pr ob Z ( x1 ) z1 , , Z ( x k ) z k ( n )
类型变量条件累计概率分布函数：
F [ x1 , x 2 , , x k ; z1 , z 2 , , z k ( n ) ] Pr ob Z ( x1 ) l1 , , Z ( x k ) l k ( n )
参数化建模
假定模型类别（如高斯模型）， 仅推断模型参数 （如均值函数和协方差函数）
义 的 包含 在目 标函 数 内的特征相吻合
象， 连续地进行扰 动，
目标函数
表达了模拟实现空间特性与希望得到的空间特性 之间的差别。
空间特性： 直方图、变差函数、井-震相关关系、 岩相形态、含量、垂向层序等。
O
h
[ * ( h ) ( h )]
2
(h)
2
* ( h ) --模拟实现的变差函数 ( h ) --预先定义的变差函数 --两者之差，即能量。 O
O = （模拟的平均长度-60）
+ （模拟的平均厚度-10）
扰动的接受与拒绝
接受扰动的概率分布由Boltzman概率分布给出：
1 P accep t ( O new O old ) e
O new O old O new O old
t
t 类似退火中的温度。温度越高，接受一次不理想 的扰动的概率越大。控制温度（指定退火计划），使 扰动理想，而且模拟实现得到收敛。
（1）相序规律与截断值的确定
如三角洲(平原、前缘和前三角洲)、 滨面相 (上滨、中滨、下滨)
空间D，有n种排序的相，F1, F2, … ,Fn 设 Y ( x ) x D 是一个定义在空间D上的平稳高斯随机函数， 均值为0，方差为1，相关函数(h) 定义
Fi x D t i 1 y ( x ) t i