布朗运动的计算机模拟_张杰

中山大学学报论丛,2006年第26卷第5期

SUN YATSEN U N IVERS I TY FORU M,V o l.26　N o.5　2006

布朗运动的计算机模拟*

张　杰,张　伟,刘卓健

(暨南大学物理系,广东广州510632)

摘　要:采用M atlab语言,在计算机上形象直观地模拟了布朗运动。对1000个布朗粒子的模拟

表明,随着运动时间t的增加,布朗粒子到原点距离的方均根值按t1/2规律增加,布朗粒子在空间

的分布为正态分布,验证了爱因斯坦关于布朗运动的理论。为增加学生对所学知识的感性认识,巩

固所学知识,提供了一个有效的辅助手段。

关键词:布朗运动;计算机模拟;M atl ab;教学

中图分类号:O552.3 文献标识码:A 文章编号:1007-1792(2006)05-0039-04

很多学校虽然讲授关于布朗运动的理论,但没有开设布朗运动的实验。本文采用M atlab 语言[1],利用M atlab的随机数,通过计算机上的统计模拟方法[2],形象直观地模拟布朗运动,验证爱因斯坦关于布朗运动的理论。为增加学生对所学知识的感性认识,巩固所学知识,提供了一个辅助手段。

一、布朗运动的计算机模拟

为了简单起见,我们首先模拟二维空间的布朗运动。

设布朗粒子与介质粒子碰撞时,为弹性碰撞。具体模拟步骤如下:

(1)设定布朗粒子的初始速度为0,初始位置为(0,0)。介质粒子的速率取为确定值;

(2)随机选择介质粒子的运动方向φm=2πξ,其中ξ为[0,1]区间均匀分布的随机数;

(3)从实验室系转换到质心系,描述入射的布朗粒子、介质粒子:

v c=M V+m v)/(M+m)

W=V-v c w=v-v c

其中M、m为布朗粒子、介质粒子的质量,V、v为布朗粒子、介质粒子的在实验室系中的速度,v c为质心的速度,W、w为布朗粒子、介质粒子在质心系中的速度;

(4)质心系中两粒子进行碰撞:

φ=2πξ

W′x

W′y

=

co sφ　-sinφ

si nφ　cosφ

W x

W y

其中,φ为质心系中粒子的出射方向与入射方向的夹角,W′为布朗粒子在质心系中的出射速度;

*收稿日期:2006-02-22

作者简介:张杰(1966-),男,安徽无为人,副教授,博士。

图1　质心系中两粒子的碰撞

(5)从质心系转换到实验室系,描述出射粒子:

V ′=W ′+v c

其中V ′为布朗粒子在实验室系中的出射速度;

(6)对布朗粒子的自由飞行时间t 进行抽样。设t 服

从分布:

f (t )=1τ

e -t /τ其中τ为布朗粒子的平均自由飞行时间,则自由飞

行时间的抽样为:

t =-τln ξ

(7)计算布朗粒子的位置:R n +1=R n +Vt

(8)重复(2)—(7)若干次后,绘出粒子的运动轨迹,统计并计算有关物理量。

二、计算机程序及运行结果

我们采用M a tlab 语言编写计算机模拟的程序(“B ra wn .m ”,见图2)。

clear all ;

m =1;M =100;tau =0.01;

V =[0;0];VV (1)=sqrt (V ′*V );

x (1)=0;y (1)=0;Rn =[x (1);y (1)];

for n =1:1000

v =100;ph i m =rand *2*pi ;

v =[co s (phi m );si n (phi m )]*v ;

vc =(m *v +M *V )/(m +M );

w =v -vc ;W =V -vc ;

phi =rand *2*pi ;

W =[co s (phi ),-sin (phi );sin (ph i ),cos (phi )]*W ;

V =W +vc ;VV (n +1)=sqrt (V ′*V );

t =-tau *log (rand );

Rn =R n +V *t ;x (n +1)=Rn (1);y (n +1)=Rn (2);

ifm od (n ,20)==0

plo t (x ,y );ax is equal ;

x label (′x ′);y l abe l (′y ′);%pause (1);

end

end

pause ;

p l o t (VV (1:100));x l abe l (′n ′);y l abel (′V ′);

pause ;

h ist (VV );xlabe l (′V ′);y labe l (′N ′);

图2　“B ra w n .m ”源程序

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图3　m =1;M =100;v =100;τ=0.01;碰撞1000次的轨迹

图3为m =1,M =100,v =100,τ=0.01,碰

撞1000次的轨迹。图4、图5为碰撞过程中的速率

变化。由图可见,经若干次碰撞后,布朗粒子的速

率即可由0增加到正常值,布朗粒子的速率分布中

心为10,验证了不同质量的粒子在热平衡时的平均

动能相等,即

12m =12

M 。我们还对1000个布朗粒子各进行10000次碰

撞的模拟(见图6-8)。由图可见,随着时间t 的

增加,布朗粒子到原点距离的方均根值按t 1/2规律

增加,布朗粒子在空间的分布为二维正态分布,验

证了爱因斯坦关于布朗运动的理论。

我们还进行了三维空间的模拟,得出了类似的结果

。

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