大学概率论与数理统计 中山大学 第三版

第一章 随机事件与概率

1．从十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：

(1)放回时的样本空间

(2)不放回时的样本空间 解：

(1)

，(2) 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间：

(1)不放回时的样本空间

(2)放回时的样本空间

解：(1)

(2)

3.解：

5.设样本空间，求：

(1)

(2)

解：(1)

(2)

11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，

0,1,2,,91

Ω2

Ω100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭201 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬

⎪⎪⎪⎪⎩⎭1Ω

2Ω

Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝

Ωn 个

２＝｛红，白红，，白白白红,｝3

3

3

3

1

1

1

1

2

1

1231

32

31

2

3123123123123123123123,,,()()()()

()()()()

()()()

i i i i i i i i A A B A A C A D A C E A A A A A A A A A A A A F A A A A A A A A A A A A G A A A A A A A A A =====

=

==

=

===={0,1,2,

,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}A

B

()

A

B C {2,3,4,5}

A

B A

B A

B ===()(){4,5}

{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}{0,1,4,5,6,7,8,9}

A

B

C A BC A ====

问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。

解：

14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r

个人的概率与r 无关，都是（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。

解：(1)基本事件数为，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，，共中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位

置可调换，有种，故有利事件数由乘法原理有，由古典概型的计算公式，得

甲乙相邻的概率为：

另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有,有利事件

数为2(n-r-1).故有

另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.

(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取

2个人的排列，共有种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有

甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有种排

列，故

. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故

(只考虑乙)

15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。

解：，

214!12P ==

1

1n -!n 1,2,,1i n r =--1n r --12C 12C （n-r-1）(n-2)!

122(1)(1)C n r P n n --==

-（n-r-1）(n-2)!n!12(1)!2!C n P n n -==

(1)n n -2(1)(1)n r P n n --=

-21221

2(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==

-2

n A 211

n n P A n ==

-2(2)!n -2(2)!2

(1)!1n P n n -=

=

--21P n =

-4105040n A ==3112

94882296k A C C A =+=

16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.

解: 基本事件数为,有利事件数为

1) 2个伍分,其他任意,有

2) 1个伍分,2个贰分:

3) 1个伍分,3个贰分:

故

17:箱中有个白球和个黑球,从其中任意地接连取出k+1()球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令,则

另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为,有利于A 的基本事件数为,故

18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概

率：

(1)某一层有两位乘客离开。

(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。 (3)恰有两位乘客在同一层离开。 (4)至少有两位乘客在同一层离开。 解：

(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有种选法，其余4人在其余9层下有

种，故共有：

(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而

(3) 恰好有2位乘客在同一层离开

22960.465040k p n ∴=

==5

10252

n C ==232856

C C =12223560

C C C =13123510

C C C =56601012522k P n ++===

αβ1k αβ+≤+{1()}A k =+第次最后取出的是白球+1+1+(+1)!

(+1)!

(A)=

(+)!A +(+1)!k A k P k ααβαβ

αβα

ααβαβαβαβ----==

--1k C αβ+α()P A ααβ=

+2

6C 492466910C p =

610

6

10A P =