数学建模减肥模型

摘要随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。减肥的方法也有很多。如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。

（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。

（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。

（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。

（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。

关键字微分方程转化能量转换系数

1.问题重述

随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。所以我们可以通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；

（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量入下表二所示：

（3）给出达到目标后维持体重的方案。

2.模型假设

(1) 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要由四部分组成：骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼、肌肉和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳的能量。记D=4.2×107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。

w t，而与其他因素无关，这意味（2）人体的体重仅仅看成是时间t的函数()

着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。

w t是连续函数且充分光滑，因此可以认（3）体重随时间是连续变化的，即()

为能量的摄取和消耗是随时发生的。

（4）不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1千克体重每天因活动所消耗的能量。

（5）单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。记C为1千克体重每天消耗的能量为。

（6）减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于6000k焦耳。

3.分析与建立模型

建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设(3)，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。

根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。

考虑时间区间[t ,t +Δt ]内能量的改变，根据能量平衡原理，有

[()()]()()t t t t

D w t t w t A t B w s ds C w s ds t t +∆+∆+∆-=∆--⎰⎰

由积分中值定理有()()(),(0,1)w t t w t a t bw t t t θθ+∆-=∆-+∆∆∈, 其中

/a A D =，B C

b D +=

, 两边同时除以Δt.并令Δt →0取极限得 ()

(),0dw t a bw t t dt

=->

这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。我们知道模型的某些假设不十分合理，但我们希望求解模型，看看能否说明一些问题。

4.模型的求解

设t =0为模型的初始时刻，这时人的体重为w （0）=w 0。在模型的两边同时乘以e bt 得

()()dw t bt bt bt e bw t e ae dt

+=

即

(())bt bt d

e w t ae dt

= 从0到t 积分，并利用初值0(0)w w =得

00()(1)()bt

bt

bt a a a w t w e

e w e b b b

---=+-=+-.

对于问题一，减肥计划在基本不运动的情况下安排，所以上述假设（1）每1千克体

重每天因活动所消耗的能量0B =。根据上式计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表所示

对于问题二，为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表：

为了加快减肥进程，增加运动，假设当每天运动h 小时，每1千克体重每天因活动所消耗的能量B h r =⨯，1h =时计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表所示

从表四可以得出，每天一小时的不同运动似的要达到自己的理想体重时的天数也不同，其中游泳是最快能达到自己理想体重的运动。

对于问题三，由上面的模型可得lim ()t a A

w t b B C

→+∞==+,记*A w B C =+, 也就是说模型的解渐近稳定于

*w 也就是达到目标后维持体重的方案，根据每个人要维

持的理想体重可以得出A B C 、、的值组成的减肥维持体重方案。假设每天维持一小时

的运动，则每天需要摄入的能量J 如下表所示