状态空间设计法

Χ [1 0]
系统状态不可直接获得，按状态观测器法设计
z L ，1 0.2 z 2 0.3 2）求状态反馈 K ，使期望极点为 z1 0.4
，
z 2 0.6
解：1）能观矩阵：
C 1 0 C A 1 1
L L 1 L 2
相应的离散状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
A e A 1T T A1 τ B e dτ 0
假设控制规律是线性状态反馈
u(k) kX(k)
闭环系统的状态方程
x(k 1) (A Bk)X(k)
误差状态特征方程为：
zI A LC 0
若期望的极点为βi (i 1,2,, n)，期望观测器特征多项式：
η(z ) (z β i ) z I A LC 0
i 1
n
对于高阶系统，也有Ackerman公式：
K η(A)Q e
1 T n o
n n 1 en 0 0 1 η(z) z α1z αn
K k 1 k 2 ，则特征方程为
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det(zI A BK)
期望特征方程
对比系数得：
z 1 k1
1 z 1 k2
z 2 (k 2 2)z (1 k 1 k 2 ) 0
2
(z 0.4)(z 0.6) z z 0.24 0
K 0.241
2
0.24 1 λ(A) A A 0.24I 0 0.24
2
1 1 0.24 1 K enQ λ(A) 0 1 0 0.24 1 0.24 1 0
1 c
第二节
状态观测器设计法
观测器的设计思想：根据能够测量的系统输出量和输入量，重 构出全部状态。
zI A BK βc (z)
状态完全可控的充要条件是：
rank B AB An1B n
系统满足秩的要求，k 就有唯一的解。


对于高阶系统反馈矩阵可用Ackermann公式求解：
K enQ λ(A)
1 c
en 0 0 1
Qc B AB A B A B
BK X(k) X(k 1) A BK ~ ~ X(k 1) 0 X(k) A LC
BK A BK de tz I 0 A LC 0
de t(z I A BK)(z I A LC) 0
全维观测器、降阶观测器。
状态观测器方法：将系统状态变量模拟出来用它来代替真实的
状态变量构成反馈系统，这种方法称状态观测器法。 降阶观测器：根据系统可测状态，重构出其余那些不能测量
的状态。
X(k 1) AX(k) Bu(k) Y(k) CX(k)
按上述系统构造模拟系统：
ˆ ˆ X(k 1) AX(k) Bu(k) ˆ ˆ ˆ Y(k) CX(k)
对比系数得：
K 0.241
z z 0.24 0
2
解法2：用Ackerman公式求解：
期望特征方程 ：
0 1 Q 1c 0 1 1 1 1 1 1 0 Qc [B AB ] 1 1
1
λ(z) z z 0.24 0
2
z 1 L1 L 2
1 0 z 1
z (L2 2)z 1 L1 L2 0
(z 0.2)(z 0.3) 0 L1 0.56
L 2 1.5
0 1 Qc [B AB ] 1 1
rank(Q) 2 ，因此Qc 能控。令反馈矩阵 c
令反馈矩阵
0 1 Qc [B AB ] 1 1
K k1 k 2
z 1 k1 1

rank(Q) 2 c
因此 Q c 能控
det(zI A BK)
z 1 k2
z 2 (k 2 2)z (1 k 1 k 2 ) 0
特征方程： (z 0.4)(z 0.6)
2

n1

λ(z) z α1z
n
n 1
n 1
αn
αn
λ(A) A α1A
n
例：设被控对象完全能控，且对象离散状态方程为： 1 1 B 0 X(k 1) AX(k) BU(k) A 1 0 1 按极点配置法设计反馈控制系统，使期望极点为 z1 0.4 z 2 0.6 解法1：
u (k )
B
z
X (k ) y (k ) 1 C
A
L
B
+
z
ˆ X (k ) y (k ) ˆ 1 C
A
~ ˆ 取误差状态为： (k) X(k) X(k) X ~ ˆ X(k 1) X(k 1) X(k 1) ˆ ˆ AX(k) Bu(k) {AX(k) Bu(k) L[y(k) y(k)]} ˆ ˆ AX(k) Bu(k) {AX(k) Bu(k) LC [X(k) X(k)]} ~ ˆ (k)] (A LC )X(k) (A LC )[X(k) X
Qo C CACA CA
2

n1

η(A) An α1An1 αn
X (k ) y (k ) 1 C
二、带观测器的状态反馈系统
u (k )
B
z
A
L
B
+
z
ˆ (k ) ˆ X y (k ) 1 C
A
K
由于被控对象取状态较难，从观测器取状态得： ˆ ˆ u(k) Kx(k) X(k 1) AX(k) Bu(k) AX(k) BKX(k) ~ AX(k) BK[X(k) X(k)] ~ (A BK)X(k) BKX(k) ~ ˆ X(k) X(k) X(k) 将此方程与误差方程合并，得闭环系统动态方程：
满秩，观测器可任意极点配置
ˆ ˆ ˆ 设闭环观测器方程 X(k 1) AX(k) Bu(k) L[y(k) y(k)]
误差状态方程的特征方程为
ZI A LC 0
z 0 1 1 L1 0 z 0 1 L [1 0] 0 2
闭环特征方程
zI A BK 0
设计反馈控制规律L，使得闭环系统具有所需要的极点配置。
闭环控制极点：
βi (i 0,1,2, , n)
求得闭环特征方程为：
βc (z) (z β1 )(z β2 )(z βn ) zn α1zn1 αn 0
反馈控制矩阵K应满足方程：
第十一章
第一节
状态空间设计法
极点配置设计法
设计目的：在已知被控对象的状态空间模型的前提下，可按 极点配置来设计控制器，使闭环系统既有克服扰动的能力，
又有跟踪给定值的能力。
控制器组成： ► ► 状态观测器 控制规律
一、
按极点配置设计控制规律
设：连续控制对象的状态方程
x(t) A1 x(t) B1u(t) y(t) C1x(t)
分离定理：状态反馈和观测器可以分别独立设计。它 们之间无关联性。
de t(z I A BK) 0 de t(z I A LC ) 0
例：系统的状态方程为
X(k 1) AX(k) BU(k) y(k) C X(k)
1 1 B 0 A 1 0 1