工程力学第九章

则相当于在每秒内输入 P1000的功
电动机通过带轮以力偶矩Me作用于AB轴，轴的转速
为n（单位：r/min ），力偶矩Me在每秒内完成的功为
2n
60
M
e
二者作的功应该相等 P1000 26n0Me
传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
M eN m95n P 4 r /km 9W in（ 91 ）
从薄壁圆筒上取出的一块厚度为 的微体，它
的宽度和高度分别为dx，dy。 对整个微体，
´
a
b
Mz 0
dy
dydx dxdy
´
c
d
故 93
z
dx
上式称为切应力互等定理（切应力双生定理）。
❖1.切应力互等定理：在微体相互垂直的两个平面上，
切应力必然成对出现，且数值相等；两者都垂直于
两Байду номын сангаас面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交
1.实验
实验前
①在表面等间距绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
实验后
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
取微体：
２.微体应力分析
①横截面和包含轴线的纵向截 面上都没有正应力。
3.扭转角（）：任意两横截面绕轴线转动而发生的
角位移。
4.剪应变（）：直角的改变量。
四、本章研究对象 等直圆轴的扭转
§9-2 动力传递与扭矩
一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
出发点 —— 计算一秒内的功 W
PM
ω 2 πn 60
电动机通过带轮输入AB轴的功率为P（单位：KW）
1 W 1 N m /s
上端：绞杠的作用力偶 下端：工件的阻抗力偶
3.其它实例 传动轴
以扭转为主要变形的构件称为轴.
二、扭转受力与变形特点 在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用 平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆的任意两个相邻 横截面发生绕轴线的相对转动。
三、基本概念 1.扭转 2.扭力偶与扭力偶矩(外力偶矩)
线。
2.纯剪切应力状态：单元 体的四个侧面上只有切应 力而无正应力作用，这种 应力状态称为纯剪切。
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
三、剪切胡克定律
a
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，使原 来互相垂直的两个棱边的夹
角改变了一个微量 ，称为
切应变或角应变。
dy
´
c
z
dx
也是表面纵向线变形后的倾角。
Mx 0
T Me 0 T Me
3.扭矩的符号规定 若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截 面的外法线方向一致时，T为正，反之为负。
或：T矢量离开截面为正，反之为负。
4.扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T|max值及其截面位置 强度计算
（危险截面）。
•当P为马力
外力偶矩
H. P.(马力, horsepower) = 0.7355 kW(千瓦, k-watt )
M eN m70n P 2rH /m 4 .P . in
二、扭矩及扭矩图 1.扭矩 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 本质：横截面上分布内力系的合力偶矩。
2.截面法求扭矩
面上的剪力为dydz
由于剪切变形，右侧 面向下错动的距离为
dx。若切应力 有一增量
d ，切应变的相应 增量
为d ，
右侧面向下位移的增量为
ddx
剪力dydz 在位移 ddx 上完成的功是 dydzddx
在应力从零开始逐渐增加的过程中，
右侧面上剪力 dydz 共作功为
dW 1dyddzdx 0
单元体内储存的应变能为
扭矩图的组成：
※扭矩图的画法： （1）先计算外力偶矩 （2）分段，用截面法求各段扭矩。 （3）成图，分析|T|max值及其截面位置。
讨论：主动轮、从动轮的合理布局 练习：９-２、９-４
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
薄壁圆管：壁厚
1 10
R0 （R0：为平均半径）
一、薄壁圆管的扭转应力
G 9 4
式中：G是比例常数，称为材料的切变模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过
实验确定，钢材的G值约为75-80GPa。
对各向同性材料，三个弹性常数 E、G、之间存在
下列关系：
G
E
95
2(1)
四、剪切应变能(补充)
若从薄壁圆筒中取出 受纯剪切的单元体， 设左侧面固定）右侧
扭转
第九章 扭转
§9-1 引言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 §9-8 非圆截面轴扭转简介
§9-1 引言
一、扭转实例 1.汽车转向轴 上端：方向盘传递的力偶 下端：转向器的阻抗力偶 2.攻丝时的丝锥
dV dW 0 1dyd d dz x 0 1d dV
单位体积内的剪切应变能密度为：
v
dV 1d
dV 0
当 p 时
由剪切胡克定律：
v
1
2
G
v2 12 1G 22 G 2
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
等直圆轴横截面应力
一、等直圆轴扭转实验观察 1.实验前
①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系
´
b
d t
若 为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒的长度，则由
lr
切应变为
r b
l
纯剪切试验结果表明，在弹性范围内，扭转角 与
扭力偶矩Me成正比
Me a
2 R02
Me
Me
，由
，由
r b
l
所以，
剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极 限时（τ ≤τp)，切应力与切应变成正比。
①表面等间距绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶 m。
2.观察现象
①表面各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但形状、 大小和相邻圆周线间的距离不变。
②表面各纵向线仍近似为直线，均倾斜了同一微小角 度。
③变形前表面上的矩形，变形后错动成平行四边形。
3.圆轴扭转的平面假设
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两横截面间的距离不变。
②因为筒壁的厚度很小，可以 认为沿筒壁厚度切应力不变。
横截面上各点处，只产生垂直
于半径的均匀分布的切应力 ，
沿周向大小不变，方向与该截 面的扭矩方向一致。
３.薄壁圆筒切应力 大小
AdAR0 TMe
R0 AdAR0 2 R0 TMe
T
2 R02
T
2A0
92
A0：平均半径所作圆的面积。
二、纯剪切与切应力互等定理