高考必考题突破讲座1-函数与导数的综合问题

高考必考题突破讲座 (一)

函数与导数的综合问题

1．(2019·河北武邑中学月考)已知函数f (x )＝2a ln x －x 2. (1)若a ＝2，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)若a ＞0，判断函数f (x )在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f (x )的最大值或最小值．

解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝4ln x －x 2.

f ′(x )＝4

x －2x ，f ′(1)＝2，f (1)＝－1，所以函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为

y ＋1＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.

(2)f ′(x )＝2a

x －2x ＝－2(x 2－a )x

，x >0.

令f ′(x )＝0，由a >0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 当x 在(0，＋∞)上变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.

所以函数(a 2．已知函数f (x )＝ln x －x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫12·x ＋2

2. (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)证明：⎝⎛⎭

⎫12x 2

＋x ＋1f (x )<2e x (e 为自然对数的底数)． 解析 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋12f ′⎝⎛⎭⎫12，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝2－1＋12f ′⎝⎛⎭⎫12，解得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2，所以f (x )＝ln x －x 2＋x ＋2，所以f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－(2x ＋1)(x －1)

x ，令f ′(x )>0，解得0

增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)证明：由(1)知f (x )max ＝f (1)＝2，12

x 2＋x ＋1＞0恒成立，所以不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1f (x )<2e x

等价于1

2x 2＋x ＋10)，所以g ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝e x －x －1，所以h ′(x )＝e x －1，当x >0时，h ′(x )>0恒成立，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )>g ′(0)＝0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则g (x )>g (0)＝0，即e x －

⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1>0，所以⎝⎛⎭

⎫12x 2＋x ＋1f (x )<2e x .

3．已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭

⎫1－1

x ； (3)若在区间(1，e)上e x a －e 1

a x ＜0恒成立，求实数a 的取值范围．

解析 (1)由题意得f ′(x )＝a x ，所以f ′(2)＝a

2

＝2，所以a ＝4.

(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x (x >0)，则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0

⎫1－1

x . (3)由题意可知e x a

a x ，化简得x －1a x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则

h ′(x )＝ln x －1＋

1

x (ln x )2.由(2)知当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1

x >0，所以h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)

上单调递增，所以h (x )

4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,2]，且函数f (x )在x ＝1和x ＝－2

3处都取得

极值．

(1)求实数a 与b 的值；

(2)对任意x ∈[－1,2]，方程f (x )＝2c 存在三个实数根，求实数c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧

f ′⎝⎛⎭⎫－23＝0，f ′(1)＝0，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－12，

b ＝－2.经检验，适合条件，所以a ＝－1

2

，b ＝－2.

(2)原题等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝2c 的图象存在三个交点．由(1)知f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令(3x ＋2)·(x －1)＝0，可得x ＝－2

3

或x ＝1.因为x ∈[－1,2]，所以当x ∈

⎝⎛⎭⎫－1，－23和x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭

⎫－23，1时，函数f (x )是减函

数，函数的极大值为f ⎝⎛⎭⎫－23＝c ＋2227，极小值为f (1)＝－32＋c ，而f (2)＝2＋c >c ＋22

27，f (－1)＝12＋c >－32＋c .所以当x ∈[－1,2]时，要使两函数图象有三个交点，则要有c ＋12≤2c

27，即12≤c <22

27

，故实数c 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，2227. 5．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2，g (x )为f (x )的导数． (1)讨论函数g (x )的零点个数；

(2)若函数f (x )在定义域内不单调且在(2，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析 (1)g (x )＝f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，令g (x )＝0，得ln x －2ax ＋1＝0，即ln x ＝2ax －1，所以a ＝ln x ＋12x ，所以函数g (x )的零点个数等价于函数y ＝a 与y ＝ln x ＋12x

图象的交点个数．

令φ(x )＝ln x ＋12x ，则φ′(x )＝－ln x 2x 2，所以x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；x ∈(1，

＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减且φ(x )>0，所以x ＝1时，φ(x )有极大值1

2，作出两函数的

大致图象，如图所示，由图可知，当a >1

2

时，两函数图象无交点，g (x )无零点；

当a ≤0或a ＝1

2时，两函数图象有一个交点，g (x )有一个零点；

当0

2

时，两函数图象有两个交点，g (x )有两个零点．

(2)由(1)知a ≥1

2时，g (x )无零点或有一个零点，g (x )≤0，函数f (x )在定义域内单调递减，

故函数f (x )在定义域内不单调时，a <1

2.f (x )在(2，＋∞)上单调递减时，f ′(x )≤0，即g (x )≤0

恒成立．