高中物理模型-对称性模型

模型组合讲解——对称性模型

马秀红王世华

［模型概述］

对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考

命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。

［模型讲解］

1. 简谐运动中的对称性

例1.劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高

度为h，用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）

则：

A. 运动过程中距地面的最大高度为2h

B. 球上升过程中势能不断变小

C. 球距地面高度为h时，速度最大

D. 球在运动中的最大加速度是kh/m

解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，

当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h，利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高

点速度为零时距平衡位置也为h，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h，由于球的振

幅为h，由a k

m

x可得，球在运动过程中的最大加速度为a

k

m

h，球在上升过程中动

能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确选项为ACD。

2. 静电场中的对称性

例2. （2005上海高考）如图1所示，带电量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中b点处产生的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k）。

图1

解析：在电场中

a 点：

EE E a

q

板

E E E

k

q d

q q

板

，2

板上电荷在a 、b 两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b 点产生的场强大小为

k

q d

2

，

方向水平向左。

点评：题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电场，无法直接求带电薄板产生的电场；由E a ＝0，可以联想到求处于静电平衡状态的导体的感应电荷产生的场强的方法，利用E E q 板来间接求出带电薄板在

a 点的场强，然后根

据题意利用对称性求出答案。

例3. 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布

如图2所示。虚线表示这个静电场在

xOy 平面内的一簇等势线，等势线形状相对于

Ox 轴、

Oy 轴对称，等势线的电势沿x 轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P 点（其横坐标为x 0）时，速度与Ox 轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在Ox 轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y 方向的分速度

v y ，随位置坐

标x 变化的示意图是：

图2

解析：由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox

轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电

子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x 方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x＝x0运动到x x0过程中，在y 轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向，后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加速时间短，所以，当x x0时，v y的方向应沿y轴负方向。正确答案为D。

3. 电磁现象中的对称性

例4. （2005年全国高考）如图3所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间

的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mv

Bq

。哪个图是正

确的？（）

图3

解析：由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分

析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，

其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：

Bqv mv

R

2

，解得R＝

mv

Bq

。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半

圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R为直径从右扫到左的一片区域。即如图4所示。

图4

4. 光学中的对称性

例5. （2005年江苏高考）1801年，托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。

（1）洛埃镜实验的基本装置如图5所示，S为单色光源，M为一平面镜。试用平面镜成

像作图法在答题卡上画出S经平面镜反射后的光与直接发出的光在光屏上相交的区域。

图5

（2）设光源S到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a和L，光的波长为，在光屏上形成干涉条纹。写出相邻两条亮纹（或暗纹）间距离x的表达式。

解析：（1）如图6所示。

图6

（2）x L d