《物理学基本教程》课后答案_第三章__功和能[1]
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第三章 功和能
3-1 汽车在平直路面上行驶,若车与地面间的摩擦力恒定,而空气阻力与速度的平方成正比.设对于一辆质量为1500kg 的汽车总的阻力281300v .+=F (其中F 以N 为单位,v 以m/s 为单位),求当车速为60 km/h ,加速度为1.0m/s 2时,汽车引擎所损耗的瞬时功率.
分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积.
解 当汽车的加速度为a 时,引擎牵引力为F 1,应用牛顿第二定律,运动方程为
ma F F =-1
则 2181300v .++=-=ma F ma F
根据瞬时功率的定义,汽车引擎所损耗的瞬时功率为
W 103.83 W 3600
100060360010006081300011500 813004221⨯=⨯⨯⨯⨯++⨯=++==])(..().(v v v ma F P 3-2 如习题1-7所述,若海岸高h = 10 m ,而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力F = 5000 N ,如图3-2所示.当岸上的水手将缆绳由50 m 收到30 m 后,求缆绳中张力的改变量,以及在此过程中水手所作的功.
分析 水手拉缆绳的过程中,是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功.由于缆绳中的张力是变力,直接计算它的功比较困难.根据动能定理,合外力的功等于物体动能的增量,船在此过程中开始前和结束后
图3-2
都保持静止,船只在水平方向发生位移,水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力F 作用,则水手通过缆绳张力所作的功的量值应等于恒力F 所作的负功.
解 缆绳长度由l 1=50 m 收到l 2=30 m 的过程中,位移为s ,水手作的功为
J
101.035J 103010505000 52222222221⨯=---⨯=---==()
(h l h l F Fs W 设此过程中开始前缆绳张力为F T1、结束后为F T2,它们的水平方向分量都应与恒力F 等大而反向,因此有
F l h l F =-1221T1 F l h l F =-2222T2
则
N 200N 10505010
30305000 222222112222T1T2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-h l l h l l F F F 3-3 质点沿x 轴运动,由x 1 = 0处移动到x 2 = 4 m 的过程中,受到力)1(00-=x x F F 的作用,其中x 0 = 2 m ,F 0 = 8 N ,作出F -x 曲线,求在此期间力F 对质点所作的功. 分析 当质点沿x 轴作直线运动时,如果外力是质点位置坐标x 的函数)(x F F =,质点从位置x 1运动到x 2的过程中,根据功的定义,该力所作的功为⎰=2
1d x x x x F W )(,即为F -x 图像中x 1到x 2区间曲线)(x F 与x 轴线包围面积的代数和.
图3-3
解 根据题意,F -x 曲线如图3-3所示.按照功的定义,有
0J 42248 2d 1d 2202200021
21
=-⨯⨯=-=-==⎰⎰)()()()(x x x F x x x F x x F W x x x x
由图3-3可见,x 1到x 2区间曲线)(x F 与x 轴线包围面积的代数和为零,与上面的计算结果一致.
3-4 在x 轴线上运动的物体速度为v = 4 t 2 + 6(其中v 以m/s 为单位,t 以s 为单位),作用力3-=t F (其中F 以N 为单位,t 以s 为单位)沿x 轴正向.试求在t 1 = 1 s 和t 2 = 5 s 期间,力F 对物体所作的功.
分析 当质点沿x 轴作直线运动时,如果外力是时间t 的函数)(t F F =,根据功的定义⎰=2
1d x x x x F W )(,无法直接积分计算,通常可利用微分关系式t t t
x x d d d d d v ==,将积分变量转换为时间t 进行计算.积分变量代换后,积分的上下限也要作相应的代换.
解 根据功的定义
[]J
921834d 186124 d 643d d 21212
12121234232=-+-=-+-=+-===⎰⎰⎰⎰t t t t t t t t x x t t t t t t t t t t t t t F x t F W )())(()()(v 3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图3-5(a)所示的半圆形屏障,质量为m 的滑块以初速v 0沿屏障一端的切线方向进入屏障内,滑块与屏障间的摩擦系数为μ,(1)证明当滑块从屏障另一端滑出时,摩擦力对它所作的功为)(1e 2
120-=-μπv m W ;(2)说明上述结果为什么与圆弧半径无关.
分析 当外力无法表示成位移的函数时,功就不能直接由定义式积分进行计算.如果能确定物体初末状态
的速度,可以应用动能定理,求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功. 证 (1)首先应计算出滑块从屏
障另一端滑出时的速度.设滑块在屏
障中位于如图3-5(b)所示的位置,在竖直方向无运动,在水平面内受到屏障压力F N 和摩擦力F f 作用,此时速度为v ,设屏障半径为R ,应用牛顿第二定律所得运动方程为
法向: R v 2m F =N 切向: t
m F d d f v =- 由于F f =μF N ,得 R
t 2d d v v μ-= 利用关系式θ
θθd d d d d d d d v v v v R t t ==,上式可写为 v v μθ
-=d d (1) 由初末条件:当0=θ时,0v v =;当πθ=时,v v =,将上式分离变量并积分:
⎰⎰-=πθμ0d d 0v
v v v (2) 得滑块从屏障另一端滑出时的速度为
μπ-=e 0v v (3)
则摩擦力在此期间所作的功为
F f
(a ) (b )
图3-5