高二数学函数的和、差、积、商的导数

证明：令 y f (x) g(x).
y f (x x) g(x x)f (x) g(x)
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
y f (x x) f (x) g(x x) g(x)
解: (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cosx
(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
3.用两种方法求y (2x2 3)(3x 2)
解：y'

(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'

2x
sin x x2 sin 2 x
cos
x
3. 求
y

x3 x2 3
在点x

3处的导数
解：y'

1 ( x2
3) (x 3) 2x (x2 3)2
x2 6x 3 (x2 3)2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
例：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
的导数. (x2 x) 2x 1
f (x) x2 g(x) x
f (x) g(x) x2 x
结论： (x2 x) (x2 ) (x).
猜想： [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
证明猜想 f (x) g(x) f (x) g(x).
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
其中g(x) 0
例3：(1)求函数s(t) t 2 1 t
的导数. (2)求函数y tan x的导数
（3）求函数y cos x 的导数 x
(4)求函数f(x)
x ex
的导数.
解
:
根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
Biblioteka Baidu
x
x
x 0
y A(x) x
f (x) A(x)
函数的 和、差、积、商
的导数
楚水实验学校高二数学备课组
问题探究：
利用导数定义求 y x2 x
x
x
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
f (x) g(x)
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
的导数
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
18x2 8x 9
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
18x2 8x 9
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx
由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 当x 0, y f (x) x
例. (1)求函数f (x) x2 sin x的导数.
解：f (x) (x2 sin x)
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
当x

3时,
f
(3)

32 63 (32 3)2
3


1 6
例:求曲线y=x3+3x－8在x=2 处的切线的方程.
解 : f (x) (x3 3x 8) 3x2 3 f (2) 3 22 3 15 又过点(2,6),切线方程为: y 6 15(x 2),即 15x y 24 0
(2)
f
(
x)

(
x ex
)
xex x(ex ) ex xex 1 x

(ex )2
e2x ex
练习 1.求y 2x3 3x2 5x 4的导数
解: y (2x3 3x2 5x 4) 6x2 6x 5
2. y x2 的导数 sin x
知识回顾：基本求导公式:
(1)(kx b) k,特殊的：C 0(C为常数)
(2)(x )' x1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log ax)'

1 xlna
(a
0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x