函数的和、差、积、商的导数
函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
机动 目录
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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结束
例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
函数的和、差、积、商的导数
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
第二节函数的求导法则-精品
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
《函数的和、差、积、商的导数》 知识清单
《函数的和、差、积、商的导数》知识清单在数学的世界里，函数的导数是一个极其重要的概念，它帮助我们理解函数的变化率和单调性等重要性质。
而对于函数的运算，如和、差、积、商，它们的导数也有着特定的规律和计算方法。
下面就让我们一起来详细了解一下。
一、函数的和与差的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的和＼（u(x) ＋ v(x)＼）与差＼（u(x) v(x)＼）的导数分别为：＼（（u(x) ＋ v(x)）＇＝ u'（x) ＋ v'（x)＼）＼（（u(x) v(x)）＇＝ u'（x) v'（x)＼）2、解释与理解这个定理其实很好理解。
想象一下有两个物体在做直线运动，速度分别由函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）描述。
那么它们一起运动时（相当于函数的和）的速度变化率，就是各自速度变化率的相加；而它们反向运动时（相当于函数的差）的速度变化率，就是各自速度变化率的相减。
例如，有函数＼（f(x) ＝ x^2 ＋ 3x\），其中＼（u(x) ＝ x^2\），＼（v(x) ＝ 3x\）。
＼（u'（x) ＝ 2x\），＼（v'（x) ＝ 3\），所以＼（f'（x) ＝（x^2 ＋ 3x)＇＝ 2x ＋ 3\）。
再比如，函数＼（g(x) ＝ x^3 2x^2\），其中＼（u(x) ＝ x^3\），＼（v(x) ＝ 2x^2\）。
＼（u'（x) ＝ 3x^2\），＼（v'（x) ＝ 4x\），所以＼（g'（x) ＝（x^3 2x^2)＇＝ 3x^2 4x\）。
二、函数的积的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的积＼（u(x) ＼cdot v(x)＼）的导数为：＼（（u(x) ＼cdot v(x)）＇＝ u'（x) ＼cdot v(x) ＋ u(x) ＼cdot v'（x)＼）2、解释与理解这个公式可以通过对乘积进行微小变化的分析来理解。
2.2导数的运算法则
注
x 1 2 1 法二 y x 1 x 1 2 1 2 y (1) ( ) 2 2 x 1 (1 x ) ( x 1) 2
在进行求导运算中, 尽量先化简再求导, 这样使求导过程简单, 且也能提高结果的准 确性.
8
函数的求导法则
二、复合函数的求导法则
例 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
y 3 x 2 4 x cos x.
4
函数的求导法则
例 求 y tan x 的导数 .
sin x 解 y (tan x ) cos x
uv uv u 2 v v
9
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v ), v ( x ),
则复合函数y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv × × . dx du dv dx 例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y lnu, u sin x .
1
2
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函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 并且
如果函数u( x ), v( x )在点 x处可导,
在点 x处也可导,
则它们的和、差、积、商
(1) [ u( x ) v( x )] u( x ) v( x ); , R.
即 (sec x ) sec x tan x 同理可得 (csc x ) csc x cot x
7
函数的求导法则
x 1 求 y 的导数 . x 1
v ( x ) 1 2 v( x ) v ( x)
3.2.2函数的和、差、积、商的导数
第 1 页 共 4 页3.2.2/1.2.2函数的和、差、积、商的导数班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】1．知识目标：用法则求乘积形式函数导数，准确记住函数和、差、积、商的导数公式并能熟练应用．2．能力目标：进一步加强学生的运算能力.3．情感目标：体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法.【教学重点】用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则．【教学难点】函数的积、商的求导法则的推导．一、引入：1．几个常见函数的导数公式：（默写）（1）()kx b '+= （,k b 为常数）； （2）='C （C 为常数）；（3）()x '= ；（4）2()x '= ；（5）3()x '= ； （6）1()x'= ； （7）)x '= ．2．基本初等函数的求导公式：（默写） （8）)('a x =___________（a 为常数）； （9）()x a '= （0>a ，且1≠a ）； （10）(log )a x '= = （0>a ，且1≠a ）；（11）()x e '= ；（12）=')(ln x ；（13）=')(sin x ； （14）=')(cos x ．3．已知)(x f '，)(x g '，怎样求])()(['+x g x f 呢？例如：⑴求2y x x =+的导数．⑵若2()f x x =，()g x x =，则可以得出怎样的结论？二、新授内容：一般地，我们有函数的和、差、积、商的求导法则：法则1：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即[]='±)()(x g x f ，法则2：[]=')(x Cf （C 为常数），法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即[]=')()(x g x f ，法则4：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即：='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f (0)(≠x g )．第 2 页 共 4 页 例1．求下列函数的导数:（1）x x x f sin )(2+=； （2）2623)(23+--=x x x x g ．例2．求下列函数的导数:（1）x x x f ln 2)(=； （2）用两种方法求函数)23)(32()(2-+=x x x f 的导数．【变式拓展】求下列函数的导数：（1）()sin h x x x =； （2）21()t s t t += （用两种方法）； （3）tan y x =．例3．已知函数ln ()1a xbf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=，求,a b 的值．反思：第 3 页 共 4 页 三、课堂反馈：1．求下列函数的导数：（1）x x y cos 2+=； （2）21y x =； （3）32+=x x y ； （4）x x y cos =；（5）21()f x x =； （6）2sin ()x f x x=； （7）x y x ln 22-=； （8）22()log f x x x =-．2．求x x y sin 2=在2π=x 处的导数为 ．3．求曲线2232y x x x =+-=在处的切线方程为 ．4．曲线f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为_____ _______．5．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.四、课后作业： 学生姓名：___________1．若函数()y f x =的导数2'()34f x x x =+，则()f x = （写一个满足的即可）．2．（1）sin y x x =的导数'y = ．（2）已知2()2(1)f x x xf '=+，则(1)f '= ．3．在31y x x =+-上求一点P ，使过点P 的切线与直线47y x =-平行，则点P 坐标为 ．4．（1）已知函数a b y ax +=的导数为'6y x =，则a = ，b = ．（2）已知32()(23)(5),'()f x x x f x =--则= ．5．()()f x g x 与是R 的可导函数，若(),()'()'()f x g x f x g x =满足， ()()f x g x 则与满足 ．（1）()()f x g x =； （2）()()f x g x -为常数函数；（3）()()0f x g x ==； （4）()()f x g x +为常数函数．6．（1）已知函数ln 2,'x y x x y =+则= ．（2）若函数25y ax bx =+-在点(2,1)处的切线为37y x =-+，则a = ，b = ．第 4 页 共 4 页 7．求下列函数的导数：（1）21()f x x =； （2）()23x f x x =+； （3）23()(9)()f x x x x =+-； （4）2sin ()x f x x=；（5）2(2)1x y x -=+； （6）11x x e y e +=-； （7） y =xx sin 2； （8） 1sin 1cos x y x -=+；（9） ()x e f x x =；8．设(5)5,(5)3,(5)4,(5)1,f f g g ''====分别求下列函数中的(5)h 及(5)h '．（1）()3()2()h x f x g x =+； （2）()()()1h x f x g x =+； （3）()2()()f x h x g x +=．9．已知函数()sin cos ,(0,2)f x x x x π=+∈．（1）求0x ，使0()0f x '=； （2）解释（1）中0x 及0()f x '的意义．10．已知函数26()ax f x x b -=+的图象在点(1,(1))M f --处的切线方程为250x y ++=， 求函数()y f x =的解析式．小结反思：。
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
高等数学-函数和、差、积、商的求导 法则
(1 + )2
+ + −
=
(1 + )2
12
03 函数商的求导法则
例4 已知() =
1−
′
，求 ( )．
1+
2
2
续解 即
=
.
2
(1 + )
2
7
02 函数积的求导法则
例2 设 = 3 ，求 ′ .
解
′ = ( 3 )′ + 3 ( )′
=
3 2
+
3
1
⋅
= 3 2 + 2 ．
8
本节内容
01 函数和、差的求导法则
02 函数积的求导法则
03 函数商的求导法则
9
03 函数商的求导法则
′ () = ′ ()() + () ′ ().
简记为
()′ = ′ + ′ .
6
02 函数积的求导法则
注 (1)当() = （为常数）时， () ′ = ′ ().
(2)乘积的求导法则也可以推广到任意有限个函数乘积
的情形．例如，()′ = ′ + ′ + ′ ．
定理2.5 如果函数 = ()及 = ()在点处可导且
() ≠ 0，那么函数() =
′ () =
简记为
′
特别地，当 ≠ 0时，
()
在点处也可导，且
()
′ ()()−() ′ ()
.
2
[()]
=
′ − ′
.
苏教版选修2《函数的和、差、积、商的导数》说课稿
苏教版选修2《函数的和、差、积、商的导数》说课稿一、教材分析本章是数学选修课程中的一部分，教学内容主要围绕函数的和、差、积、商的导数展开。
通过深入探究导数的概念和性质，可以帮助学生更好地理解函数的变化规律，同时也为后续研究微积分打下坚实的基础。
在教材的设计上，本章主要分为以下几个部分：1.函数的导数概念引入2.函数和的导数3.函数差的导数4.函数积的导数5.函数商的导数6.总结与拓展通过逐步引入不同类型函数的导数计算方法，学生可以渐进地理解函数变化率与导数的关系，并在实际问题中熟练运用所学知识。
二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握函数和、差、积、商的导数的计算方法•理解导数的意义和性质•能够灵活运用导数进行函数变化率的计算2. 过程与方法目标•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力•提高学生的数学抽象能力和创造性思维•培养学生的合作与沟通能力3. 情感态度与价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱•培养学生的严谨性和求知欲•培养学生的动手实践精神和解决问题的能力三、教学重点与难点1. 教学重点•函数和、差、积、商的导数的计算方法•导数的概念和性质的理解2. 教学难点•函数和、差、积、商的导数的运算法则的掌握•导数与函数变化率的联系的理解四、教学过程1. 导入与概念解释在导入部分，我将通过一些日常生活中的例子引入导数的概念。
例如，我可以提问学生：当我们驾驶汽车行驶时，我们如何确定汽车的速度是如何变化的？为什么有时我们需要变换车速，有时则需要保持恒速前行？通过引出这些问题，我将帮助学生关注函数的变化规律，从而引出导数的定义和意义。
在解释导数时，我会强调导数是用于描述函数变化率的工具，并与实际问题进行结合，让学生更好地理解导数的概念。
2. 函数和的导数接下来，我将介绍函数和的导数计算方法。
首先，我会解释什么是函数和的导数，然后通过一些简单的数学表达式示例，引导学生理解和的导数的概念。
为了帮助学生更好地掌握和的导数的计算方法，我将设计一些具体的例题，并引导学生逐步分解和的导数运算步骤，明确每一步所使用的运算法则，并鼓励学生在小组内互相讨论和解答问题。
函数的求导法则2-3
( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x );
(3 )[u v ( (x x ) )]u (x )v (x v )2 (x u )(x )v (x ) (v (x ) 0 ).
解 y ln u ,u six .n
dy dy dx du
du dx
1 u
cos
x
cos sin
x x
coxt
可推广到多个中间变量
设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
h 0
v (x h ) v (x ) h
u (xh )u (x)v(x)u (x)v(xh )v(x)
lim h
h
h 0
v(xh )v(x)
u(x)v([xv)( x)u2 (]x)v(x)
f(x)在x处可. 导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上面的法则可分别简写为：
(1 )(uv)u v;
2co2xsln x1si2n x. x
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C) 0
(x) x1
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(sinx) cos x
(e x ) e x (ln x ) 1
x (cosx) s inx
1
1 x
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例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= x +cosx 1 (3)若f ( x ) x 2 , 则f(x)可能是下式中的( B )
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
x x x
即: y (u v ) u v.
2.积的导数: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即( uv ) u v u v . 证: y f ( x ) u( x )v( x ),
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 练习2:设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
1 1 x2 1 4 ; ; ( 3) y 答案: (1) y 2 3 ; (2) y 2 2 2 (1 x ) cos x x x 6x3 x ( 4) y ; (5) y 2 x cos x x 2 sin x cos x 2 sin x ; 3 1 x2 x2 3 x3 x2
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
即: y (uv ) uv uv. 推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即: (Cu) Cu. 3.商的导数: 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即: ( u ) uv uv (v 0).
例6:用求导的方法求和: (1) Pn ( x ) 1 2 x 3 x 2 nx n1 ( x 1);
x(1 x ) 解： (1) x x x x ( x 1), 1 x n 1
2 3 n
2 3 n
( 2) S n 1 2 2 3 x ( n 1)nx n 2 ( x 1). n n1 ( x ) nx , 可联想到它是另一个和式 对(1)由求导公式 x+x2+x3+…+xn的导数. n
x x Pn ( x ) ( x x x x ) ( ) 1 x ( x x n1 )(1 x ) ( x x n1 )(1 x ) 1 ( n 1) x n nx n1 . 2 2 (1 x ) (1 x )
( 2) Sn [ Pn ( x )]
n(1 n) x n1 2( n2 1) x n n( n 1) x n1 2 . 3 (1 x )
例7:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都 是l的方程.
y ( 3)求极限，得导函数 y f ( x ) lim . x 0 x
y f ( x x ) f ( x ) ; x x
公式3: (sin x ) cos x . 公式4:
. (cos x ) sin x
二、新课：
由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那 么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什 么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则. 1.和(差)的导数: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即: ( u v ) u v . 证: y f ( x ) u( x ) v( x ),
1 4 t 4
例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
( A) 1 x ( B) x 1 x (C ) 2 x 3 ( D) 1 2x3
(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4. 注:此题为p.238第12题.
2 即( x 1) ( x 2)(3 x 2) 0, x 1,2, . 3 4 3 2 代 入y 3 x 2 x 9 x 4求 得y 4， 32 ， 0， 即公共点为 : (1,4)切 点, ( 2,32), ( 2 ,0). 3 故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).