函数和、差的求导法则
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导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
机动 目录
1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
函数的求导法则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
求导数的方法法则与公式
例5
函数，
ln x , y ln x 号，为分段
x 0, x 0.
1 当 x 0时， y (ln x ) (ln x ) , x 1 ( x ) 当 x 0时， y (ln x ) [ln( x )] , x x 1 综上， (ln x ) . x
第二节 求导数的方法
一、求导法则
法则与公式
主要内容：
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [ u ( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ).
于是方程两边对x求导数有 y 2 x y 0, y 2 xy 从而 y . y 1
二、基本初等函数的求导公式
1. 幂函数 x ( R )的导数
取对数求导法
对等式 y x 的两边取自然对数，有
y 两端对 x求导得 , y x y x 1 ( x ) x . 于是 y , x x
当u( x ) 1时,
0
1 (1)v ( x ) 1 v ( x ) v ( x ) 2 . [ ] 2 v ( x) v( x ) v ( x)
u( x ) u ( x ) 不可以为 [ ] . v( x ) v ( x )
1 v ( x ) ] 2 特别的， [ v( x ) v ( x)
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
下面我们用例题来说明这种解法：
函数的求导法则
用举例
【例13】
谢谢聆听
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导， 那么它们的商（除分母为零的点外）在点x 处也可导，且
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x，求y′|x=π 解 因为 y′=（x2）′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x， 所以y′|x=π=－π2.
P′(t)=10 000(0.86+2t).
五、应用举例
(2)t=5时该细菌种群的总数是 P(5)=10 000×(1+0.86×5+52)=303 000, t=5时该细菌种群的增长率为
P′(5)=10 000×(0.86+2×5)=108 600. 因此,在t=5时该细菌种群的总数是303 000， t=5时该细菌种群的增长率为108 600个/小时 .
四、复合函数的求导法则
定理5
（复合函数求导法则）若函数u=φ（x） 在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得 相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0 时，有
二、反函数的求导法则
证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可 知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续. 任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知
Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0, 于是有
【例13】
谢谢聆听
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导， 那么它们的商（除分母为零的点外）在点x 处也可导，且
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x，求y′|x=π 解 因为 y′=（x2）′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x， 所以y′|x=π=－π2.
P′(t)=10 000(0.86+2t).
五、应用举例
(2)t=5时该细菌种群的总数是 P(5)=10 000×(1+0.86×5+52)=303 000, t=5时该细菌种群的增长率为
P′(5)=10 000×(0.86+2×5)=108 600. 因此,在t=5时该细菌种群的总数是303 000， t=5时该细菌种群的增长率为108 600个/小时 .
四、复合函数的求导法则
定理5
（复合函数求导法则）若函数u=φ（x） 在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得 相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0 时，有
二、反函数的求导法则
证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可 知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续. 任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知
Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0, 于是有
举例说明函数的和(或差)的求导法则
举例说明函数的和（或差）的求导法则临朐县第二中学 李本习 刘海涛在导数这一章中，对函数进行求导运算这类题目占有非常重要的的地位，在运用求导法则时，也会出现很多问题，本节注要研究一下在应用函数的加减法的求导法则应注意的问题。
1．函数和（或差）的求导法则设 [()()]()(f x g x f x g x'''±=±， 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）。
这个法则可推广到任意有限个函数，即1212()n n f f f f f f ''''±±±=±±± 。
2．典例解析：例一．对于函数f(x)、g(x),下面说法正确的是（ ）A. 若f(x)、g(x)在x 0处均不可导，则f(x)+g(x) 在x 0处也不可导；B. 若f(x)、g(x)在x 0处均可导，则f(x)+g(x) 在x 0处也可导；C. 若f(x)+g(x) 在x 0处可导，则f(x)、g(x)在x 0处均可导；D. 若f(x)+g(x) 在x 0处不可导，则f(x)、g(x)在x 0处均不可导。
分析：设11()sin ,()cos ,f x x g x x x x=+=-则f(x),g(x)在x=0处均不可导，但他们的和f(x)+g(x)=sinx+cos 在x=0处可导，另外若f(x)在x 0处不可导，g(x)在x 0处可导，则f(x)+g(x)在x 0处一定不可导。
因此，答案为B注：在对两个函数的加减法求导时，一定要注意()()f x g x ±必须是可导的；f(x)和g(x)均不可导，但()()f x g x ±有可能可导； 例二．求下列函数的导数（1）322354y x x x =+-+;（2）22cos y x x =+;（3）y ＝()()2312x x +-.解：（1）32(2354)y x x x ''=+-+32322(2354)(2)(3)(5)(4)665x x x x x x x x '=+-+''''=+-+=+-（2）2(2cos )y x x ''=+2(2cos )22sin x x x x '=+=-（3） ()()2[312]y x x ''=+-()3223629121x x x x x '=-+-+=-+- 注：对含有多项式相乘的函数求导时，先把多项式展开，再利用求导法则例三．（1）设sin cos ,22x xy x =- 求 0|x y ='分析：先利用三角恒等变形简化求解过程解：1(sin cos )1sin 222xxy x x ''=-=-011|122x y ='∴=-=（2）设曲线4y x ax b =++在x=1处的切线方程为y=x ，则a 、b 的值是 （ ）A. a = 3 , b =3B. a = - 3, b = 3C. a = - 3, b = -3 D a = 3, b = - 3解：因为43()4y x ax b x a ''=++=+所以1|x y ='=4+a ＝1故 a = - 3,又因为切点为（1，1）, 所以1=1+a+b, b=3 答案：B注：求一个函数在x=x 0处的导数时，先对函数进行求导，然后将x=x 0代入求导后的式子求出结果；在求有关切线的问题时，注意某曲线y ＝f （x ）在x=x 0处的切线斜率为f （x ）在x=x 0处的导数。
求导数的基本法则
∴ f ( x ) = u( x ) + v ( x )
即
在 x 点处可导，且
f ' ( x ) = u' ( x ) + v' ( x )
[ u( x ) + v ( x )]' = u' ( x ) + v' ( x )
类似可证
[u( x ) − v ( x )]' = u' ( x ) − v' ( x )
例4 求 y = sec x 的导数 .
1 ′ = (1)' cos x − (cos x )′ 1 ) 解 cos x cos 2 x sin x 1 sin x = = sec x tan x 即 (sec x )′ = sec x tan x . = 2 cos x cos x cos x y ′ = (sec x )′ = (
第二节
求导数的基本法则
虽然根据导数的定义可以求出一些简单函数 但是，当函数比较复杂时， 的导数， 用定义直接计算导数就相当困难了。 本节，我们将利用极限理论推导出一些求导 数的基本法则，特别是复合函数的求导法则， 从而使导数的计算变得系统化，简单化。
一、和、差、积、商的求导法则 定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且 (1) [u( x ) ± v ( x )]′ = u′( x ) ± v ′( x ) ( 2) [u( x ) ⋅ v ( x )]′ = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x )
4
4
π
解
解
y' = ( 3 x 2 cos x )'
§3.2 求导数的方法——法则与公式
对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
第二节函数的求导法则-精品
(e x ) e x (ln x ) 1
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
导数的四则运算法则
1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数 （1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导 函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ） （A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)
函数的求导法则
即 (sec x ) sec x tan x
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
2.2导数的求导法则
1 1 ′ 公式： 公式： = − 2 x x
等于直接函数导数的倒数。 二、反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 在某区间I 内单调、 设函数 x = ϕ ( y ) 在某区间 y内单调、可导且ϕ ( y ) ≠ 0 则其反函数y=f(x)在对应区间 x内也可导，且 在对应区间I 则其反函数 在对应区间 内也可导，
′ ′ x y′ = yu ⋅ uv ⋅ v′ x
例：求下列函数的导数 y′
dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx
(1) y = cos 2 x
3
(2) y = sin e
−2 x
(3) y = log 3 (arcsin(5 2 x + x))
( 4) y = x + a
a
a
xa
作业： 作业：P69 1(3)(5) 2 3(4)(6) 5 6
3
(2) y = ln 2 + log2 x − sin x
2、两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函 加上第一个函数乘第二个函数的导数。 数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。即：
(uv )′ = u ′v + uv ′
例：求 y = x ln x 的导数
2
( 3、常数因子可以提到导数记号外。即：cu )′ = cu ′ 常数因子可以提到导数记号外。
2.2导数的求导法则 导数的求导法则 一、导数的四则运算法则 1、函数和差的导数等于函数导数的和差。即： 、函数和差的导数等于函数导数的和差。
(u ± v )′ = u ′ ± v ′
例：求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
公式： 公式： x
等于直接函数导数的倒数。 二、反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 在某区间I 内单调、 设函数 x = ϕ ( y ) 在某区间 y内单调、可导且ϕ ( y ) ≠ 0 则其反函数y=f(x)在对应区间 x内也可导，且 在对应区间I 则其反函数 在对应区间 内也可导，
′ ′ x y′ = yu ⋅ uv ⋅ v′ x
例：求下列函数的导数 y′
dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx
(1) y = cos 2 x
3
(2) y = sin e
−2 x
(3) y = log 3 (arcsin(5 2 x + x))
( 4) y = x + a
a
a
xa
作业： 作业：P69 1(3)(5) 2 3(4)(6) 5 6
3
(2) y = ln 2 + log2 x − sin x
2、两函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函 加上第一个函数乘第二个函数的导数。 数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。即：
(uv )′ = u ′v + uv ′
例：求 y = x ln x 的导数
2
( 3、常数因子可以提到导数记号外。即：cu )′ = cu ′ 常数因子可以提到导数记号外。
2.2导数的求导法则 导数的求导法则 一、导数的四则运算法则 1、函数和差的导数等于函数导数的和差。即： 、函数和差的导数等于函数导数的和差。
(u ± v )′ = u ′ ± v ′
例：求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
公式： 公式： x
2.2导数的运算法则
注
x 1 2 1 法二 y x 1 x 1 2 1 2 y (1) ( ) 2 2 x 1 (1 x ) ( x 1) 2
在进行求导运算中, 尽量先化简再求导, 这样使求导过程简单, 且也能提高结果的准 确性.
8
函数的求导法则
二、复合函数的求导法则
例 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
y 3 x 2 4 x cos x.
4
函数的求导法则
例 求 y tan x 的导数 .
sin x 解 y (tan x ) cos x
uv uv u 2 v v
9
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v ), v ( x ),
则复合函数y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv × × . dx du dv dx 例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y lnu, u sin x .
1
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函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 并且
如果函数u( x ), v( x )在点 x处可导,
在点 x处也可导,
则它们的和、差、积、商
(1) [ u( x ) v( x )] u( x ) v( x ); , R.
即 (sec x ) sec x tan x 同理可得 (csc x ) csc x cot x
7
函数的求导法则
x 1 求 y 的导数 . x 1
v ( x ) 1 2 v( x ) v ( x)
函数和与差的求导法则
函数和与差的求导法则
函数和差的求导法则是微积分中常用的一条规则，用于求解复杂函数的导数。
根据这个法则，我们可以将一个函数的导数分解为两个函数的导数之差。
具体来说，设有函数f(x)和g(x)，它们都可导。
那么函数f(x)与g(x)的和或差的导数可以通过以下公式表示：
1. 和的求导法则（求导结果为两个函数的导数之和）：
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
2. 差的求导法则（求导结果为两个函数的导数之差）：
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
这些法则可以帮助我们简化复杂函数的求导过程。
我们只需先求出每个函数的导数，然后根据上述法则求得整个函数的导数。
需要注意的是，这些法则只适用于可导函数之间的和与差运算。
如果函数不可导或者涉及其他运算（如乘法、除法等），需要使用其他求导规则来计算导数。
函数的求导法则
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
f (0 ) lim( x 2) 2 x0
f(0) f(0) f (x) 在 x 0不可导
f
( x)
e x
,
0 x1 .
1, 1 x 0
二、反函数的导数
定理2
如果函数x
(
y
)在某
区间I
内单调
y
、
可导
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I x内也可导 , 且有
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
高等数学 上下册22 函数的与 差 积 商的求导法则-精选文档
定 理 2
f ( x ) ( 3 x 1 ) ( 5 x ) 例 3 设 ， 求 . f ( 0 )
fx ( )( 3 x 1 ) ( 5)( x 3 x 1 ) ( 5) x 解 3 ( 5 x )( 3 x 1 )1 6 6 x f ( 0 )( 1 6 6 x ) | 1 6 则 x 0
二、函数积的求Biblioteka 法则 x x u x v x vxuxv u c (x v C 为 常 数 ) u (x ) u )( 特 别 当 时 ， 有 xC C 积 的 求 导 法 也 可 以 推 广 到 任 意 的 有 限 个 函 数 之 积 的 情 形 . uv w ( u v w ) u vw u v w 例 如 2 x x y x e x s i n xx e c o s 例 2 设 2 x x y (x e xs i nx e c o sx ) 解 2 x x (x e) ( xs i nx ) ( e c o sx ) 2 2 x x x i (x )e ( e) ( x )s nx x ( s i nx ) x x o ( e )c sx e ( c o sx ) 1 x 2 e( 2 xx c o sx s i nx ) s i nx xc o sx 2x
x 2 2 3 5 ( 2c xo s x l n 5 x c o s x x s i n) x
三、函数商的求导法则
u ux () ( xvx ) ( ) uxv ( ) ( x ) ( vx ( ) 0 ) 定 理 3 2 vx () v( x ) ux () u ( x ) 1 u ( x ) ( ux ( ) 0 ) 注 意 ; 2 vx () ( x ) ux ( ) u( x ) v
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（3） （4）
四小结
本节课主要讲了函数和、差的求导法则。
五作业1Biblioteka 思考课题序号19
教学班级
1305
教学课时
1
教学形式
新授
课题
名称
函数和、差的求导法则
使用教具
板书、投影、音响
教学目的
使学生掌握函数和、差的求导法则
教学重点
函数和、差的求导法则
教学难点
函数和、差的求导法则
更新、补充、删节内容
课前准备
课外作业
1
板
书
设
计
例1求函数 的导数
解
例2求函数 的导数
解
教
学
感
想
课堂教学安排
(1)根据导数的概念求函数y=u+v的导数；
(2)判断 。
一般地，
法则1两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）。
这个法则对于有限个可导函数也是成立的。
例如
例1求函数 的导数
解
例2求函数 的导数
解
思考
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段与方式
三练习
求下列函数的导数
（1） （2）
教学环节
主要教学内容
教学手段与方式
导入
新授
一引入
在23.1中，我们求出了一些简单函数的导数，但在实际问题中，常常遇到求一些较复杂函数导数的问题。为了便于计算，我们将介绍一些求导数的基本法则。在函数的和、差、积、商的求导法则中，设函数u=u(x)和v=v(x)在点x具有导数 。
二新授
设函数u=x,v= .
四小结
本节课主要讲了函数和、差的求导法则。
五作业1Biblioteka 思考课题序号19
教学班级
1305
教学课时
1
教学形式
新授
课题
名称
函数和、差的求导法则
使用教具
板书、投影、音响
教学目的
使学生掌握函数和、差的求导法则
教学重点
函数和、差的求导法则
教学难点
函数和、差的求导法则
更新、补充、删节内容
课前准备
课外作业
1
板
书
设
计
例1求函数 的导数
解
例2求函数 的导数
解
教
学
感
想
课堂教学安排
(1)根据导数的概念求函数y=u+v的导数；
(2)判断 。
一般地，
法则1两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）。
这个法则对于有限个可导函数也是成立的。
例如
例1求函数 的导数
解
例2求函数 的导数
解
思考
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段与方式
三练习
求下列函数的导数
（1） （2）
教学环节
主要教学内容
教学手段与方式
导入
新授
一引入
在23.1中，我们求出了一些简单函数的导数，但在实际问题中，常常遇到求一些较复杂函数导数的问题。为了便于计算，我们将介绍一些求导数的基本法则。在函数的和、差、积、商的求导法则中，设函数u=u(x)和v=v(x)在点x具有导数 。
二新授
设函数u=x,v= .