(条件概率与乘法公式)
1.4乘法公式与全概率公式
概率论
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
B3
B1
A
B6
B4 B2
B5
B7 B8
设 B1, B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一概事率论 件 A， 有
A A A(B1 B2 Bn )
AB1 AB2 ABn
显 然 AB1, AB2 , , ABn 也 两 两 不 相 容 ，
由概率的可加性及乘法公式, 有
即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B) 若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A)
乘法 公式
推广到三个事件：
P( ABC) P( A) P(B | A) P(C | AB)，
一般, P (A1A2…An )
=P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
概率论
§1.4 条件概率与三个概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
一、条件概率
概率论
对概率的讨论总是相对于某个确定的条件而言 的，但有时除了这个确定的条件以外，还会提出 附加的条件，即已知某一事件B已经发生，要求另 一事件A发生的概率。
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
条件概率的乘法公式
条件概率的乘法公式在概率论和统计学中，条件概率的乘法公式是一项重要的工具，用于计算两个事件同时发生的概率。
它基于条件概率的概念，指出当一个事件依赖于另一个事件时，两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第二个事件在第一个事件发生的条件下发生的概率。
条件概率是指在给定另一个事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，表示事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的乘法公式可以用以下公式表示：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的乘法公式在实际应用中有着广泛的应用，在许多领域中都可以看到它的身影。
下面将通过几个例子来展示条件概率的乘法公式的应用。
例子1：假设有一批产品，其中20%是次品。
现在从中随机抽取两个产品，求两个产品都是次品的概率。
解答：我们可以将事件A定义为第一个产品是次品，事件B定义为第二个产品是次品。
根据题意，P(A) = 0.2，即第一个产品是次品的概率为0.2。
而在第一个产品是次品的条件下，第二个产品也是次品的概率为P(B|A) = 0.2。
则根据条件概率的乘法公式，两个产品都是次品的概率为P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = 0.2 * 0.2 = 0.04。
例子2：某市场调查显示，在购买某品牌手机的用户中，80%的人对其性能非常满意。
另外，根据另一项调查，不满意该品牌手机性能的人中有30%的人会考虑更换其他品牌手机。
现在从该品牌手机用户中随机选取一个人，求他对该品牌手机性能不满意且考虑更换其他品牌手机的概率。
解答：我们可以将事件A定义为对该品牌手机性能不满意，事件B 定义为考虑更换其他品牌手机。
根据题意，P(A) = 1 - 0.8 = 0.2，即对该品牌手机性能不满意的概率为0.2。
1.4(条件概率与乘法公式)
. P( A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C C 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
1 3 1 4
1 1 共有C3 C2 6, 故由古典概率公式得: ■
P( B | A)
6 12
1 2
.
AB
A
S
1.4.1 条件概率
P(A B) P ( AB ) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从பைடு நூலகம்取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
P ( Bi | A )
i1
P ( Bi A )
i1
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
1.4.1 条件概率
例如:
( 4 ) P ( A1 A2 B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A1 A2 B );
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(6 ) 可列可加性 的事件 , 则有 : 设 B1 , B 2 , , B n 是两两不相容
n P Bi A i1
n
P ( B i A ).
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
第五章5.2条件概率,乘法公式,全概率
i 1 n
Bn -1 A
B2
Bn
B3
全概率公式的证明
n i 1
显然 A = A A B i ( AB i )
i 1
n
A= AB1 AB2
AB1 AB2 …... …...
ABn
ABn
B i B j ( AB i )( A B j ) ,
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求 该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B).
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为0.4825。
例 2 三个罐子分别编号为 1, 2, 3，1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球， 3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球， 求取得红球的概率. 解 记 A ={ 取得红球 } 1 2 3 Bi ={ 球取自 i 号罐 } i=1, 2, 3; 则 A 发生总是伴随着 B1，B2，B3 之一同时发生， 即 A = AB1 + AB2 + AB3， 且AB1、AB2、AB3两两互斥，利用有限可加性 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
解：（1）第一次取得一等品后，剩下的9件产品中 还有6件一等品，即
6 2 P ( B A) . 9 3
（2）第一次取得二等品后，剩下的9件产品中 还有7件一等品，即
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
线性代数第一章条件概率、乘法公式
$P(AB) = P(A)P(B|A)$ 或 $P(AB) = P(B)P(A|B)$，表示两个事件同时发生的概 率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在该事件发生的条件下的概率的 乘积。
推导过程详解
根据条件概率的定义，我们有 $P(B|A) = frac{P(AB)}{P(A)}$，两边同时乘以 $P(A)$，得到 $P(AB) = P(A)P(B|A)$。
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乘法公式简化条件概率计 算
乘法公式可以将复杂的条件概率计算简化为 一系列简单概率的乘积，从而降低了计算的 难度。
乘法公式揭示条件概率与 独立性的关系
当两个事件相互独立时，它们的条件概率等 于各自的概率，乘法公式在此时可以简化为
普通概率的乘积。
二者关系总结
条件概率是乘法公式的基础
01
条件概率的定义和性质为乘法公式的推导和应用提供了基础。
VS
解析
根据概率的定义，事件A发生的概率 $P(A)$等于事件A包含的基本事件数与全 部基本事件数之比。因此，抽到红球的概 率为$P(A) = frac{4}{10} = 0.4$。
多个事件联合概率计算
例题2
一个盒子里有10个球，其中4个是红球，6 个是白球。随机抽取两个球，求同时抽到两 个红球的概率。
线性代数第一章条件 概率、乘法公式
目录
CONTENTS
• 条件概率基本概念 • 乘法公式及其推导 • 条件概率与乘法公式关系 • 典型例题解析 • 生活中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
条件概率基本概念
定义与性质
条件概率的定义
设A和B是两个事件，且P(B)>0，称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在事件B发生的 条件下事件A发生的条件概率。
§1.5 条件概率与乘法公式
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U
P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1
0.1528.
100 99
98
97
19
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
概率的乘法法则和条件概率
概率的乘法法则和条件概率在概率论中，乘法法则是一条重要的原则，用于计算独立事件的联合概率。
而条件概率则是在某一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
这两个概念在解决实际问题时具有广泛的应用性。
一、概率的乘法法则概率的乘法法则是指对于独立事件A和B来说，它们同时发生的概率等于各自发生的概率相乘。
表示如下：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，假设有一个袋子里有10个红球和10个蓝球，如果我们从袋子中先后抽取两个球，且每次抽取后将球放回袋中，那么第一次抽到红球的概率为10/20，第二次也抽到红球的概率同样为10/20，根据乘法法则可知同时抽到两个红球的概率为(10/20) ×(10/20) = 1/4。
二、条件概率条件概率是指在事件A已经发生的情况下，事件B发生的概率。
表示如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
例如，假设有包含黑、白两种颜色的两个盒子，其中盒子1有5个黑球和5个白球，盒子2有3个黑球和7个白球。
现在要从这两个盒子中随机选取一个盒子，并从该盒子中随机抽出一个球。
如果我们已经知道抽到的球是黑球，那么该球来自盒子1的概率为5/8，来自盒子2的概率为3/8。
这里的条件概率就是在已知抽到黑球的情况下，计算该球来自于盒子1或盒子2的概率。
三、应用举例概率的乘法法则和条件概率在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个例子：例一：购买彩票假设购买某个彩票中奖的概率为1/1000，且该彩票有10期。
如果我购买了所有10期的彩票，那么中奖的概率为(1/1000)^10，即乘法法则的应用。
但如果我们已经知道已经中奖一次了，那么后续的中奖概率将会发生变化，根据条件概率的计算公式，我们可以得知在已知中奖一次的情况下，后续还能中奖的概率是多少。
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
条件概率, 乘法公式
(2)的答案是12/20=0.6. 但是, 这两个问题的提法是有区别的. 第二个问 题是一种新的提法. 记A={选中男生}, B={选中 1.70米以上同学}, 则第二问是“在A发生的条件 下事件B发生的概率”问题, 即P(B|A).
注意到P(A)=20/30, P(AB)=12/30, 从而有
上例中， P(B|A) ≠ P(B)
12
二. 乘法公式
由条件概率的定义：
P ( AB) P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可反求P(AB).
设A,B为两个事件
若P(B)>0,则
P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)
何时用？
例1 m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按 不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取 到一等品的概率。 解法1：设Ai={第i次取到一等品} 则
3 P ( A) 5
解法2：在缩减后的样本空间A上计算
由于事件A已经发生，即第一次取到的是 正品，所以第二次取产品时，只剩下4件， 并且正品只有2件，所以
1 P(B|A)= 2
性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) 1, P ( B ) 0;
( 3) 可列可加性: 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
条件概率与乘法公式
入 场 券
入 场 券 入 场 券 入 场 券 入 场 券
概率相 3 5 P( A4 ) P( A1 A2 A34 A4 ) 同，即 1 P (A 4 A P( A ) P (A A) P) A A PA A A A 与顺序 5 4 3 2 1 1 无关 P( A ) P( A A A A A ) 1
入 场 券
Ai 表示“第i 解：设 Ai 表示“第i个人抽到入场券”， 个
人没有抽到入场券”（ i=1,2,3,4,5） 1 P ( A1 ) 5
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P A2 A1 1 1 4 1 P ( A2 ) 5 45 5 抽到入 1 (A A2 A1 PA3 A1 A2 场券的 P(P A )P 1) 3 4 35 1 1
事件B发生 的概率依赖 于事件A发 生这个条件
条件概率的定义：若P(A)>0,则把在事件A已 经发生的条件下，事件B的概率发生的概率条 件概率，记作 P(BA) 。
例3 袋中5个球：3个红球，2个白球，无放回地抽取两次， 每次1个. （1）第一次取到红球的概率； （2）已经知道第一次取到的是红球，求第二次取到红球 的概率. （3）两次都取到红球的概率
例4 两台车床加工同一种机械零件如下表，从1000个零 件中任取1个，设事件A为“取出这个零件是第一台车床 加工的”，事件B为“取出的这个零件是正品”，求 P(AB)、P(A)、P(B)。
正品数 次品数 合计
第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总 计
35 50 85
5 10 15
40 60 100
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 )
概率计算公式解释
概率计算公式解释
概率计算公式是一种数学工具，用于计算事件发生的可能性。
在概率论中，常用的概率计算公式有三个：加法法则、乘法法则和条件概率。
1.加法法则：加法法则用于计算两个事件中至少发生一个的概率。
如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么加法法则可以表示为：
P(A或B)=P(A)+P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.乘法法则：乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），那么乘法法则可以表示为：P(A且B)=P(A)*P(B)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3.条件概率：条件概率用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以表示为：
P(A|B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
以上是概率计算中常用的三个公式，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。
1。
3条件概率乘法公式
条件概率 P(A|B)的样本空间
B
A
B
A
P( AB )
P(A | B)
例
某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活
到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活
到25岁的概率。
解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”
则
P ( A ) 0.7, P ( B ) 0.56
P ( B A) P( AB) P ( A) P(B) P ( A) 0 .8
P (B | A) 1 3 1 4 3 4
P (AB P (B | A ) = ———) P (A )
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P(A B) P( AB ) P(B)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
20 100
P ( A B ),
12 20
P ( B A ),
12 80
P ( A B ),
12 100
P ( C ),
40 100
P ( C A ),
32 80
P ( A B ),
12 80
P( AC )
32 100
为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和 II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率 分别0.7和0.8，在系统I有效的条件下，系统II仍有效 的概率为0.84，若发生意外时，求 (1)两种报警系统I和II都有效的概率； (2)在报警系统II有效的条件下报警系统I有效的概率； (3)两种报警系统中至少有一种有效的概率。 (4)两种报警系统都失灵的概率.
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
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“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有
C31 C41 12 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点,
共有C31
C21
6,
故由古典概率公式得: ■
P(B | A) 6 1 . 12 2
AB A
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S
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1.4.1 条件概率
注意 （1）条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系. （2）当B A时，有 P(B) P(B A) （3）当AB = 时，有 P(B) P(B A)
➢ 在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再
按定义公式计算； ➢ 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。
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【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二
等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一
P( A) 0.8 2
1.4 条件概率与乘法公式
1.4.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘法公式．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
等品”，求条件概率P(B|A)。
〖解〗方法1[在原样本空间 中计算]
因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不同
结果就是一个样本点,所以样本点总数为
P52 5 4 20.
A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其
所含样本点总数[有利场合数]为
C31 C41 12.
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1.4.2 乘法公式
【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
1.4.1 条件概率
定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：
第1章 概率论基础
1.4 条件概率与乘法公式
1.4.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
下面首先看一个例子:
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
分析 设 H 为正面, T 为反面. { HH, HT, TH, TT }.
A {HH, HT,TH}, B {HH ,TT}, P(B) 2 1 . 42
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P(B A), 则 P(B A) 1 1 4 P( AB) P(B). 3 3 4 P( A)
(5) P( A B) 1 P( A B).
(6) 可列可加性: 设 B1, B2 , , Bn是两两不相容 的事件, 则有
n
n
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
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而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总 数[有利场合数]为
C31 C21 6,
由古典概率公式得:
P(A) 12 , P(AB) 6 ,
20
20
从而,由条件概率公式得:
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
方法2[在缩减样本空间A中计算]
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定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
1.4.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1A2 A3 ) P(( A1A2 ) A3 ) P( A1A2 )P( A3 A1A2 )
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
P(B A) 0 P(B)
1.4.1 条件概率
（4） 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, , Bn, 事件两两互不
相容，则
P( Bi | A) P(Bi A)
i 1
i 1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
质．
1.4.1 条件概率
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 可进一步推广如下:
1.4.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).