1.3 条件概率与乘法公式

• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)

#A #

件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)

4 10

0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)

4 10
3 9

2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)

4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
例1 某批产品中,甲厂生产的产品占60%,已知甲厂 的产品的次品率为10%,从这批产品中随意的抽取一 件,求该产品是甲厂生产的次品的概率.

10 100

9 99

90 98

0.00835
• 例4 一盒中装有大小、形状相同的 a 个红球，b个黑球，每次摸出一个球， 看过它的颜色后仍放回盒中，并且加进与这个球颜色相同的球 c 个.求连 续三次都摸到红球的概率.
解：设Ai “第i次摸到红球” (i 1, 2, 3), B "连续三次都摸到红球 ",则 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2 )
缩小为只取 B 所包含的样本点。 有利事件为 AB。
计算条件概率P(A | B)的两种方法：
1）在缩减后的样本空间B中求事件A的概率，即 P(A|B)；
2）在样本空间 中，首先计算 P(AB)，P(B)，再计
算
P( A B) P( AB) P(B)
例3 一个家庭中有三个小孩，已知其中一个是女孩，求至少有 一个是男孩的概率（假定男、女出生率一样）
P( A | B) P( AB) P( A B) 0.1 1 . P(B) 1 P(B) 0.7 7
• 例 设A, B 是两个随机事件，且 0 P( A) 1 P(B | A) P(B | A) 求证：P( AB) P( A)P(B) .
•证
由于
P(B
|
A)

c
c

a
a
b
2c 2c
.
上述模型曾被卜里耶（Ρólya）用来作为描述传染病的数学模型.也 是一般的摸球模型，特别取c 0 时，则是有放回摸球；当c 1 时，
则是不放回摸球.
•例
设 A, B 是两个随机事件，且 P(A) P(B) 0.3 P( A B) 0.4 试计算 P( A | B), P( A B), P( A | B).
1.3.1 条件概率
例1 先后掷两枚均匀的硬币，观察出现的面.
样本空间： ={ (正 , 正) , (正 , 反) , (反 , 正) , (反 , 反) }
令Ａ={有一正一反}，Ｂ={至少有一个正面}，则
P(A)
1 2
假如把条件限定在“至少有一个正面”(即:Ｂ已发生)
问“有一正一反”（即:Ａ再发生）的概率？ 答案：2/3.
•即
P( AB) P( A)P(B) .
• 例 同宿舍的三位同学每人制作一件礼物参加元旦舍友互庆会. 他们首先将三件礼物编号，然后每人各抽一个号码，按号码领 取礼品.求三人都得到别人赠送的礼品的概率.
解 令 Ai “第i 个人得到自己制作的礼物”(i 1, 2,3)
B “三人都得到别人赠送的礼物”.
P( Ai B)
P{( Ai ) | B} i 1
i 1
P(B)
i1 P(B)

i 1
P( Ai B) P(B)

i 1
P( Ai
| B).
1.3.2 乘法公式
定理1.1 (乘法公式) 设A、B为任意两事件，则： P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)>0 P(AB)=P(B)P(A|B) P(B)>0
P( A | B) P( AB) 0. P(B)
• （2）又由定义有
P( | B) P(B) P(B) 1. P(B) P(B)
• （3）由于 A1,, An ,两两互不相容，所以 A1B, A2B,, AnB, 也两两互不相容.由公理3及定义有



P{ Ai B}
解：记A表示事件“甲厂生产的”， B表示事件“产品是次品”，
则 P(A)=60%, P(B A )=10%.
有 P( AB) P( A)P(B A) 60%10% 6%.
例2 10张考签中有4张难签，甲、乙、丙3人参加抽签（不放 回），甲先，乙次，丙最后，求下列事件的概率: (1)甲抽到 难签；(2)甲、乙都抽到难签；(3)甲没抽到难签而乙抽到难签； (4)甲、乙、丙都抽到难签.
P( A2 ) P( A3
P( A1) P( A2 |
P( A1A3 ) P
)1 3
A1)
( A2 A3
11
3
)
12.
6

1 6
P( A1 A2 A3 )

P( A1)
P( A2
|
A1)
P( A3
|
A1 A2 )

1 3

1 2
1

1 6
.
• 所以
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 1111 1 1 1 2. 3336666 3

2 8

1 30
例3 一批零件共100个，其中有次品10个。每次从其中任取 一个零件，取出的零件不再放回去.现在任取三次零件，求第 三次才取到合格品的概率。
解 设 Ai (i=1,2,3)表示 “第 i 次取到合格品 ”, 则
P(A1A2 A3) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2 )
解 P(A)= 80 100 P(B)= 20 100
P(A|B)=12 20 P(AB)= 12 100
P( A B) 12 12 /100 P( AB) 20 20 /100 P(B)
P( A B ) P( AB) P(B)
• 例2 全年级100名学生中，有男生60名，女生40名； 来自山东的20人，其中男生8人，女生12人.现在从 名册中任意抽取一位同学，试计算：
i1
i1
另外,对于概率的性质,变为条件概率(|B)后依然成立. 例如 设P(B) 0,A为任意事件，则：
P(A | B) P(A | B) 1
但是，即使P(B) 0, P(B) 0，未必有P( A | B) P( A | B) 1.
• 证 （1）由于 P(B) 0, P(AB) 0 ，且由定义1.5.1有
则 B A1 A2 A3.
P(B) P( A1 A2 A3 )
P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
而 P( A1)
P( A1A2 )
同理可得
相应的 , 称 P(A)为无条件概率.
例2 全年级100名学生中有男生（以事件A表示）80人, 女生20 人; 来自北京地区的（以事件B表示）有20人, 其中男生12人, 女 生8人, 求P(A), P(B), P(A|B), P(AB).
男 女 总计
北京
12 8 20
非北京
68 12 80
总计
80 20 100
本空间上计算的.所以，事件 AB 发生的概率不会比 事件 A | B 发生的概率大.由例2可见：
P( A | B) 12 12 /100 P(AB) . 40 40 /100 P(B)
• 事实上，这是一个一般性的结论：
条件概率 P(A | B)的实质是样本空间发生了变化。
样本空间
A
B
新样本 空间
20 100

0.2;
P(B) # B 40 0.4; # 100
• （3）
P( AB)
#( AB) #
12 0.12; 100
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率 q 为：
q 12 0.3. 40
q是在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率.一般情况下，它与事
原因 样本空间变为只取 B 所包含的样本点(３个)，