2012年江苏高考数学19题解答及推广

第1页 【试题解析】⑴∵(1)e ，

和(e

都在椭圆上，∴222222221121e a b e a

b ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，∴22222421=1314

c a a b c a b ⎧+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴22222242

1=1314a b a a b c a b ⎧-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴22242=1314b a b a b ⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴22=12b a ⎧⎪⎨=⎪⎩，（步骤1）∴椭圆方程为2212x y +=．（步骤2） ⑵由⑴得1(10)F -，，2(10)F ，

，又∵12AF BF ∥，∴设1AF 、2BF 的方程分别为11x my x my =-=+，，（步骤3） 设()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，．∴2211211x y x y m =-⎧+=⎪⎨⎪⎩

，∴2211(2)21=0m y my +--，

∴1y （步骤4） ∴

21

21m m AF +

同理，2

BF ． ②（步骤5） （i

）由①②得，12AF BF -

=2m =2． ∵注意到0m >，∴m ．∴直线1AF 的斜率为

1m ．（步骤6） （ii ）证明：∵12AF BF ∥，∴211BF PB PF AF =，即21

111BF PB PF AF +=+， ∴1

2111PB PF BF AF PF AF ++=．∴11112

=AF PF BF AF BF

+．（步骤7） 由点B 在椭圆上知，12BF BF

+

= ∴11212=

)AF PF BF AF BF +．（步骤8）同理22112

=)BF PF AF AF BF +．（步骤9）

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∴1212211212+=))AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF ++

+1212

2AF BF AF BF =+，（步骤10）

由①②得，122AF BF m ++21221=2m AF BF m +

+，（步骤11）

∴12+PF PF ∴12

PF PF

+是定值． （步骤12）