【步步高】2015届高考数学总复习 9.6双曲线课件 理 新人教B版

2 y x2－ ＝1(x≤－1) 8 __________________ ．
思维升华
求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系
数法．待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线 标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系， 求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标 x2 y2 准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 2－ 2＝λ (λ≠0)， a b 再由条件求出 λ 的值即可．利用定义时，要特别注意条件“差的 绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支．
2 x ∴双曲线方程为 －y2＝1， 解析 由条件知 a2＋1＝22＝4，∴a2＝3， 3 → → 设 P 点坐标为(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋2，y)，
本身的 x，y 的取值范围．
x2 ∵y ＝ －1， 3 2 x 4 2 4 32 7 → → 2 2 2 ∴OP· FP＝x ＋2x＋y ＝x ＋2x＋ 3 －1＝3x ＋2x－1＝3(x＋4) －4.
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2－ 8 ＝1(x≤－1)．
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
(3)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
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基础知识·自主学习
要点梳理
2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 － ＝1(a>0， a2 b2 b>0) y2 x2 － ＝1(a>0， a2 b2 b>0)
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标准方程
图形
基础知识·自主学习
要点梳理
范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率
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题型分类·深度剖析
x2 y2 跟踪训练 1 (1)(2012· 湖南)已知双曲线 C： 2－ 2＝1 的焦距为 10， a b 点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 x2 y2 x2 y2 A. － ＝1 B. － ＝1 20 5 5 20 x2 y2 x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝1 80 20 20 80
x≥ a 或 x≤－a， y∈ R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)， A2(0，a) a b y ＝ ± x y＝ ± x b a
c e＝ a ， e∈ (1，＋∞ )，其中 c＝ a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2|＝ 2a ； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝ 2b ； a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的半虚轴长
题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线 2－y ＝1(a>0)的中心和左焦 a → → 点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP· FP的取值范围为( ) A．[3－2 3，＋∞) 7 C．[－ ，＋∞) 4 B．[3＋2 3，＋∞) 7 D．[ ，＋∞) 4
( A )
题型分类·深度剖析
5 跟踪训练 1 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为 13 26，若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为 x2 y2 A. 2－ 2＝1 4 3 x2 y2 C. 2－ 2＝1 3 4 x2 y2 B. 2－ 2＝1 13 5 x2 y2 D. 2－ 2＝1 13 12 ( A )
2 2 a ＋ b c＝
2
实虚轴 a、 b、 c 的关系
基础知识
(c>a>0， c>b>0)
思想方法 练出高分
题型分类
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
百度文库题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) √ (4)√ (5)√
解析
A C 1 2
2 3
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
出 e.
x2 y2 解析 |F1F2|＝2 3.设双曲线的方程为 2－ 2＝1. a b ∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在 Rt△F1AF2 中，∠F1AF2＝90° ， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
c 3 6 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2 3)2， ∴a＝ 2，∴e＝a＝ ＝ 2 .故选 D. 2
题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2013· 浙江)如图，F1，F2 是椭圆 C1： x2 2 ＋y ＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别 4 是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 ( D ) 3 e，可以求出 a 6 思维启迪 求圆锥曲线的离心率 ，c 的关系式，进而求 A. 2 B. 3 C. D. 2 2
x2 y2 x2 y2 【例 1】 (1)已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0， b>0)和椭圆 ＋ ＝ a b 16 9 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍， 则双曲线的方程为______________．
思维启迪 x2 y2 设双曲线方程为 2－ 2＝1，求双曲线方程，即求 a、 a b
思维升华 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三 角形是值得关注的一个重要内容； 双曲线的离心率涉及的也比较多． 由 c 于 e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a、b、c 的一个关系式， a 利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e>1.同时注意双曲 线方程中 x，y 的范围问题．
b，为此需要关于 a、b 的两个方程，由题意易得关于 a、b 的两 个方程；也可根据双曲线的定义直接确定 a、b、c；根据双曲线 的定义求轨迹方程．(注意条件)
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
x2 y2 x2 y2 【例 1】 (1)已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0， b>0)和椭圆 ＋ ＝ a b 16 9 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍， x2 y2 － ＝1 4 3 则双曲线的方程为______________ ．
解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
x2 y2 ∵a2－b2＝1 的焦距为 10，∴c＝5＝ a2＋b2. ① b 又双曲线渐近线方程为 y＝± x，且 P(2,1)在渐近线上， a 2b ∴ a ＝1，即 a＝2b. ② x2 y2 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5，则 C 的方程为20－ 5 ＝1，故应选 A.
(2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线 C2 上的一点 P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为42－32＝1.
题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2013· 浙江)如图，F1，F2 是椭圆 C1： x2 2 ＋y ＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别 4 是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 3 A. 2 B. 3 C. 2 ( 6 D. 2 )
数学
R B（理）
§9. 6 双曲线
第九章 平面解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．双曲线的概念 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这两个定点 叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为 常数且 a>0，c>0： (1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线 2－y ＝1(a>0)的中心和左焦 a → → 点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP· FP的取值范围为( ) A．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞) 7 7 思维启迪 在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线 C．[－ ，＋∞) D．[ ，＋∞) 4 4
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－2)的
y2 x2 － ＝1 2 4 双曲线方程为_______________ ．
x2 2 解析 设与双曲线 －y ＝1 有公共渐近线的双曲线方程为 2 x2 2 22 －y ＝k，将点(2，－2)代入得 k＝ －(－2)2＝－2. 2 2
题型分类·深度剖析
c 5 ＋ 解析 (1)由 e＝a＝ 知，a＝2k，c＝ 5k(k∈R )， 2 b 1 2 2 2 2 由 b ＝c －a ＝k 知 b＝k. 所以a＝2. 1 即渐近线方程为 y＝± 2x.故选 C. → → (2)如图，∵FB＝2FA，
题型分类·深度剖析
x2 y2 跟踪训练 2 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0， a b 5 b>0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 ( ) 2 1 1 A．y＝± x B．y＝± x 4 3 1 C．y＝± x D．y＝± x 2 x2 y2 (2)过双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂 a b → → 线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，若FB＝2FA，则此 双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 ( )
(3)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为
2 y x2－ 8 ＝1(x≤－1) __________________．
又根据双曲线的定义， 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，
y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 2 4
题型分类·深度剖析
题型一 双曲线的定义及标准方程
(3)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 __________________．
解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件，
x2 y2 解析 椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，离心 16 9 7 x2 y2 x2 y2 率为 e＝ .由于双曲线 2－ 2＝1 与椭圆 ＋ ＝1 有相同的焦点， 因 4 a b 16 9 此 a2＋b2＝7. a2＋b2 7 7 2 7 又双曲线的离心率 e＝ ＝ ，所以 ＝ ， a a a 24 2 x y 2 2 2 所以 a＝2，b ＝c －a ＝3，故双曲线的方程为 4 － 3 ＝1.
2
题型分类·深度剖析
题型二 双曲线的几何性质
x2 2 (2)若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线 2－y ＝1(a>0)的中心和左焦 a → → 点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP· FP的取值范围为( B ) A．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞) 7 → →7 又 ∵ x ≥ 3( P 为右支上任意一点 ) ， ∴OP FP 3＋2 3. C．[－ ，＋∞) D· ． [≥ ，＋∞ ) 故选 B. 4 4