第十一章练习题_2

L ?

一、填空题

第十一章 曲线积分与曲面积分测试题 A

1. 设 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 ，则 °?

(x 2 + y 2 )ds = ?； 2. 设Γ 为从点O (0, 0, 0) 到 A (1, 2, 3) 的直线段，则

?Γ (x + y + z )ds = ； 3. °?L (x - y )dx + (x + y )dy = ，其中 L 为以O (0, 0) 、 A (1,1) 、 B (2, 0) 为顶点的三角形

区域的边界，取正向；

4. 设∑ 为旋转抛物面 z = 1 (x 2 + y 2 ) 2 介于 z = 0 与 z = 2 之间的部分，则 ?? xdS = ?； ∑

5. 设 ∑ 为旋 转抛物面 z = 1 (x 2 + y 2 ) 2 介于 z = 0 与 z = 2 之间的部分，取下侧， 则 ?? zdxdy = ?；

∑

6. 设∑ 为球心在原点，半径为 R 的球面的外侧，则

o?? xdy dz + ydzdx + z dxdy = . ∑ 二、计算题

1

. 计算 °?L

(x + y )d s ，其中 L 为 y = 0, y = x , y =

界； 所围成的扇形区域（第一象限部分）的边 2.

计算?L

( y sin x + x )dx +(xy - cos x + x 2 )dy ，其中 L 为 y = 1- x 2 从 A (1, 0) 到 B (-1, 0) 的一段弧； 3

. 证明曲线积分 (1,1) (x 2 + y )dx + (x - 2 s in 2 y )dy 与路径无关，并计算积分值； (0,0) 4. 计算 I =

?? z 3dS ，其中∑ 为上半球面 z =； ∑ 5

. 计算 I = ?? xdydz + ydzdx + 2zdxdy ，其中∑ 为曲面 z = 1- x 2 - y 2 在第一卦限的部分取上侧； ∑ 6. 计算曲面积分 o?? xdydz + ydzdx + (z -1)dxdy ，其中∑ 为 xOz 面上的抛物线 z = x 2 绕 z 轴旋转

∑

一周所得的旋转曲面与平面 z = 1所围成的封闭曲面，取外侧.

B k

°?L 1 2 1. 已知 I =

x 2 ydx + 2x (1- y 2 )dy ， k = 1, 2, 3, 4 ，其中 L : x 2 + y 2 = 1 ， L k : x 2 + y 2 = 2 ， L : x 2 + 2 y 2 = 2 ， L : 2x 2 + y 2 = 2 ，均取逆时针方向，则max{I , I , I , I } = ?； 3 4 1 2 3 4 1 2. 设函数 f (x , y ) 在单连通域 D 内具有连续偏导数，对于任意t > 0 ，有 f (tx , ty ) = t 2

明：对于 D 内任意的简单封闭曲线 L ，有 °?L yf (x , y )dx - xf (x , y )dy = 0 ； axdydz + (z + a )2 dxdy f (x , y ) ，证 3. 计算曲面积分 I = ，其中∑ 是曲面 z = ∑4. 计算曲线积分?L xzdx + xdy + 1 y 2dz ，其中 L 为 x 2 + y 2 = 1与 x + y = z 的交线从 z 轴正向向 z 2

轴负向看去为逆时针方向.