幂函数课件.ppt

形如 y = xa 的函数叫做幂函数， 其中 a 是常数且 a ∈ R 。
2.幂函数的定义域：
使 x a 有意义的实数的集合。
函数y=x的图象和性质
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数y=x2的图象 和性质
定义域： R
值 域： [0,)
奇偶性：在R上是偶函数
2.比较三类基本初等函数：指数、对数、幂函数的区 别与联系．
五、激励评价
心灵寄语：
为了既定目标奋力进取，不管结果如何，快乐 充实每一天，生命之花将大放异彩。——马克锋
证明：任取x1、x2 0，+，且x1<x2,则f (x1) f (x2) x1 x2
= ( x1 x2 )( x1 x2 ) = x1 x2 ,
x1 x2
x1 x2
0 x1<x2 , x1 x2 0, 方法技巧:分子有理化
x1
x2 0,
x1 x2 0, x1 x2
f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ).
幂函数在第一象限的性质小结
y
y=x
当a<0
1
x
O
1
(1) 图象必经过点（1 , 1）；
(2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而减小 ;
(3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近，
图象向右与 x 轴无限地接近 。
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性， 因函数式中α的不同而各异.
单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数y=x3的图 象和性质
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数y=x0.5的图象和性 质
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
函数y=x－1的图象和性质
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
例1、 比较大小：
> （1）1.51/2 < 1.71/2 （2）0.15-1 0.17-1
练习：
判断下列函数哪些是幂函数：
（1）y =5x X （2）y =2x x （3）y =x0.5√ （4）y =x+1 x （5）y =1 / x4 √ （6）y =xx x
例2.证明幂函数f (x) x在[0, )上是增函数.
S 是a的函数
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_V__=_a__³_____
V是a的函数 (4)如果一1 个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
_a_____S__2,这里 a是S的函数
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度___
V_=_t_⁻¹__k_m__/_s____ V是t 的函数
3.情感态度与价值观： 通过学习培养学生细心观察、认真分析、严谨论 证的良好的自主探究学习习惯，增强合作意识， 形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神，构
一、新课引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 __P_=_W___元___ p是w的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S__=_a_²_
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1； （5）幂前的系数也为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。
二、新知探究 1.幂函数的定义：
增函数 (0,0),(1,1) 增函数 (0,0),(1,1)
(1,1)
y y=x3
y=x2
1
y=x1/2
0
1
X
a>0
y y=x-2
y=x-1
1
y=x-1/2
0
1
X
a<0
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
幂函数在第一象限的性质小结
y
当α>0
α >1
y=x
1
0< α <1
x
O
1
(1) 图象必经过点（0 , 0）和（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而增大。
幂函数f (x) x在[0, )上是增函数.
三、精彩一练
1.求下列幂函数的定义域：
（1）y=x0 x | x 0 （2）y=x3/2 = x3 x | x 0
1
（3）y=x-2/3 = 3 x2 x | x 0
四、归纳反思
1. 了解幂函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、最 值和图象变换）．
数学是思维的体操，是符号的游戏， 是一切科学之基础．函数是数学的重 要工具，具有重要的位置。
教学目标：
1.知识与技能：
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进 行简单的应用 。
2.过程与方法：
能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的 过程与方法，来研究幂函数的图象和性质，体会 幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (0,0),(1,1)
y x2 R y | y 0
y x3 R
R
1
y x2 x | x 0 y | y 0
y x1x | x 0 y | y 0
偶函数
奇函数 非奇非
偶 奇函数
(0,0),(1,1)
• ★所有的幂函数在(0，+∞)都有定 义，并且函数图象都通过点(1，1).
• ★如果α>0，则幂函数的图象过点 (0，0)，(1，1)并在(0，+∞)上 为增函数.
一般幂函数的性质:
• ★如果α<0，则幂函数的图象过 点(1，1)，并在(0，+∞)上为 减函数.
• ★当α为奇数时，幂函数为奇函数， ★当α为偶数时，幂函数为偶函数.
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在 , 0 上是减函数
作出下列函数的图象:
y x2 y x3
(-2,4)
Βιβλιοθήκη Baidu
4
(2,4)
3
yx
2
(-1,1)
1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
(-1,-1)
-1
-2
-3
从图象能得出他们的性 质吗?
几个幂函数的性质:
y x y x2