格林公式及其应用

a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C

x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则 有 P d x Q d y 在 D 内与路径无关.
L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L Q P 在 D 内有 x y 在 D 内有 d u P d x Q d y
P d x Q d y 0 为全微分方程
y
因此有
Fx y tan x Fy y y tan x 1 y sec x y x 0 1 cos x
1 3 3 2 2 3 x x y xy y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x x y xy y C 2 3
5
y
( x, y )
O ( x,0) x
法2 此全微分方程的通解为 u ( x, y ) C , 则有
u 5 x 4 3x y 2 y3 x u 3x 2 y 3x y 2 y 2 y
4 2 3
④
⑤
由④得 u ( x, y ) (5 x 3x y y ) d x ( y ) 5 3 2 2 x x y x y 3 ( y )， ( y )待定 2 两边对 y 求导得
1 3 与⑤比较得 ( y ) y , 取 ( y ) y 3 3 2 22 4 2 3 21 3 2 5 3 求解 (5 x 3x y y dx y 3x y )d y0 x ) x (3 yx xy yy C 因此方程的通解为 2 3
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 *三、全微分方程
区域 D 边界L 的正向: 区域的内部靠左
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区 域)
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
B A
B
P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
D
A
B
P( x, y ) d x Q( x, y )d y d u u
A
B A
u ( B) u ( A)
注: 此式称为曲线积分的基本公式 它类似于微积分基本公式:
定理2
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例9 的方程 .
2
u 3x 2 y 3x y 2 ( y ) y
例9. 求解
P 1 Q 解: 2 , ∴ 这是一个全微分方程 . y x x 用凑微分法求通解. 将方程改写为
x d y y dx x dx 0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d x d 0, 或 d x 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x C 2 x
D
练习. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L
格林公式反映了平面上的一条正向封闭曲线上的 对坐标的曲线积分与由曲线所围成区域上的 二重积分之间的关系。
格林(George Green， 1793.7.14～1841.5.31) 英国数学家、物理学家。 生于诺丁汉郡，卒于剑桥。 1833年自费入剑桥大学学习，1837年获学士学位。 1839年任剑桥大学教授。他是一位自学成才的科学家。 1828年，他写成重要著作《数学分析在电磁理论中的 应用》，书中他引入了位势概念，提出了著名的格林 函数与格林定理，发展了电磁理论。 他在晶体中光的反射和折射等方面有较大的贡献。 他还发展了能量守恒定律，得出了弹性理论的基本方 程。变分法中的狄利克雷原理、超球面函数的概念等 最初都是由他提出来的。 他的名字经常出现在大学数学、物理教科书或当代文 献中，以他的名字命名的术语有格林定理、格林公式、 格林函数、格林曲线、格林算子、格林测度、格林空 间等。
L F ( x, y) [ y sin xdx cos x d y]
确定的隐函数 y f ( x) . 解: 因积分与路径无关 , 故有 [ F ( x, y ) cos x ] [ F ( x, y ) y sin x] x y 即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
2 2
4

5 y 4 ) dy C
y
( x, y )
1 5 x 2x2 y3 y5 C 5
O
( x,0) x
第四节
2 2 2 从点 (0, a) 依逆时针 x y a 备用题 1. 设 C 为沿 到点 (0,a) 的半圆, 计算 y2 2 2 d x a x 2 y ln( x a x ) d y a2 x2 C y 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . a C C D 原式 = C C C Ox 2y d xd y a D a2 x2 a (2 y ln a) x xd y
AB
F
A
B
D
M ( x, y )

D

( y d x x d y )
O
2 d x d y
x
2 π 2
AB 的方程 3 ( x 1) y 2 4 31
3. 已知曲线积分
1 与路径无关, 其中 F C , F (0 ,1) 0 , 求由 F ( x, y ) 0
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
y
D
Q P d xd y x y
n k 1 n Dk
D2 D1 Dn
L

k 1

Q P d xd y x y
O
x
Dk
P dx Qd y
(3) 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
即
P Q , 则 说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为 ( x, y ) y u ( x, y ) P( x, y )d x Q( x, y )d y y
P( x, y0 )d x
x0 y y0
( x0 , y0 ) x
y y0 x x0
Q( x, y )d y
或 u ( x, y )
Q( x0 , y )d y P( x, y)d x
定理2
y0 O x0
x x
4) 若已知 d u = P dx + Q dy , D内任一分段光滑曲 则对 线 AB ,有
AB
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 . (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关.
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
定理1
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
4 2 x dx 0
4 d xd y
D
y
L D Ax
64 8π 3
O
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
B
例8. 求解