04可修复系统的可靠性

第四章 可修复系统的可 靠性
内容提要
• 3.1 马尔可夫过程
• 3.2 状态转移图 • 3.3 n步转移后系统各状态概率 • 3.4 频率和持续时间分析 • 3.5 单部件可修系统 • 3.6 串联可修系统 • 3.7 并联可修系统
引言
• 可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系统
恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作时间和修复 时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。
频率和持续时间有什么 实际意义？
3.4频率和持续时间分析
• 令处在状态i的平均时间为Ti，不处在状态i的时间为Ti’，那
么平均周期时间Tci为： Tci= Ti+ Ti’。
• 频率fi ，平均时间Ti，和平稳状态概率πi三者之间的关系如下
1 fi Tci Ti f iTi i Tci fi
π(1) π(0) P 1
2
1 / 2 0 2 / 5
1 / 2 0.5 3 / 5
0.5
1 / 2 1 / 2 π(2) π(1) P π(0) P 0.5 0.5 0.45 0.55 2 / 5 3 / 5
3.1 马尔可夫过程
• 马尔可夫过程定义
• 马尔可夫过程是一类“无记忆性”的随机过程。
简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t > t0时的 状态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
• 马尔可夫过程的数学描述 • 设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一个 随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有: P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} • =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E • 则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过 程。
n步转移
v
P
(n)
P
(k )
P
(l )
式中n=k+l, v∈E(状态空间) • 此式为由状态i经n步转移到状态j的概率；由状态i 先经k步转移到状态v,然后由状态v经l步转移到状态 j的概率(此处v也可理解为从i到j的通道)。
状态概率矩阵 的分解可以表 示为矩阵乘法
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 上式中，若令k=1,l=1,由P(1)可决定P(2)，即由全部一步转移
概率可确定全部两步转移概率。若重复上述方法，就可由 全部一步转移概率决定所有的转移概率，具体可以表示为 如下所示的矩阵运算：
P
n
P

1
n
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转
3.5 单部件可修系统
P01 P01 (t ) P{x(t t 1) | x(t ) 0} t
P00 P00 (t ) P{x(t t 0) | x(t ) 0} 1 t
3.1 马尔可夫过程
• 本课程中使用的三条假设 • 故障率 λ 和维修率 μ 为常数(即寿命和维修 时间服从指数分布)
• 部件和系统取正常和故障两种状态。
• 在相当小的Δt内，发生两个或两个以上部
件同时进行状态转移的概率是Δt的高阶无 穷小，此概率可以忽略不计。
3.1 马尔可夫过程
• 可修复系统的可靠性特征量： • 瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t); • 稳态可用度A、不可用度Q； • MTBF、MTTFF(首次故障前平均时间)、MTTR( 平均修复时间) 。
Ti
i
fi


j i
1
ij
3.5 单部件可修系统
• 单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系
统当作一个单元来研究)，部件故障系统故障，部 件正常系统正常。本部分内容重点讨论瞬态的状态 概率变化过程。
0 x(t ) (系统状态 ) 1
t时刻系统正常 t时刻系统故障
3.5 单部件可修系统
• 单部件可修系统状态转移图
3.5 单部件可修系统
• 部件的故障率，修复率分别是常数λ、μ，则： • t时刻系统处于工作(正常工作)状态，在t→t+Δt之间内发 生故障的条件概率为λΔt (即为P01) • t时刻系统处于故障状态，在t→t+Δt之间即Δt时间内修复 好的条件概率为μΔt (即为P10)
如果非马尔科夫过程当 成马尔科夫过程来处理 会造成什么后果？
3.1 马尔可夫过程
• 转移概率矩阵 • Pij(t,Δt)={X(t+Δt)=j|X(t)=i}称为从状态i到状态j的转移概率函数
，状态空间内转移函数的全体组成的矩阵称为转移概率矩阵 。如对n个状态系统的转移矩阵为n×n阶方阵，可写为：
e1
μ
e2
1 P 1
3.3 n步转移后系统各状态概率
( ) i j 的概率为 Pijn， 由切 • 设系统初始状态是 (n) 普曼—柯尔莫哥洛夫方程， ij 可表示为： P (n) k l (k ) (l ) Pij Pij Piv Pvj
P t , t P t , t 11 12 P t , t P t , t 22 Pt , t 12 Pn1 t , t Pn 2 t , t
P n t , t 1 P2 n t , t Pnn t , t
移后系统各状态的概率。公式如下：
• • 式中
π(n) π(0) P n
• P－一步转移概率矩阵；
• Pn －n步转移概率矩阵； • n－转移步数(次数)；
• π(0)－系统初始状态向量， π(0)=[π1(0), π2(0)…]
• πi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 • π(n)－n步转移后系统所处状态向量， π(n)=[π1(n), π2(n),…]
状态转移图： e1——正常； e2——故障。
3.2 状态转移图
• 由此可写出：
• 通常令Δt=1,则有 •
1 P 1
• 由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。
3.2 状态转移图
• 上图也可以简化为如下图所示（省略了Δt和停留在本状态
的概率）： λ
( 素都大于0,即 Pijn) 0 (i,j∈E) (注：常以此为判断马尔可夫链是否为各态历经的或 是否存在极限概率)，则这样的转移矩阵都是遍历矩 阵。遍历矩阵一定存在极限概率(或稳定状态)。
不可修系统是具有各态 历经？
• 经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态
，既然如此，即使再多转移一步，状态概率也不会 有变化，这样可以求出平稳状态。
为什么不强调可靠度指 标R(t)？
3.2 状态转移图
• 例1 • 如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1－正
常； e2－故障。 • 当机器在t时刻处于e1状态，在t+Δt时刻如机器处于e1状态的 概率P11=4/5,则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5； • 反过程，如机器处于e2状态，经过Δt时间的修复返回e1 状 态的概率是3/5，P21=3/5;则修不好仍处于e2状态的概率是 P22=1－P21=2/5.
1n

1
2


n
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 展开后得：
P
j iwenku.baidu.com1 i
n
ij
j 1,2,, n
• 以上为线性齐次方程组，只有通解，所以要加上以
下条件才能求出特解，(由于以上n个方程中只有n1个方程独立，所以可以去到一个方程后与下面的 方程联立)：

j 1
n
0

1

3.4频率和持续时间分析
• 一旦求出系统各状态的平稳状态概率，就可以对系
统进行频率和持续时间分析了。
• 系统在状态i的频率fi：在平稳状态下，系统每单位时间里
进入或者离开状态i的期望次数 • 系统在状态i的平均时间Ti：在平稳状态下，系统在状态i 的平均停留时间
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 设平稳状态概率为π=[π1, π2… πn], P为一步转
移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解 以下方程：
πP π
• 或写成：

1
2


n
P11 P21 Pn1
P P P
12 22

n2

P P
2n Pnn
3.2 状态转移图
• 由此可写出系统的转移概率矩阵为:
• 转移矩阵Pij也表示事件ei 发生的条件下，事件ej发
生的条件概率：Pij=P(ei|ej) ； • 矩阵 P:列是起始状态，有小到大；行是到达状态， 由小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
• 例1 • 对于一可修系统，失效率和修复率为λ、μ为常数，试画出
(3) 0.445 0.555
(5) 0.44445 0.55555
由此可知，随着n的递增，π1(n)、 π2(n)逐渐趋于稳定。稳 定状态概率称为极限概率。
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 本例n→∞时的极限概率为π1(∞)=4/9, π2(∞)=5/9,即n→∞时，
Pn将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)：
4 / 9 5 / 9 P 4 / 9 5 / 9
n
• 在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何
，在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，稳 定状态的概率分布与初始分布是无关的。
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 如果转移矩阵P经过n次相乘后，所得矩阵的全部元
i
Ti
• πi已知，所以只要求得fi 或者Ti就可以求出另一个变量
3.4频率和持续时间分析
• 转移频率 fij 定义为单位时间从状态 i 到状态 j 的直接转移的
期望次数：
1 f ij lim P X t t j X t i P X t i t 0 t 1 lim ij t P X t i ij i t 0 t
P t, t ?
j 1 ij
n
3.1 马尔可夫过程
• 齐次马氏过程的性质
为什么要求系统寿命和 修复时间符合指数分布？
Pxt t j xt i Pxt j x0 i
• 转移概率矩阵只与时间间隔有关，不随时间
变化 • 可以证明，对系统寿命及故障后的修复时间 均服从指数分布时，则系统状态变化的随机 过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可夫过程。
• 根据定义：
f i f ij i ij
j i j i
能否通过fji 求fi ？
Ti
i
fi


j i
1
ij
3.4频率和持续时间分析
0

1

f i f ij i ij
j i j i
1 1 f 0 f1 , T0 , T1
• πi(n) －n步转移后刻系统处于i状态的概率
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 例：如下图，已知π(0)=[π1(0), π2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等各
步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 解：依次求得 n=1，n=2，n=3，n=5时的状态矩阵
j
1
• 由此即可求出n个平稳状态概率。
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 例：求如图所示系统的平稳状态概率。
3.3 n步转移后系统各状态概率
• 解：
0
t 1 t 1 0 1 t 1 t
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0