谈谈非恒力做功

谈谈非恒力做功

丰顺县第一中学彭国良

功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，但由于高中阶段所学的功的计算公式cos

=只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体W Fsθ

运动轨迹是曲线时，不能用cos

W Fsθ

=来计算功的大小。如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中θ角就无法取值。因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解。常见的方法有以下几种：微元法、图象法、平均力法、功能关系法、利用W＝Pt求变力做功等五种办法。

一、微元法：对于变力做功，不能直接用cos

W Fsθ

=进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用cos

=

W Fsθ求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功，这种处理问题的方法称为微元法。

例1如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？

思路点拨：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果

将推力作点的轨迹分成无限多小段，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做

功过程。运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功：

，则转动一周过程中推力做的功：

。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s ＝0，得到W ＝0，这是错误的。必须注意本题中的F 是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s 不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

二、力的平均值法：通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。

例2 如图2所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，

静止在光滑水平面上O 点

处，现将滑块从位置O 拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s 米（），求释放滑块后弹簧弹力所做的功。

思路点拨：弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平

均值为：

，用力的平均值乘以位移即得到变力的功：

。

小结点评：力F 是变力时，可求力F 的平均值，再利用公式cos W Fs θ=

求解，这种方法一般有两种情况：第一题目中明确指出了是平均力，如一小球从高处落下，落入泥土的深度为s，泥土的平均阻力为f，则泥土做的功为W＝－fs。第二力随位移按照线性规律变化时（比如：力与位移成正比例或是一次函数关系），若在一段过程的初、末位置力分别为F１，F２，则这过程的平均力为。

三、图象法：在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图3所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图3（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图3（b）所示）。

图3

如果F－s图象是一条曲线（如图4所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标轴所围成的面积在数值上等于变力所做的功。由于F－s图象可以计算功，因此F－s图象又称为示功图。

图4

例3用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？（g取10m/s2）

思路点拨：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起铁索的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力。从物体在井底开始算起，拉力随深度h的变

化关系是（0≤h≤10），作出F－h图线如图5所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积表示），得出

。

图5

小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒力功的公式求功，也可用F－s图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，则可用图象求功，而不能用平均值求功。

四、利用功能关系求变力功：求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能关系等规律，用能量的变化量等效代换变力所做的功。这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向的细节，只考虑变力做功的效果和能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法。

例4 如图6所示，质量m＝2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球由A处静止释放，小球到达O点正下方h＝0.5m处的B点时的速度为v ＝2m/s。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g ＝10m/s2。

图6

思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A 运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。

正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。设在B时橡皮条的弹性势能为E p2，由机械能守恒定律得

则

橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功－6J。

小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性势能变化的关系。

五、利用W＝Pt求变力做功：这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。

例5 汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由V1增至最大速度V2。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为多少？

思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P＝Fv可知，牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝F f时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速度做匀速直线运动。

正确解答：当F＝F f时，汽车的速度达到最大v2，

由可得①

对汽车，根据动能定理，有

②

①②两式联立得

。