专题各种力做功问题-

1.恒力做功的求法
一个恒力 F 对物体做功W＝Fl cosα有两种处理方法：
(1) W等于力 F 乘以物体在力F方向上的分位移lcos α，即物体的位移分解为沿F方向
上和垂直于 F 方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcos α；
(2) W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘以物体的位移l，即将力 F 分解为沿l 方向上和垂直于l 方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1·l＝F cos α·l。

功的正、负可直接由力 F 与位移l 的夹角α的大小判断。

2．总功的计算方法
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力 F 合，然后由W＝F 合lcos α计算。

(2)由W＝Fl cos α计算各个力对物体做的功W1 、W2、⋯、W n，然后将各个外力所做的功求代数和，即W 合＝W1＋W2＋⋯＋W n。

3．变力做功的计算方法恒力做功可直接用功的公式W＝Fl cos α求出，变力做功一般不能直接套用该公式，求变力做功的方法如下：
(1)将变力做功转化为恒力做功。

①分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。

②微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。

例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。

4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( ) A．0 B．－Fh
C．－2Fh D．－4Fh
③转换研究对象法：如图7-1-5 所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。

拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人
拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。

④利用图像法求变力做功。

如图所示，在 F-l 图像中，若能求出图线与 l 轴所围的面积，则这个“面积”即为 F 在 这段位移 l 上所做的功。

类似在 v-t 图像中，图线与 t 轴所围的“面积”表示位移。

5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力 F 与钉进木板的深度成正比，已知铁 锤第一次将钉子钉进 d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二 次钉子进入木板的深度是 ( )
A ．（ 3－ 1）d
C. 5－1 d
2
(3) 利用动能定理或能量的转化与守恒求变力做功
3.一根弹簧的弹力－伸长量图像如图 2所示，那么弹簧由伸长量 8 cm 到伸长量 4 cm 的 过程中，
A ． 3.6 J ，－ 3.6 J
B ．－ 3.6 J,3.6 J
C ．1.8 J ，－ 1.8 J
D ．－ 1.8 J,1.8 J
解析： 选 C F-x 图像中梯形的 “面积 ”表示弹力做的功。

W ＝21×0.08×60 J －12×0.04×30 J ＝1.8 J ，此过程弹力做正功， 弹簧的弹性势能减小 1.8 J ，故只有 C 选项正确。

11.如图 6所示，质量为 m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧， 弹簧的劲度系数为 k 。

现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度
h ，此时物体已经离 开地面，求拉力所做的功。

B ．（ 2－ 1）d D.
解析： 拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。

物体刚好离开地面时，弹簧的伸长量为 Δx ＝ mg 。

k
可见，物体上升的高度为 Δh ＝h － Δx ＝ h － mg 。

k
从而，物体重力势能的增加量为 ΔE p ＝mg Δh ＝ mg h －m k g 。

所以，拉力所做的功为
[例 4] 如图 3 所示，半径为 R ，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大 的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为 F f ，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

[解析 ] 将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为 Δx ，它们可以近 似看成直线，且与摩擦力方向共线反向， 如图 4 所示，元功 W ′ ＝F f Δx ，而在小球运动的一 周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即 W ＝∑W ′＝F f ∑ Δx ＝2πRF f 。

[答案 ] 2πRF f
[例 5] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态。

现用手水平拉弹 簧，拉力的作用点移动 x 1＝0.2 m 时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了
x 2＝0.4 m 的位移，其 F-x 图像如图 5 所示，求上述过程中拉力所做的功。

弹簧的弹性势能的增加量为 ΔE p ′＝21kl 2＝12k( Δx)2＝21
k 22 mg 。

2k
W ＝ΔE p ＋ΔE p ′＝mg
22 h －m k g ＋m 2k g ＝mg h －m 2k g 。

答案： mg h － mg
2k
图5
[解析] 由
F-x 图像可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，
1 木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W＝12×(0.6 ＋
0.4)×40 J＝20 J。

[答案] 20 J
A ．支持力对小物体做功为
9．某物体同时受到F1、F2 两个力的作用， F 1、F2跟位移x 的关系如图所示，物体从静止开始运动，求物体动能的最大值。

3.如图
现缓慢抬高
3 所示，长为L 的木板水平放置，在木坂的 A 端放置一个质量为
A 端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成
m 的小物体，
α角时小物体开始滑动，此时停止转动木板，小物体滑到木板底端时的速度为v ，则在整个过程中( )
B．摩擦力对小物体做功为mgLsin α
C．摩擦力对小物体做功为21mv2－mgLsin α
D．木板对小物体做功为12 2
mv
解析：
所以x＝5
F1 做的功，
由题图可知，力F1、F2 都是变力，且前 5 m 位移中，F1>F2，物体做加速运动，
m 时物体动能最大，设为E km，由动能定理得：E km－0＝W1＋W2。

其中W1为力
数值等于 F 1图线跟坐标轴及x＝5 m 所围面积，即W1＝102＋5×5 J＝37.5 J；W2
为F2 做的功，数值等于F2 图线跟坐标轴及x＝5 m 所围面积，即
5
W2＝－2×5 J＝－12.5 J，所以E km＝37.5 J－12.5 J＝25
J。

图3
答案：25 J
[思路点拨] 解答本题时应明确以下两点：
（1）拉力F T 的方向时刻变化，为变力。

（2）拉力 F 的位移大小等于滑轮左侧细绳的长度变化。

解析：人对绳子的拉力 F 等于F T，F T 在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对滑块做的功。

而拉力 F 的大小和方向都不变，所以 F 做的功可以用公式W＝Fl cos α直接计算。

由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移大小为l＝l1－l2＝sin hα－sin hβ，WF T＝W F＝F·l＝
sin α sin β
Fh
sin 。

答案：Fh
in α sin β
4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为 h ，空气阻力的大 小恒为 F ，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为 （ ）
B ．－ Fh D ．－ 4Fh
解析： 选 C 把握好力的方向与位移的夹角是决定做功的正、 负的关键。

正确答案应为 C ，很多同学错选 A ，原因是他们认为整个过程的位移为零，由 W ＝Flcos α可得 W F ＝0， 造成这一错误的原因是没有掌握公式 W ＝ Fl cos α中的 F 必须为恒力，正确的分析是：物体 在上升过程和下落过程中空气阻力都阻碍物体运动， 都做负功， 所以全过程中空气阻力对物 体做功为： W F ＝W F 上＋W F 下＝－ Fh ＋ （－ Fh ）＝－ 2Fh 。

5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力 F 与钉进木板的深度成正比，已知铁 锤第一次将钉子钉进 d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二 次钉子进入木板的深度是 （ ）
A ．（ 3－ 1）d
B ．（ 2－1）d
.22
解析：选 B 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比
地增加，这属 于变力做功问题，由于力与深度成正比， 可先求出平均力、再用功的计算公式求解。

设木板 对钉子的阻力 F 与钉进木板的深度 d 的关系满足 F ＝ kd ，由题意得，第一次做功 W ＝ F 1d
k 2d d ，
第二次做功 W ＝ F 2d ′＝kd ＋kd 2＋d ′ d ′，
联立以上两式得 d ′＝－ （ 2＋1）d （舍）或 d ′＝（ 2－ 1）d 。

A ．0
C ．－ 2Fh
10．(13 分)人在 A 点拉着绳， 通过一定滑轮吊起一质量 m ＝50 kg 的物体，如图 7所示。

开始时绳与水平方向间的夹角为 60°，在匀速提起物体的过程中，人由 A 点沿水平方向运动 了 l ＝2 m 到达 B 点，此时绳与水平方向成 30°角。

求人对绳的拉力做了多少功。

(g 取 10 m/s 2)
人由 A 运动到 B 的过程中，重物上升的高度 Δh ＝sin h 30 －°sin h 60 ，° 故人对绳的拉力所做的功 W ＝ mg Δh ，代入数据得 W ≈732 J 。

答案： 732 J
在变力做功的过程中， 当有重力势能、 弹性势能以及其他形式的能量参与转化时， 可以 考虑用功能关系求解。

因为做功的过程就是能量转化的过程，并且转化过程中能量守恒。

［例 7］ 如图 7 所示，一质量为 m 的小球，用长为 L 的轻绳悬挂于 O 点，
(1)小球在水平拉力 F 的作用下从平衡位置 P 点缓慢地移动到 Q 点，此时悬线与竖直方 向的夹角为 θ；
(2)小球在水平恒力 F 作用下由 P 点移动到 Q 点，此时悬线与竖直方向的夹角为 θ。

求上述 (1)、 (2)两种情况下拉力 F 所做的功各为多大？
［解析］ (1)将小球 “缓慢”地移动，可认为小球一直处于平衡状态， 由平衡条件可求得： 当轻绳与竖直方向夹角为 α时，F ＝mgtan α，可见当 α由零增大到 θ的过程中， F 一直增大， 小球由 P 至 Q 的过程中，动能不变，增加了势能，由于绳的拉力不做功，由功能关系知拉 力 F 做的功数值应与小球增加的重力势能的值相等。

故有 W ＝mgL(1－ cos θ)。

(2)当小球在恒力 F 作用下由 P 移动到 Q 时 由公式 W ＝ FL cos α知力 F 做的功为 W ＝FLsin θ。

［答案 ］ (1)mgL(1－cos θ) (2) FL sin θ
解析： 人对绳的拉力的方向时刻在变，是变力，故不能用 但人对绳的拉力所做的功和绳对物体的拉力所做的功是相等的， W ＝ Fl cos α直接求拉力的功。

物体匀速上升， 则绳的恒等于重力。

设滑轮距人手的高度为 h ，则 h tan 30 h tan 60 图7。