专题各种力做功问题-

1.恒力做功的求法

一个恒力 F 对物体做功W＝Fl cosα有两种处理方法：

(1) W等于力 F 乘以物体在力F方向上的分位移lcos α，即物体的位移分解为沿F方向

上和垂直于 F 方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcos α；

(2) W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘以物体的位移l，即将力 F 分解为沿l 方向上和垂直于l 方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1·l＝F cos α·l。

功的正、负可直接由力 F 与位移l 的夹角α的大小判断。

2．总功的计算方法

物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：

(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力 F 合，然后由W＝F 合lcos α计算。

(2)由W＝Fl cos α计算各个力对物体做的功W1 、W2、⋯、W n，然后将各个外力所做的功求代数和，即W 合＝W1＋W2＋⋯＋W n。

3．变力做功的计算方法恒力做功可直接用功的公式W＝Fl cos α求出，变力做功一般不能直接套用该公式，求变力做功的方法如下：

(1)将变力做功转化为恒力做功。

①分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。

②微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。

4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( ) A．0 B．－Fh

C．－2Fh D．－4Fh

③转换研究对象法：如图7-1-5 所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人

拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。

④利用图像法求变力做功。

如图所示，在 F-l 图像中，若能求出图线与 l 轴所围的面积，则这个“面积”即为 F 在 这段位移 l 上所做的功。类似在 v-t 图像中，图线与 t 轴所围的“面积”表示位移。

5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力 F 与钉进木板的深度成正比，已知铁 锤第一次将钉子钉进 d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二 次钉子进入木板的深度是 ( )

A ．（ 3－ 1）d

C. 5－1 d

2

(3) 利用动能定理或能量的转化与守恒求变力做功

3.一根弹簧的弹力－伸长量图像如图 2所示，那么弹簧由伸长量 8 cm 到伸长量 4 cm 的 过程中，

A ． 3.6 J ，－ 3.6 J

B ．－ 3.6 J,3.6 J

C ．1.8 J ，－ 1.8 J

D ．－ 1.8 J,1.8 J

解析： 选 C F-x 图像中梯形的 “面积 ”表示弹力做的功。

W ＝21×0.08×60 J －12×0.04×30 J ＝1.8 J ，此过程弹力做正功， 弹簧的弹性势能减小 1.8 J ，故只有 C 选项正确。

11.如图 6所示，质量为 m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧， 弹簧的劲度系数为 k 。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度

h ，此时物体已经离 开地面，求拉力所做的功。

B ．（ 2－ 1）d D.

解析： 拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。 物体刚好离开地面时，弹簧的伸长量为 Δx ＝ mg 。

k

可见，物体上升的高度为 Δh ＝h － Δx ＝ h － mg 。 k

从而，物体重力势能的增加量为 ΔE p ＝mg Δh ＝ mg h －m k g 。

所以，拉力所做的功为

[例 4] 如图 3 所示，半径为 R ，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大 的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为 F f ，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。

[解析 ] 将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为 Δx ，它们可以近 似看成直线，且与摩擦力方向共线反向， 如图 4 所示，元功 W ′ ＝F f Δx ，而在小球运动的一 周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即 W ＝∑W ′＝F f ∑ Δx ＝2πRF f 。

[答案 ] 2πRF f

[例 5] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹 簧，拉力的作用点移动 x 1＝0.2 m 时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了

x 2＝0.4 m 的位移，其 F-x 图像如图 5 所示，求上述过程中拉力所做的功。

弹簧的弹性势能的增加量为 ΔE p ′＝21kl 2＝12k( Δx)2＝21

k 22 mg 。 2k

W ＝ΔE p ＋ΔE p ′＝mg

22 h －m k g ＋m 2k g ＝mg h －m 2k g 。答案： mg h － mg

2k

图5

[解析] 由

F-x 图像可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，

1 木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W＝12×(0.6 ＋

0.4)×40 J＝20 J。

[答案] 20 J

A ．支持力对小物体做功为

9．某物体同时受到F1、F2 两个力的作用， F 1、F2跟位移x 的关系如图所示，物体从静止开始运动，求物体动能的最大值。

3.如图

现缓慢抬高

3 所示，长为L 的木板水平放置，在木坂的 A 端放置一个质量为

A 端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成

m 的小物体，

α角时小物体开始滑动，此时停止转动木板，小物体滑到木板底端时的速度为v ，则在整个过程中( )

B．摩擦力对小物体做功为mgLsin α

C．摩擦力对小物体做功为21mv2－mgLsin α

D．木板对小物体做功为12 2

mv

解析：

所以x＝5

F1 做的功，

由题图可知，力F1、F2 都是变力，且前 5 m 位移中，F1>F2，物体做加速运动，

m 时物体动能最大，设为E km，由动能定理得：E km－0＝W1＋W2。其中W1为力

数值等于 F 1图线跟坐标轴及x＝5 m 所围面积，即W1＝102＋5×5 J＝37.5 J；W2

为F2 做的功，数值等于F2 图线跟坐标轴及x＝5 m 所围面积，即

5

W2＝－2×5 J＝－12.5 J，所以E km＝37.5 J－12.5 J＝25

J。

图3