向量值函数的不定积分与定积分

一个原函数，那么 R(t) 的每个分量函数也是 r(t) 对应
分量函数在区间 I 内的一个原函数．
高等数学分级教学A2班教学课件
向量值函数的原函数的性质:
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（1）向量值函数 r(t) 在区间 I 内的任意原函数都具有
R(t) C 的形式，其中 C 为常向量; （2）如果向量值函数 r(t) 在区间 I 内连续, 那么在区
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定义9.3.1 设向量值函数 r = r(t) 在区间 I 内有定义,
如果存在可导的向量值函数R(t) , 使得对于区间 I 内的
每一点都有 R(t) r(t), 则称向量值函数 R(t) 是 r(t)
在区间 I 内的一个原函数．
容易知道，如果向量值函数R(t) 是 r(t)在区间 I 内的
第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ● §9.2 向量值函数的导数与微分 ★ §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.3 向量值函数不定积分与定积分
9.3.1 向量值函数的不定积分 9.3.2 向量值函数的定积分 内容小结与作业
9.3.1 向量值函数的不定积分
2v0 sin
g

v02 g
sin 2.
所以，当 时，导弹的射程达到最远．
4
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9.3.2 向量值函数的定积分
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设三维向量值函数 r(t) ( f (t), g(t), h(t))在区间[a, b]
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向量值函数的不定积分可通过计算其分量函数的不 定积分得到．这样，向量值函数的不定积分有类似 于数量函数的不定积分的运算法则．例如
( r1(t) r2(t))dt r1(t)dt r2(t)dt.
例1 计算 (cost i sin t j 2t k)dt.
y
其中 g | a | 9.8m s2 .
v0
因为 v(t) a, 所以 v(t) g j,

积分，得
o
dx
v(t) (g j)dt gt j C.
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代入初始速度 v(0) v0, 得 C v0. 从而 v(t) gt j v0.
间 I 内它一定存在原函数．
定义9.3.2 设向量值函数r = r(t) 在区间 I 内连续, 则称
r(t) 在区间 I 内的原函数的全体为它的不定积分, 记作
r(t)dt. 如果R(t) 是 r(t)在区间 I 内的一个原函数, 则
r(t)dt R(t) C.
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内容小结与作业
1. 向量值函数的不定积分 2. 向量值函数的定积分
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作业:教材85-86页 2(2)(3), 4, 5(1), 7
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因此 r(t) v(t) gt j v0,
再积分，得 r(t)
(g
t
j

v0
)d t

v0 t

1 2
gt 2
j

C1.
代入初始位置 r(0) 0, 得 C1 0.
所以
r (t )

v0 t

1 2
gt 2
j.
如果用v0 | v0 | 表示初始速率，则
r
(t)

(v0
1
(1 t) dt i
1tet2 d t j
0
0
0
3 i e 1 j. 22
或解
1 (1 t) i tet2 j
0
d t (t t2 )i et2 22
j
1 0


3 2
i

e 2
j


1 2
j

3 2
i

e
2
1
j.
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t
cos
)
i

(v0
t
sin


1 2
gt
2
)
j.
这样，导弹的轨迹方程为
x v0t cos,
y
v0t sin
1 gt2. 2
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当 y0时
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t 2v0 sin .
g 导弹的射程为
d
v0 cos
b
r (t )dt
a

R(t)
b a

R(b)
Baidu Nhomakorabea
R(a).
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例4 计算 1 (1 t) i tet2 j d t. 0
解
1 (1 t) i tet2 j dt
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例3 一枚导弹以初始速度v0 仰角 发射, 假设导弹只 受重力作用，空气阻力可以忽略不记，求这枚导弹的位
置函数 r(t), 并问 取何值时射程最远？
解 导弹只受重力作用, 方向向下,
F ma mg j,
上连续, 定义该函数在区间[a, b]上的定积分为
b
b
b
b
a r(t)dt a f (t)dt i a g(t)dt j a h(t)dt k.
牛顿—莱布尼兹公式
设向量值函数 r = r (t) 在区间[a, b]上连续, R(t) 是它
在区间[a, b]上的一个原函数, 则
解 (cost i sin t j 2t k)dt
costdt i sin tdt j 2 tdt k
(sin t c1) i ( cos t c2 ) j (t 2 c3) k sin t i cos tj t2 k C.