递归数据结构的数学定义
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ｆｒＲｅ ｕ ｖ ｔ ｔ ｃ ｕ ｅ ｕｃ ｓｔｅ ｓａ ｄ Ｇｅ ｅ ａ ｉｔ． ｏ ｃ ｍｉ ｅｄａａ ｓｒ ｔ ｒ ｓｓ ｈ ａ ｒ ｅ ｎ ｎ ｒ ｌｌｓｓ ｕ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：Ｄａａ Ｓ ｒ ｃｕｒ ｓ；Ｍ ａｈｅ ｔｃ ｌＤｅ ｎ ｔ ｎ ； ｅ ｒ ｃ ｕ ｅ ；Ｇｅ ｒ ｌｌｓ ｔｕｃｕ ｅ ｔ ｔｕ ｔ ｅ ｔ ｍａ ｉａ ｆ ｉｉ ｉ ｏ Ｔｒｅ Ｓｔ ｔ ｒ ｓ ｕ ｎｅ ａ ｉｔＳｒ ｔｒ ｓ
， ７
０ ｊ
列表示：ｒ：｛臼 ｂｃ ）。当需要表示两个元素之间的关系 （ ，， ， ｝
时 ， 自然 就 成 为 有序 偶 或 无 序 偶 。 在 这 个 基 础 上 ，递 归 的 数 据 结 构 的定 义 就 可 以 迎 刃 而 解
了。
｛｝ １ Ｊ≤ ． ≥０ ｒｌ ｍ ）
Ｌｉｅ ｒＬｓ ＝（ Ｒ ｎａ ｉ ｔ Ｄ． ）
用 二 元 组 给 出树 的定 义 ：
ｔｅ ｒ ｅ＝ ｆ １ Ｋ．
Ｋ ＝｛，ｌ ≤ ｔ ０ ∈Ｅｅ ） ｌ ． 。 ７ ， ｌｍＴｐ ｝
其 中 ，” 为树 中 的结 点 数 ，ｎ Ｏ则 为 空 树 ，ｒ Ｏ 为 非 空 ＝ ／ 则
Ｄ ，… ，Ｄ （ ０ ，对任意 Ｊ ２ ｍ ｍ＞ ） ≠ｋ （ ≤ｊｋ ）有 Ｄ ｎＤ １ ， ≤ｍ ｊ ｋ＝
，
且对任 意的 ｉ（ ≤ｉ ） １ ≤ｍ ，唯一存在数据元素 ｘ∈Ｄ ，有＜ ｉ ｉ
（） 对 应 于 Ｄ ｛ ｏ 的 划 分 ， Ｈ一 ｛ｒｏｘ ＞ …， ｒｏ ３ 一 ｒｔ ｏ】 ＜ｏｔ ｌ ， ＜ｏｔ ， ，
Ｍ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ａ ｆｎ ｔｏ ｏ ｃ ｓｖ ｔ ｔ ｕｃ ｕｒ ｓ ｔｅ ｔｃ ｌＤｅ ｉｉ ｎｓｆ ｒ Ｒｅ ｕｒ ｉ ｅ Ｄａ ａ Ｓ ｒ ｔ ｅ ｉ
ＦＵ ｎｇ Ｙｏ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔ ｍａｉ ＆ Ｓ ｓ ｍ ｃｅｃｓ， ｉ ｉ ｇＵｎｖｒ ｔ Ｕｒｍｑ ３ ０ ４ Ｃ ｌｇ ｈ ｔ ｓ ｅ ｏ Ｍａ ｅ ｃ ｙｔ Ｓｉｎｅ Ｘｎ ａ ｉｅｓｙ， ｕ ｉ８ ０４ ） ｅ ｊｎ ｉ
“ ， ＝（ Ｒ） ｃｚ 打 Ｄ，
其 中 ，Ｄ是 一 组 性 质 相 同 的 数 据 元 素 的有 限 集合 ，Ｒ Ｄ 是 上 关 系 的有 限集 合 。 Ｄ和 兄 表 示 为 ： 可
ｒ＝｛ ， ，， ｝ ＜以 ｂＣｄ＞ ，而表示无序序列时用圆括号加元素的序
Ｄ＝｛ ｌ ｃ ｌ
＝
如 下 二 元关 系 ：
然 而 ，一 些 递 归 的数 据 结 构 诸 如 树 型 结 构 、广 义 表 结 构 等 似 乎 很 难 给 出一 个 完 全 用 数 学 语 言 描 述 的 定 义 来 ， 大 多 采
用 的是文字描述 的形 式 ，或者部分 采用数学语 言 ，部 分采用 文字描述 。下 面从参 考文献 中列举 几个典 型的对树 的定义来
数 据结构的形式 定义是对 一组关 联的数 据元素 以及这些 数据元素之 间关 系 的一种逻 辑表示形 式。通 常采用 的是二元 组 的描述形式 ，即数据结构是 由两部分 构成 的 ，其一是 一组 数 据元 素的集合 （ 或称为聚集 可能 更为合适 ） ；其 二是数据元 素 之间的关 系的集 合。数据结构 的逻辑 表示通 常采用如 下 的
ｒｏ， ｉ ＥＨ； ｏ ｔｘ＞
后继 ，没有直接前驱 。 （） 除根以外的其他结 点划分为ｍ （ ２ ｍ≥０ ）个互不相交 的有限集合 ． ， ， 小 每个集合 又是 一棵树 ，并且称之 … 为根 的子树 （ｕ ｅ 。每个子树的根结点有且仅有一个直 ｓｂ ）
接 前 驱 ，但 可 以有 ０个 或 多 个 直 接后 继 。
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ａ ａｙ ｉ ａ ｒ ｕ ｎａ ｉｎ ａ ｏ ｔｃ ｎ ｔ ｕ ｎ ｓ ｏ ａａ ｓ ｕ ｔ ｒ ｎ ｒ ｕ ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｆ ｉ ｏ ｓ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｌｓｓ ｎ ａ ｇ ｍｅ ｔｔ ｂ ｕ ｏ ｓｉ ｅ ｔ ｆｄ ｔ ｔ ｃｕ ｅ ａ ｄ ｗｏ ｋ ｏ ｔｍａｈ ｍａ ｉ ｌ ｅ ｎｔ ｎ ｏ ｔ ｒ ｃ ｉ ｉ
已 经 表 明 了树 定 义 的递 归 特 性 ，但 没 有 直 接 给 出 树 中结 点 之
间 的关 系 。
组数据元 素 ，而不是 一组性质相 同的数据元 素 ，是对这 一部
分泛化 的描述。例如 ，广 义表是一 种数据结 构 ，但是 ，广义 表中的数据元素有原子元素和子表元素两种性质不 同的元 素。 作为形式定 义的数据结构 应该包括这 种情况 。第二 ，它 指出 形式定义 中 Ｄ是数据元素 的聚集 （ｏｌ ｔ ｎ 。聚集的限制要 Ｃ ｌ ｃ ｏ） ｅｉ 更加宽松一些 ，允许聚集 中元素的性质 可 以不 同 ，也允许素 。要 比说 明 为集 合 （ｅ）更 为准确和贴切 一些 。显然 ，集合是 聚集 的特 Ｓｔ 例 。同时 ，Ｄ的表示 采用 的是 圆括号 ，以示 区别 。 ， 是关 系集
的树 ，称 为 根 ｒ ｔ 子 树 。 ｏ 的 ｏ
这是一个完全用文字进行描述的定义 。
参 考 文献 【】除 了 有 类 似 参 考 文 献 【］的 说 明 外 ，对 树 ２ １
这个描述 尝试对树 的关系 的定义给 出一 种数学语 言的描
述。
形结构还给出了如下 的定义 ： 在一棵树 中 ，每个结 点被定 义为它 的每个子树 的根结点 的前驱 ，而它 的每个 子树 的根结点就 成为 它的后继 。由此可
电脑 编 程 技 巧 与维 护
递 归数据结构 的数学定义
付 勇
（ 新疆大学数学与系统科学学院 ，乌鲁木 齐 ８ ０４ ） ３０ ４ 摘 要： 分析 了数 据结构的构成 ，并在此基础上提 出了诸如树型结构和广义表 结构等递 归的数 据结构 的数学定义。 关键词 ： 数据结构 ；数 学定 义；树形结构 ；广义表结构
（ ） 其 余 的 结 点 可 以 划 分 成 ，个 子 集 ， ， ， ， ２ ７ … ≥０ ，其 中每一个子集都是一棵树。 ）
为 方便起见， 用符号 ， ， ， ｝ ＝ …， 来表示树 １ １ ０
该定义 对结点 的集 合给 出了一种非 常简洁 的定义 ，虽然
树。对 于一棵非空树 ，关 系 Ｒ应满 足下列条件。
（） 有 且 仅 有 一个 结 点 没 有 前 驱 ，该结 点 被 称 为 树 的根 。 １
（）除根结点外 ，其余每个结点有且仅有一个前驱结点。 ２ （） 包括 树 根结 点 在 内 的每个 结 点 ，可 以有 任意 多 个 ３
（ ０个 ）后 继 。 含
１ 引 言
在许多数据结构 教材 中 ，对于一些 简单 的数据结构 的逻 辑表示 ，通 常 ，除 了采用 自然语言 的描述外 ，还可 以给出确
切 的 用 数学 语 言 描 述 的 形式 定 义 。 线 性 表 结 构 是 由 一 组 性 质 相 同 的 数 据 元 素 的集 合 Ｄ和 Ｄ 上 二元 关 系 的集 合 Ｒ所 组 成 ，其 形 式 定 义 为 ：
说 明这 种情 况 。
（）在 Ｄ中存 在惟一 的称为根的数据元 素 ｒｏ，它在关 系 １ ｏｔ
Ｈ 下无 前 驱 ； （）若 Ｄ ｛ ｏｌ ≠ ，则 存 在 Ｄ ｛ ｏ ２ 一 ｒｔ ｏ 一 ｒｔ ｏ ｝的一 个 划 分 Ｄ１ ，
例如 ，参考文献 【】对树形结构的定义是 ： １
树 是 由／ （ ≥０ 个结 点组 成 的 有 限 集 合 。 如 果 ｎ ０ ７ ， ７ ） ＝ ，称 为 空树 ；如 果１≥０ ７ ，则 （） 有 一 个 特 定 的 称 之 为 根 （。 ｆ 的结 点 ，它 只有 直 接 １ ，。）
其 中
Ｄ ＝ｉ ｝ Ｉ ≤” ，≥０ ．７ ｛
Ｒ＝ ＜ ．卜 ＞ ｌ ｉ ＂ ， ≥ ｝ ｛ ，，Ｉ ｌ ≤ ～１７ ０ （ ／
上述形式定 义用数学语 言很好地 描述 了线 性表结构 是 由
一
这 是一个对树 的结 点 的集合采用 了数学语 言 ，而关 系采
用 了 文 字描 述 的定 义 。 同 样 ，参 考 文 献 ＩＪ除 了也 有 类 似 参 考 文 献 ［】的 说 明 ３ １ 外 ，在 树 的抽 象 数 据 类 型 定 义 中对 树 形 结 构 还 给 出 了如 下 的
ｘ ｝有惟一存在 的一个划分 Ｈ１ Ｈ ， Ｈｍ （ ＞ ） ｍ＞ ， ２ …， ｍ ０ ，对任 意 ｊ ≠ｋ （ ≤ｊｋ ）有 Ｈ ｎＨ 中，且对任意 的 ｉ（ ≤ｉ ） １ ， ≤ｍ ｊ ｋ＝ １ ≤ｍ ，
Ｈ 是 Ｄ 上 的一个 二元关 系 ， （ ｉ Ｈｉ ｉ ｉ Ｄ ，｛ ｝ ）是一棵 符合本定义
树是一个有 限的、非空的结点集 。
收 稿 日期 ：２ １ －４ １ ０ １０ — １
３ 语． 与 ２ ２ ２ 壤 ∥ １１ ≯０瞄 １
Ｓｎ ＡＥＤＶ ＬＰ ＥＴ Ｎ ＥＩＮ ０ Ｗ Ｒ ＥＥ０Ｍ Ｎ ＤＤＳ Ａ Ｇ
Ｔ ｌ｝ ， ｕ ｕ ｕ… ｕ
它具 有 下 列 性 质 ：
形式定义 ：
Ｄａ ａ ｔ
—
系的序偶 （ 有序 的或无序 的）集来表示 。例如一个有 ａ ，ｄ４ ， ｃ ｂ， 个元 素 的线 性 表 ，通 常表 示 为， ＜“ｂ ， ． ＞ ＜ｃｄ＞ ， ’ ＝： ＞ ＜６ｃ ， 。 ： 在新 的定 义中 ，为 了使 表示更为简 洁 ，采用 元素之 间关 系的 序列 （ 有序的或无序的）来 表示 ，例如表示 ａ ，ｃ ，ｂ ，ｄ ４个 元 素 的 有 序 序 列 时 用 尖 括 号 加 元 素 的 序 列 表 示 ， 如
描述 ：
组数据元素Ｄ组成 ，且元素之 间的线性关 系用刚青确地描述
了 出来 。任 何 一 个 具 体 的 线 性 表 都 可 以 用 上 述 数 学 语 言 加 以
描 述 ，并 且 ，采 用 数 学 语 言 描 述 ，更 为 精 确 全 面 ，不 会 产 生
二义性。
数据对象 Ｄ：Ｄ是具有相同特性 的数据元素的集合 。 数据关 系 Ｒ：若 Ｄ为空集 ，则称为空树 。 若 Ｄ仅含有一个元素 ，则 Ｒ为空集 ，否则 Ｒ Ｈ ，Ｈ是 ＝｛ ｝
软件 开发与设计
Ｄ ｛ ，１ ， ， ｄＩ ≤＂ ＂≥【 】 ｊ
Ｒ ＝｛Ｉ１ ≤＂ ， ｒ Ｊ≤ ７ ≥Ｏ ｌ
（）集 合 指 定 的 结点 ｒ ｑ 树 的根 结 点 。 １ ，做
存储结构则是逻辑结构在计算机存储器 中的映像。 这个定 义与原有定义 的 区别有 两点 。第 一 ，它 明确地说 明了数 据结构是 一组 数据元素及 数据元 素之间相互 关系 的静 态结构 ，是其逻辑结 构和存储结 构的统称 。其 中，描述为一
这 个形 式定义应该 普遍适 用于各 种数据结 构 的定 义 ，包 括线性表 、树 、图 以及广 义表等数据 结构 。在 表示线性 这样 简 单结构甚至 图这样的复杂结 构 ，无论 是形式 定义还是 一个 具体线 性表或者 图 ，都能够很 好地表示 出来 。对 于树这 样 的 具 有递归特性 的数据结构 ，如 果是一个具 体 的树 ，可 以用这
合 Ｒ中 的一 个 关 系 ， ， 原 来 的 定 义 中 通 常 是 采 用 元 素 之 间关 在
２ 对 现有数 据 结构形 式定 义 的分 析
为 什 么 会 出现 前 面 所 述 现 象 呢 ？ 其 基 本 原 因 是 什 么 呢 ？ 下 面从 现有 的 数 据 结 构 形 式 定 义 的 分 析 来 找 出 造 成 这 种 现 象 的 原 因所 在 。
， ７
０ ｊ
列表示：ｒ：｛臼 ｂｃ ）。当需要表示两个元素之间的关系 （ ，， ， ｝
时 ， 自然 就 成 为 有序 偶 或 无 序 偶 。 在 这 个 基 础 上 ，递 归 的 数 据 结 构 的定 义 就 可 以 迎 刃 而 解
了。
｛｝ １ Ｊ≤ ． ≥０ ｒｌ ｍ ）
Ｌｉｅ ｒＬｓ ＝（ Ｒ ｎａ ｉ ｔ Ｄ． ）
用 二 元 组 给 出树 的定 义 ：
ｔｅ ｒ ｅ＝ ｆ １ Ｋ．
Ｋ ＝｛，ｌ ≤ ｔ ０ ∈Ｅｅ ） ｌ ． 。 ７ ， ｌｍＴｐ ｝
其 中 ，” 为树 中 的结 点 数 ，ｎ Ｏ则 为 空 树 ，ｒ Ｏ 为 非 空 ＝ ／ 则
Ｄ ，… ，Ｄ （ ０ ，对任意 Ｊ ２ ｍ ｍ＞ ） ≠ｋ （ ≤ｊｋ ）有 Ｄ ｎＤ １ ， ≤ｍ ｊ ｋ＝
，
且对任 意的 ｉ（ ≤ｉ ） １ ≤ｍ ，唯一存在数据元素 ｘ∈Ｄ ，有＜ ｉ ｉ
（） 对 应 于 Ｄ ｛ ｏ 的 划 分 ， Ｈ一 ｛ｒｏｘ ＞ …， ｒｏ ３ 一 ｒｔ ｏ】 ＜ｏｔ ｌ ， ＜ｏｔ ， ，
Ｍ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ａ ｆｎ ｔｏ ｏ ｃ ｓｖ ｔ ｔ ｕｃ ｕｒ ｓ ｔｅ ｔｃ ｌＤｅ ｉｉ ｎｓｆ ｒ Ｒｅ ｕｒ ｉ ｅ Ｄａ ａ Ｓ ｒ ｔ ｅ ｉ
ＦＵ ｎｇ Ｙｏ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔ ｍａｉ ＆ Ｓ ｓ ｍ ｃｅｃｓ， ｉ ｉ ｇＵｎｖｒ ｔ Ｕｒｍｑ ３ ０ ４ Ｃ ｌｇ ｈ ｔ ｓ ｅ ｏ Ｍａ ｅ ｃ ｙｔ Ｓｉｎｅ Ｘｎ ａ ｉｅｓｙ， ｕ ｉ８ ０４ ） ｅ ｊｎ ｉ
“ ， ＝（ Ｒ） ｃｚ 打 Ｄ，
其 中 ，Ｄ是 一 组 性 质 相 同 的 数 据 元 素 的有 限 集合 ，Ｒ Ｄ 是 上 关 系 的有 限集 合 。 Ｄ和 兄 表 示 为 ： 可
ｒ＝｛ ， ，， ｝ ＜以 ｂＣｄ＞ ，而表示无序序列时用圆括号加元素的序
Ｄ＝｛ ｌ ｃ ｌ
＝
如 下 二 元关 系 ：
然 而 ，一 些 递 归 的数 据 结 构 诸 如 树 型 结 构 、广 义 表 结 构 等 似 乎 很 难 给 出一 个 完 全 用 数 学 语 言 描 述 的 定 义 来 ， 大 多 采
用 的是文字描述 的形 式 ，或者部分 采用数学语 言 ，部 分采用 文字描述 。下 面从参 考文献 中列举 几个典 型的对树 的定义来
数 据结构的形式 定义是对 一组关 联的数 据元素 以及这些 数据元素之 间关 系 的一种逻 辑表示形 式。通 常采用 的是二元 组 的描述形式 ，即数据结构是 由两部分 构成 的 ，其一是 一组 数 据元 素的集合 （ 或称为聚集 可能 更为合适 ） ；其 二是数据元 素 之间的关 系的集 合。数据结构 的逻辑 表示通 常采用如 下 的
ｒｏ， ｉ ＥＨ； ｏ ｔｘ＞
后继 ，没有直接前驱 。 （） 除根以外的其他结 点划分为ｍ （ ２ ｍ≥０ ）个互不相交 的有限集合 ． ， ， 小 每个集合 又是 一棵树 ，并且称之 … 为根 的子树 （ｕ ｅ 。每个子树的根结点有且仅有一个直 ｓｂ ）
接 前 驱 ，但 可 以有 ０个 或 多 个 直 接后 继 。
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ａ ａｙ ｉ ａ ｒ ｕ ｎａ ｉｎ ａ ｏ ｔｃ ｎ ｔ ｕ ｎ ｓ ｏ ａａ ｓ ｕ ｔ ｒ ｎ ｒ ｕ ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｆ ｉ ｏ ｓ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ａ ｅ ｎ ｌｓｓ ｎ ａ ｇ ｍｅ ｔｔ ｂ ｕ ｏ ｓｉ ｅ ｔ ｆｄ ｔ ｔ ｃｕ ｅ ａ ｄ ｗｏ ｋ ｏ ｔｍａｈ ｍａ ｉ ｌ ｅ ｎｔ ｎ ｏ ｔ ｒ ｃ ｉ ｉ
已 经 表 明 了树 定 义 的递 归 特 性 ，但 没 有 直 接 给 出 树 中结 点 之
间 的关 系 。
组数据元 素 ，而不是 一组性质相 同的数据元 素 ，是对这 一部
分泛化 的描述。例如 ，广 义表是一 种数据结 构 ，但是 ，广义 表中的数据元素有原子元素和子表元素两种性质不 同的元 素。 作为形式定 义的数据结构 应该包括这 种情况 。第二 ，它 指出 形式定义 中 Ｄ是数据元素 的聚集 （ｏｌ ｔ ｎ 。聚集的限制要 Ｃ ｌ ｃ ｏ） ｅｉ 更加宽松一些 ，允许聚集 中元素的性质 可 以不 同 ，也允许素 。要 比说 明 为集 合 （ｅ）更 为准确和贴切 一些 。显然 ，集合是 聚集 的特 Ｓｔ 例 。同时 ，Ｄ的表示 采用 的是 圆括号 ，以示 区别 。 ， 是关 系集
的树 ，称 为 根 ｒ ｔ 子 树 。 ｏ 的 ｏ
这是一个完全用文字进行描述的定义 。
参 考 文献 【】除 了 有 类 似 参 考 文 献 【］的 说 明 外 ，对 树 ２ １
这个描述 尝试对树 的关系 的定义给 出一 种数学语 言的描
述。
形结构还给出了如下 的定义 ： 在一棵树 中 ，每个结 点被定 义为它 的每个子树 的根结点 的前驱 ，而它 的每个 子树 的根结点就 成为 它的后继 。由此可
电脑 编 程 技 巧 与维 护
递 归数据结构 的数学定义
付 勇
（ 新疆大学数学与系统科学学院 ，乌鲁木 齐 ８ ０４ ） ３０ ４ 摘 要： 分析 了数 据结构的构成 ，并在此基础上提 出了诸如树型结构和广义表 结构等递 归的数 据结构 的数学定义。 关键词 ： 数据结构 ；数 学定 义；树形结构 ；广义表结构
（ ） 其 余 的 结 点 可 以 划 分 成 ，个 子 集 ， ， ， ， ２ ７ … ≥０ ，其 中每一个子集都是一棵树。 ）
为 方便起见， 用符号 ， ， ， ｝ ＝ …， 来表示树 １ １ ０
该定义 对结点 的集 合给 出了一种非 常简洁 的定义 ，虽然
树。对 于一棵非空树 ，关 系 Ｒ应满 足下列条件。
（） 有 且 仅 有 一个 结 点 没 有 前 驱 ，该结 点 被 称 为 树 的根 。 １
（）除根结点外 ，其余每个结点有且仅有一个前驱结点。 ２ （） 包括 树 根结 点 在 内 的每个 结 点 ，可 以有 任意 多 个 ３
（ ０个 ）后 继 。 含
１ 引 言
在许多数据结构 教材 中 ，对于一些 简单 的数据结构 的逻 辑表示 ，通 常 ，除 了采用 自然语言 的描述外 ，还可 以给出确
切 的 用 数学 语 言 描 述 的 形式 定 义 。 线 性 表 结 构 是 由 一 组 性 质 相 同 的 数 据 元 素 的集 合 Ｄ和 Ｄ 上 二元 关 系 的集 合 Ｒ所 组 成 ，其 形 式 定 义 为 ：
说 明这 种情 况 。
（）在 Ｄ中存 在惟一 的称为根的数据元 素 ｒｏ，它在关 系 １ ｏｔ
Ｈ 下无 前 驱 ； （）若 Ｄ ｛ ｏｌ ≠ ，则 存 在 Ｄ ｛ ｏ ２ 一 ｒｔ ｏ 一 ｒｔ ｏ ｝的一 个 划 分 Ｄ１ ，
例如 ，参考文献 【】对树形结构的定义是 ： １
树 是 由／ （ ≥０ 个结 点组 成 的 有 限 集 合 。 如 果 ｎ ０ ７ ， ７ ） ＝ ，称 为 空树 ；如 果１≥０ ７ ，则 （） 有 一 个 特 定 的 称 之 为 根 （。 ｆ 的结 点 ，它 只有 直 接 １ ，。）
其 中
Ｄ ＝ｉ ｝ Ｉ ≤” ，≥０ ．７ ｛
Ｒ＝ ＜ ．卜 ＞ ｌ ｉ ＂ ， ≥ ｝ ｛ ，，Ｉ ｌ ≤ ～１７ ０ （ ／
上述形式定 义用数学语 言很好地 描述 了线 性表结构 是 由
一
这 是一个对树 的结 点 的集合采用 了数学语 言 ，而关 系采
用 了 文 字描 述 的定 义 。 同 样 ，参 考 文 献 ＩＪ除 了也 有 类 似 参 考 文 献 ［】的 说 明 ３ １ 外 ，在 树 的抽 象 数 据 类 型 定 义 中对 树 形 结 构 还 给 出 了如 下 的
ｘ ｝有惟一存在 的一个划分 Ｈ１ Ｈ ， Ｈｍ （ ＞ ） ｍ＞ ， ２ …， ｍ ０ ，对任 意 ｊ ≠ｋ （ ≤ｊｋ ）有 Ｈ ｎＨ 中，且对任意 的 ｉ（ ≤ｉ ） １ ， ≤ｍ ｊ ｋ＝ １ ≤ｍ ，
Ｈ 是 Ｄ 上 的一个 二元关 系 ， （ ｉ Ｈｉ ｉ ｉ Ｄ ，｛ ｝ ）是一棵 符合本定义
树是一个有 限的、非空的结点集 。
收 稿 日期 ：２ １ －４ １ ０ １０ — １
３ 语． 与 ２ ２ ２ 壤 ∥ １１ ≯０瞄 １
Ｓｎ ＡＥＤＶ ＬＰ ＥＴ Ｎ ＥＩＮ ０ Ｗ Ｒ ＥＥ０Ｍ Ｎ ＤＤＳ Ａ Ｇ
Ｔ ｌ｝ ， ｕ ｕ ｕ… ｕ
它具 有 下 列 性 质 ：
形式定义 ：
Ｄａ ａ ｔ
—
系的序偶 （ 有序 的或无序 的）集来表示 。例如一个有 ａ ，ｄ４ ， ｃ ｂ， 个元 素 的线 性 表 ，通 常表 示 为， ＜“ｂ ， ． ＞ ＜ｃｄ＞ ， ’ ＝： ＞ ＜６ｃ ， 。 ： 在新 的定 义中 ，为 了使 表示更为简 洁 ，采用 元素之 间关 系的 序列 （ 有序的或无序的）来 表示 ，例如表示 ａ ，ｃ ，ｂ ，ｄ ４个 元 素 的 有 序 序 列 时 用 尖 括 号 加 元 素 的 序 列 表 示 ， 如
描述 ：
组数据元素Ｄ组成 ，且元素之 间的线性关 系用刚青确地描述
了 出来 。任 何 一 个 具 体 的 线 性 表 都 可 以 用 上 述 数 学 语 言 加 以
描 述 ，并 且 ，采 用 数 学 语 言 描 述 ，更 为 精 确 全 面 ，不 会 产 生
二义性。
数据对象 Ｄ：Ｄ是具有相同特性 的数据元素的集合 。 数据关 系 Ｒ：若 Ｄ为空集 ，则称为空树 。 若 Ｄ仅含有一个元素 ，则 Ｒ为空集 ，否则 Ｒ Ｈ ，Ｈ是 ＝｛ ｝
软件 开发与设计
Ｄ ｛ ，１ ， ， ｄＩ ≤＂ ＂≥【 】 ｊ
Ｒ ＝｛Ｉ１ ≤＂ ， ｒ Ｊ≤ ７ ≥Ｏ ｌ
（）集 合 指 定 的 结点 ｒ ｑ 树 的根 结 点 。 １ ，做
存储结构则是逻辑结构在计算机存储器 中的映像。 这个定 义与原有定义 的 区别有 两点 。第 一 ，它 明确地说 明了数 据结构是 一组 数据元素及 数据元 素之间相互 关系 的静 态结构 ，是其逻辑结 构和存储结 构的统称 。其 中，描述为一
这 个形 式定义应该 普遍适 用于各 种数据结 构 的定 义 ，包 括线性表 、树 、图 以及广 义表等数据 结构 。在 表示线性 这样 简 单结构甚至 图这样的复杂结 构 ，无论 是形式 定义还是 一个 具体线 性表或者 图 ，都能够很 好地表示 出来 。对 于树这 样 的 具 有递归特性 的数据结构 ，如 果是一个具 体 的树 ，可 以用这
合 Ｒ中 的一 个 关 系 ， ， 原 来 的 定 义 中 通 常 是 采 用 元 素 之 间关 在
２ 对 现有数 据 结构形 式定 义 的分 析
为 什 么 会 出现 前 面 所 述 现 象 呢 ？ 其 基 本 原 因 是 什 么 呢 ？ 下 面从 现有 的 数 据 结 构 形 式 定 义 的 分 析 来 找 出 造 成 这 种 现 象 的 原 因所 在 。