数学概念及其逻辑结构共46页文档
数学推理认识数学中的逻辑推理和证明
数学推理认识数学中的逻辑推理和证明数学推理：认识数学中的逻辑推理和证明数学是一门精确而纯粹的学科，它包含了许多的规则和逻辑。
在数学中，数学推理是一种重要的思维方式，它帮助我们理解、证明和推导数学定理和公式。
本文将介绍数学推理的基本概念和方法，以及如何运用这些推理来进行数学证明。
一、数学推理的基本概念1. 逻辑推理逻辑推理是一种基于逻辑规则的推断过程，它通过一系列的步骤和规则来判断和推导结论。
在数学中，逻辑推理帮助我们从已知条件出发，运用正确的逻辑规则来得出新的结论。
逻辑推理可以分为直接推理和间接推理两种形式。
直接推理是从已知条件直接得出结论，而间接推理则是通过构造反证法或数学归纳法等方法来推导结论。
2. 数学证明数学证明是数学推理的重要应用，它通过一系列的推理步骤来验证数学命题的真实性。
数学证明可以使用不同的方法，比如直接证明、间接证明、数学归纳法等。
其中，直接证明是最常用的证明方法，它通过逻辑推理将定理或命题从已知条件推导到结论。
间接证明则是通过假设反证法，即假设命题不成立，然后运用逻辑推理推导出矛盾来证明命题的真实性。
二、数学推理的方法1. 直接证明直接证明是一种基本且常用的数学证明方法。
它通过运用逻辑推理将已知条件推导到结论。
直接证明的基本步骤包括假设前提、运用逻辑规则和公理进行推导，最后得出结论。
例如，要证明一个三角形是等边三角形，我们可以假设三角形的三条边相等，然后通过运用几何定理和公理进行推导，得出结论。
2. 间接证明间接证明是一种证明某个命题真实性的方法，它通过采用反证法来证明。
具体步骤是假设命题不成立，即假设反命题是真的，然后通过推导和逻辑规则得出矛盾。
例如，要证明一个数是素数，我们可以假设该数是合数，即可以分解为两个较小的数相乘，然后通过运用逻辑规则推导出与假设相矛盾的结论，进而证明该数是素数。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法。
它分为基础步骤和归纳步骤。
数学逻辑知识点总结
数学逻辑知识点总结数学逻辑是数学的一个重要分支，它研究的是数学命题和论证的形式结构。
通过数学逻辑，我们可以建立数学的基础，推导定理，解决问题，拓展数学知识，并且可以应用到现实生活中，如计算机科学、哲学、语言学等方面。
本文将对数学逻辑的基本知识点进行总结，包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论和函数论等。
一、命题逻辑1. 命题：在逻辑学中，命题是能够判断真假的陈述句，如“2+2=4”、“地球是圆的”等。
命题可以用P、Q、R等字母表示。
2. 连词和量词：在命题逻辑中，常用的连词包括合取（∧，表示且）、析取（∨，表示或）、蕴涵（→，表示如果……，那么……）和双条件（↔，表示当且仅当）；常用的量词包括全称量词（∀，表示所有）和存在量词（∃，表示存在）。
3. 逻辑运算：命题逻辑中的逻辑运算是指对命题进行组合，例如通过合取和析取可以得到新的复合命题，通过蕴涵和双条件可以得到含有条件关系的复合命题。
4. 真值表：真值表是一种描述命题逻辑运算的方法，通过真值表可以对不同的命题组合情况进行分类和分析，从而确定命题的真假。
5. 推理规则：在命题逻辑中，有一些常用的推理规则，如假言推理、析取三段论、排中律和矛盾律等，通过这些规则可以根据已知的真假条件得出新的结论。
6. 归结原理：归结原理是命题逻辑的一个重要理论，在归结原理中，通过归结的方法可以判断一个命题是否可满足，从而进行逻辑推理。
二、谓词逻辑1. 谓词：在谓词逻辑中，谓词是一种对对象进行描述的函数，例如“x>y”、“P(x)”等。
谓词可以分为一元谓词、二元谓词等，分别表示一个对象的性质和两个对象之间的关系。
2. 量词和谓词演算：在谓词逻辑中，引入了量词和谓词演算的概念，量词包括全称量词和存在量词，而谓词演算则是一种形式化的逻辑推理方法，通过对谓词的操作和替换，可以得到新的谓词表达式。
3. 谓词逻辑的语义和语法：谓词逻辑是一种复杂的逻辑系统，它包括语义和语法两个方面，通过语义可以理解谓词的含义和推理规则，通过语法可以对谓词进行形式化的描述和分析。
数学的数学逻辑
数学的数学逻辑数学作为一门严密的学科，以其独立的思维方式和严谨的逻辑性而著称。
作为一位数学爱好者，我对数学的数学逻辑产生了浓厚的兴趣。
本文将从数学的逻辑性、数学证明以及数学思维方式三个方面来探讨数学的数学逻辑。
一、数学的逻辑性数学的逻辑性是其独特之处。
数学家通过推理和证明来建立数学定理和公式，这种推理过程严格遵循数学基本法则和逻辑规律。
无论是代数、几何还是概率论，数学在表达问题和解决问题时都遵循着一致的逻辑结构。
与其他学科不同，数学的逻辑性使得它可以建立起严密的理论体系，从而为其他领域提供了有力的支持和指导。
数学的逻辑性还体现在其符号化的表达方式上。
数学家通过符号和公式来表达问题和解决问题，这种符号化的表达方式具有简洁明了、精确无歧义的特点。
例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求解方程的根来得到问题的解。
这种符号化的表达方式不仅有利于问题的解答，还能提高学习者的数学思维能力和逻辑思维能力。
二、数学证明数学证明是数学中最重要的一部分，也是数学的逻辑性得以体现的关键。
数学证明是通过逻辑推理和推导来证明一个数学命题的真实性或者错误性。
数学证明旨在通过推理链条将命题与已知的数学定理相连接，从而建立起一个严密的逻辑框架。
在数学证明中，严谨性和准确性是首要的要求。
一个数学证明必须经过反复推敲和逻辑严格的推导，不能有任何疏漏和矛盾。
同时，数学证明还需要遵循一定的证明结构和证明方法，如数学归纳法、反证法、直接证明等。
通过合理的证明结构和方法，数学家能够有效地解决各种数学难题，为学科发展提供了坚实的基础。
三、数学思维方式数学思维方式是指学习者在数学问题上运用的思考方式和思维模式。
数学思维方式具有抽象性、整体性、逻辑性和创造性等特点。
通过运用数学思维方式，我们能够更好地理解和解决数学问题。
数学思维方式的核心是逻辑推理和抽象思维。
逻辑推理是通过分析问题、归纳总结、演绎推理等方法，从而得出问题的解答。
数学的逻辑关系
数学的逻辑关系数学作为一门学科，是研究数量、结构、变化以及空间等概念与符号之间的关系的科学。
而数学的逻辑关系则是指数学中所运用的逻辑思维和推理方式，用于描述和解释数学概念、定理和证明的关系。
一、基本逻辑关系在数学中，最基本的逻辑关系是命题之间的关系。
命题是可以判断真假的陈述句，在数学中通常用字母表示。
命题之间存在三种基本的逻辑关系：合取、析取和否定。
1.合取关系合取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∧”表示。
当且仅当两个命题同时为真时，合取关系才为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则合取关系p∧q 表示“2是偶数且3是奇数”。
2.析取关系析取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∨”表示。
当至少有一个命题为真时，析取关系就为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则析取关系p∨q 表示“2是偶数或3是奇数”。
3.否定关系否定关系是指将一个命题的真值取反，形成一个新的命题。
用逻辑符号“¬”表示。
例如，命题p为“2是偶数”，则否定关系¬p表示“2不是偶数”。
二、推理和证明中的逻辑关系数学中的推理和证明是建立在逻辑关系的基础上的。
推理是指从已知的命题出发，根据逻辑关系得出新的命题的过程。
而证明则是通过推理过程来验证或证实一个命题是否成立。
1.演绎推理演绎推理是基于已知命题和逻辑关系，通过一系列逻辑推理，得出结论的过程。
它包括三个部分：前提、推理规则和结论。
例如，已知命题p为“所有A都是B”，命题q为“a是A”，则根据演绎推理的规则，可以得出结论“a是B”。
2.归纳推理归纳推理是从具体事例中归结出一般结论的推理方式。
它通过整体的观察，找出事物之间的规律，从而得出结论。
例如，通过观察一系列自然数的奇偶性可发现，所有的偶数都能被2整除。
因此，可以归纳得出结论“所有偶数都能被2整除”。
3.直接证明直接证明是一种以已知命题为前提，通过逻辑推理得出结论的证明方法。
一年级上册数学课本逻辑体系分析
一年级上册数学课本逻辑体系分析在一年级上册数学课本中，逻辑是一个非常重要的概念，因为它是建立数学思维能力的基础。
本文将对该数学课本中的逻辑体系进行分析，旨在帮助学生更好地理解数学中的逻辑概念，提高数学思维能力。
一、命题及命题联结词在课本中，命题是最基本的逻辑概念。
命题是一种陈述，它可以被证明是真或者假。
命题用字母表示，例如 p, q, r。
在课本中，命题联结词包括“非”、“与”、“或”等。
二、逻辑运算及真值表在逻辑中，命题可以进行逻辑运算。
逻辑运算包括否定、合取和析取。
在课本中，可以利用真值表对逻辑运算进行分析。
真值表将所有可能的命题组合下的真假情况列出，从而判断该逻辑运算的真假情况。
三、命题公式及等值式命题公式是将命题联结词和命题联结在一起所形成的复合命题。
等值式则是指两个命题公式具有相同的真值表。
在数学中，命题公式和等值式是非常重要的概念。
四、推理及推理法则推理是指根据已知条件得出未知结论的过程。
在数学中，可以利用推理来解决复杂问题。
在课本中，推理法则包括假言推理、拒取式推理等。
五、二元关系及其运算二元关系是指两个集合之间的关系。
在课本中，集合之间的关系包括子集关系和相等关系。
二元关系的运算包括并、交等。
六、集合及其运算集合是指具有某种特定性质的事物所构成的整体。
在数学中，集合是一个非常重要的概念。
在课本中，集合的运算包括并、交、差等。
以上就是一年级上册数学课本中的逻辑体系分析。
逻辑是数学思维的基础，希望学生们可以通过学习数学课本中的逻辑体系，提高数学思维能力，从而更好地学习数学。
数理逻辑与集合论
数理逻辑与集合论数理逻辑是一个研究符号和符号之间推理关系的数学分支，它被应用于解决问题、证明定理以及分析和构造复杂系统。
而集合论是数学中研究集合、元素和他们之间关系的学科。
本文将介绍数理逻辑与集合论的基本概念、原理和应用。
一、数理逻辑的基本概念数理逻辑包括命题逻辑、一阶逻辑和模态逻辑等。
在命题逻辑中，命题是指可以判断为真或假的陈述；而命题之间的逻辑连接词包括与、或、非等。
一阶逻辑引入了个体变量和谓词，用于表示存在、全称量化等概念。
模态逻辑则探讨了可能性和必然性的概念。
二、集合论的基本概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
集合论中的基本概念包括元素、子集、并集、交集和差集等。
元素是集合中的个体，子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素。
并集是指由所有给定集合中的元素所构成的集合，交集是指同时属于所有给定集合的元素所构成的集合，差集是指属于第一个集合且不属于第二个集合的元素所构成的集合等。
三、数理逻辑与集合论的关系数理逻辑和集合论密切相关。
在数理逻辑中，使用集合论的概念来表示逻辑命题的真值集合。
而集合论则通过命题逻辑中的符号来描述和研究集合之间的关系，例如命题的交集、并集等。
数理逻辑和集合论的结合为我们提供了一种有效的工具来推理、证明和分析数学问题。
四、数理逻辑与集合论的应用数理逻辑和集合论在数学、计算机科学、语义学以及人工智能等领域有广泛的应用。
在数学中，逻辑和集合论为证明定理、研究函数和关系提供了基础。
在计算机科学中，数理逻辑和集合论被用于描述和分析算法的正确性和性能。
在语义学中，逻辑语义和集合论被用于解释自然语言的含义和逻辑结构。
在人工智能中，数理逻辑和集合论为智能推理和知识表示提供了基础。
总结：数理逻辑和集合论是数学中的两个重要分支，它们相互依赖且互为补充。
数理逻辑通过符号和推理关系来研究命题的真值，而集合论则研究集合、元素和它们之间的关系。
这两个学科在数学、计算机科学、语义学和人工智能等领域具有广泛的应用。
数学中的逻辑-概述说明以及解释
数学中的逻辑-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述数学中的逻辑是一个重要的概念，它帮助我们理解数学的本质和逻辑推理的过程。
逻辑是一种思维方式，通过严密的推理和证明来建立数学系统的基础和结构。
数学逻辑性强，严谨性好，具有普遍性和精确性，因此在数学研究和实际应用中起着至关重要的作用。
数学中的逻辑在数学基础理论和高级数学研究中都扮演着重要角色。
在数学基础理论中，逻辑帮助我们建立起数学的公理系统和推理规则，确保数学系统内部的一致性和完整性。
这些规则包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论等，它们为数学提供了一个精确的语言和严密的推导方法。
通过逻辑的引入，我们可以建立符号体系，用符号表示数学对象和关系，通过逻辑语言进行数学推论和证明。
在高级数学研究中，逻辑的重要性更加凸显出来。
高级数学领域的推理和证明经常基于严密的逻辑理论。
逻辑的运用帮助数学家发现问题的本质，构建数学模型，进行假设和证明。
例如，数学分析中的极限理论、代数学中的结构理论、几何学中的公理系统等都是基于逻辑的严密推理。
逻辑推理的严密性使得数学研究结果具有可靠性和可证明性，为数学学科提供了可靠的基础和保证。
数学中的逻辑不仅仅是一种学术上的概念，它在实际应用中也具有重要意义。
逻辑的运用可以帮助我们分析和解决实际问题。
在科学研究和工程技术中，逻辑推理的应用帮助我们理清问题的本质，建立科学模型，预测和解释实验结果。
逻辑思维的训练可以提高我们的分析和推理能力，使我们更好地理解和应用数学。
总之，数学中的逻辑是数学研究和应用的基础，它通过严密的推理和证明建立起数学体系的完整性和一致性。
逻辑在数学研究中起到了不可或缺的作用，帮助数学家发现问题的本质，进行推理和证明。
同时，逻辑在实际应用中也具有重要意义，帮助我们分析和解决实际问题。
深入理解数学中的逻辑将有助于我们更深入地探索数学的奥秘并应用于实践中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指文章整体的组织方式和框架，它可以帮助读者更好地理解文章的内容和逻辑关系。
数学的逻辑与推理从一到无穷大的数学思维
数学的逻辑与推理从一到无穷大的数学思维数学是一门基础学科，它不仅仅局限于计算与应用，更体现了丰富而深邃的逻辑与推理思维。
从一到无穷大，数学中的思维方式和推理方法贯穿了整个数学领域，展现了其独特的魅力和重要性。
一、从基础开始的数学思维数学思维的起源可以追溯至人类最早的数数、计算和分类的能力。
从最基础的数学概念出发，我们可以看到数学思维的直观与抽象结合。
比如，我们可以通过观察和数数来形成直观的数量概念，然后通过抽象和归纳总结来建立数学的基础概念，如自然数、整数、有理数等。
这种思维方式就是从一到无穷大的数学思维的起点。
基于基础概念的建立，数学思维开始从具体的问题解决中升华到一般性的推理和证明。
在数学中，证明是非常重要的一环，可以验证一个命题的真实性以及建立新的数学定理。
通过推理和证明，数学家们能够展示出数学的逻辑和严谨性。
从一到无穷大的数学思维，无一不体现了数学的逻辑与推理。
二、演绎与归纳：数学推理的两大方法在数学中，演绎与归纳是两种常用的推理方法。
演绎是从已知的前提出发，通过逻辑推理得出结论的过程。
演绎推理常采用“如果……那么……”的形式，通过逻辑推理得出新的结论。
比如，在几何学中，我们可以通过已知一些几何定理，来推导出新的结论和定理。
演绎推理在数学中扮演了非常重要的角色，它能够提供一种严密的推理框架，用于建立和验证各种数学定理。
另一方面，归纳推理则是通过观察和总结已知情况，再由特例推广到一般情况的推理方法。
它是从实例中得出普遍规律的过程。
比如，我们观察到前几个自然数的和，发现了规律1+2+3+...+n = n(n+1)/2，然后我们可以通过归纳推理证明这个和式对于所有自然数都成立。
归纳推理直接从实际事例出发，通过总结和归纳建立起普遍的数学结论。
三、数学思维与现实应用数学思维的逻辑与推理不仅仅在学术领域有重要地位，而且在现实生活中也发挥着巨大的作用。
数学是一门极富应用性的学科，几乎渗透到各个领域。
数学的基本原理和概念
数学的基本原理和概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等各种概念和模式的学科。
作为一门学科，数学有其基本原理和概念，这些基本原理和概念是数学研究和应用的根基。
接下来，我们将探讨数学的基本原理和概念，以帮助读者更好地理解数学的本质和应用。
一、基本原理1. 逻辑基础原理：数学建立在精确的逻辑推理基础之上。
逻辑基础原理指的是数学中使用的推理方法和证明技巧，包括假设、推导、归纳和演绎等。
2. 公理系统：公理是数学中的基本假设或事实，它们是没有证明的，但被广泛接受的。
数学的分支学科都建立在一套公理系统之上。
公理系统包括黎曼几何的公理、整数的公理以及布尔代数的公理等。
3. 严谨性原理：数学强调精确性和严密性，任何数学结论必须经过严格的证明和推理。
严谨性原理要求数学家在进行数学推理时必须遵守一定的规则和步骤，以确保推理的正确性。
4. 结构原理：数学研究各种结构和形式，比如集合、数列、函数、映射等。
结构原理指的是通过对这些结构的研究，发现它们的内在规律和性质。
二、基本概念1. 数：数学的基本概念就是数。
数可以表示数量和大小，它可以是自然数、整数、有理数、无理数和复数等。
2. 运算：数学中的运算包括加法、减法、乘法和除法等，这些运算是对数的操作和变换。
3. 关系：数学中的关系包括等于、大于、小于、大于等于、小于等于、相似等。
通过关系可以比较数的大小和性质。
4. 函数：函数是数学中的重要概念，用来描述一种量与另一种量之间的关系。
函数由定义域、值域和对应法则组成。
5. 图形：数学中的图形是用来表示数学概念和关系的，包括点、线、面、曲线以及空间中的各种几何形状。
6. 推理：数学推理是基于已知事实和规则，通过逻辑推理得出结论的过程。
推理包括归纳推理和演绎推理两种形式。
三、基本原理和概念的应用数学的基本原理和概念在各个领域都有广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 统计学：统计学是应用概率理论和数理统计方法来研究和分析数据的学科。
数学的数理逻辑基础
数学的数理逻辑基础数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
而数理逻辑则是数学的基石，它研究的是推理的规则和形式系统的基本结构。
数理逻辑帮助我们理解和应用数学的概念、定理以及推理过程。
本文将探讨数学的数理逻辑基础。
一、命题逻辑命题逻辑是最基本的数理逻辑体系之一，它研究的是命题和命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是陈述或表达某种陈述的句子，可以判断为真或假。
命题逻辑使用符号表示命题，并通过连接词和推理规则描述命题之间的关系。
命题逻辑的连接词包括与（∧），或（∨），非（¬）以及蕴含（→）。
例如，命题p与命题q可以通过连接词“∧”表示为p∧q，表示p和q都为真；通过连接词“∨”表示为p∨q，表示p和q中至少有一个为真；通过连接词“¬”表示为¬p，表示p的否定；通过连接词“→”表示为p→q，表示如果p为真则q也为真。
命题逻辑的推理规则有假言推理、析取三段论、消解规则等。
这些推理规则帮助我们从已知命题推出新的命题，并验证其逻辑的正确性。
二、一阶逻辑一阶逻辑是为描述现实世界中的量化、关系和函数等概念而设计的逻辑系统。
与命题逻辑不同，一阶逻辑不仅仅研究命题的真值，还引入了量词和变量。
一阶逻辑包括命题变项、项、公式、量词和推理规则等概念。
命题变项是用变量表示的命题，项是一种符号串，表示命题变项和常量之间的关系。
公式是由项和逻辑符号组成的陈述，可以判断为真或假。
量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用于描述命题变项的范围。
一阶逻辑的推理规则包括普通推理规则和量词推理规则。
通过这些推理规则，我们可以推导出新的命题，并验证其逻辑的有效性。
三、集合论和公理化数学集合论是数学中的一个重要分支，它通过集合的概念描述了数学对象的集合以及它们之间的关系。
集合论在一定程度上将数学建立在了严谨的逻辑基础之上。
在集合论中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
集合之间的关系可以通过包含关系表示，例如集合A包含于集合B可以表示为A⊆B。
中学数学的逻辑基础知识
第四章中学数学的逻辑基础知识教学目的：通过本章的学习，使学生掌握概念、命题、推理、证明等的特点，了解并掌握在具体的教学过程中学生的心理分析。
教学内容：1、数学概念及其教学。
2、数学命题及其教学。
3、数学推理、证明及其教学。
教学重、难点：中学数学基础知识的教学方法。
教学方法：讲授法教学过程：§1 数学概念及其教学1．1 数学概念1、数学概念的意义客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性．反映事物本质属性的思维形式叫做概念．数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系．反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念．数学概念通常用特有的名称或符号来表示．名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴．概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式．有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个数，因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身．必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不再是本质属性．2、概念的外延与内涵概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”．一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．把这个概念的每一个本质属性都称为这个概念的内涵的一个表现形式式这些本质属性之间是相互等价的，它们的全体构成一个等价类．因此，一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元．一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵．概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0o 到180o 的角，到初中发展为0o 到360o 的角．后来发展成，角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0o 到360o 的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，并且如前面已经说过的，概念的外延和内涵二者是相互确定的．当用集合(){}x x A Φ=表示一个概念的外延时，()x Φ就给出了这个概念的内涵．3、概念间的关系为了弄清数学概念，必须对互相联系着的概念进行比较，即比较它们的外延与内涵，研究相互间的关系．这里介绍中学数学中常见的一些关系，从比较概念的外延入手，并结合分析内涵之间的关系．（1）相容关系如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况：i ）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这两个概念间的A （B ）图4-1关系为同一关系，这两个概念称为同一概念．同一关系可用图4-1表示．之所以提出同一关系，是因为虽然概念的外延完全确定了概念的内涵，但内涵的表现形式可以不同．研究同一关系可以对概念的本质属性有更深刻、更全面的认识，在推理证明中，这些等价的本质属性互相代换，可使问题易于解决．例1 下列各组概念是同一概念：（i ）偶素数；最小的正偶数．（ii ）有理数；形如q / p （p 、q 是整数，p ≠0）的数．（iii ）等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线．ii ）从属关系如果一个概念A 的外延真包含于另一个概念B 的外延，那么称这两个概念之间的关系为从属关系．外延较小的概念A 叫做种概念，外延较大的概念B 叫做属概念．如图4-2所示． 例2 下列各组概念间具有从属关系，前者是种概念，后者是属概念： （i ）有理数；实数．（ii ）一元二次方程；整式方程．（iii ）矩形；平行四边形．种概念和属概念是相对而言的．例如，“平行四边形”这一概念，相对于“矩形”概念来说是属概念，而相对于“四边形”概念来说却是种概念．从内涵方面看，显然种概念具有属概念的一切属性，而两者的本质属性又不相同，所以属概念的本质属性都是种概念的属性，种概念的内涵真包含属概图4-2念的内涵．即是说，具有从属关系的概念之间，就包含的意义上讲，外延愈小，内涵愈多；外延愈大，内涵愈少．反之，内涵愈多，外延愈小；内涵愈少，外延愈大．这称为外延与内涵的反变关系．例如：需要指出的是，如果在给定的一个概念的基础上，增多内涵或缩小外延，就得到原概念的一个种概念；减少内涵或扩大外延，就得到原概念的一个属概念．在数学中，为了对某一个概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，在平行四边形的内涵中增加“有一个角为直角”这一性质，就成为矩形的内涵了；同时，就从平行四边形的外延缩小到了矩形的外延．在相反的情况，为了从特殊概念来认识一般概念，而把某一概念的内涵逐步减少，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫概念的概括．例如，与上面的例子相反的过程就是概念的概括．再如，从二次根式到n次根式，从（平面）四边形到空间四边形，都是概念的概括．iii）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交叉关系，这两个概念叫交叉概念．如图4-3所示．例3 下列各组概念是交叉概念：（i）正数；整数．（ii）等腰三角形；直角三角形．A图4-3B（iii ）矩形；菱形．两个交叉概念的外延重合部分所反映的对象，同时具有这两个概念的一切属性．另一方面，由这个外延的重合部分就给出了另一个概念，它相对于原来的两个概念来说都是种概念．如例3中的交叉概念“正数”和“整数”，其外延重合部分是正整数概念的外延，正整数同时包含了正数和整数的一切属性．交叉概念“矩形”和“菱形”，其外延重合部分是正方形的外延，正方形概念同时是矩形和菱形的种概念，它的内涵同时包含了矩形和菱形的内涵．（2）不相容关系如果两个概念的外延没有任何部分重合，即它们的交集是空集，那么称这两个概念间的关系为不相容关系或全异关系．不相容关系可分为下列两种情况．i ）对立关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们的外延的交集是空集，而外延的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念叫对立概念．（如图4-4如示）．例4 下列各组概念是对立概念：（i ）正有理数；负有理数（相对于属概念“有理数”而言）．（ii ）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念“梯形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“代数方程”而言）．对立概念虽然都具有给定属概念的属性，但是它们是相互排斥的，所反映的对象没有一个是相同的；另一方面，在给定的属概念所反映的对象中存在着图4-4不属于两个概念中任何的一个对象，即是有非此非彼的对象．如例4的（iii ）中，无理方程即非整式方程又非分式方程．ii ）矛盾关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们外延的交集为空集，而外延的并集等于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为矛盾关系，这两个概念称为矛盾概念．如图4-5所示．例5 下列各组概念是矛盾概念：（i ）零；非零整数（相对于属概念“整数”而言）．（ii ）不等边三角形；等腰三角形（相对于属概念“三角形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）．矛盾概念也都具有给定属概念的属性，又是互相排斥的．同时，给定的属概念所反映的任一对象，对这两个种概念来说，有非此即彼的关系．如例5的（ii ）中，任一个三角形，或是不等边三角形，或是等腰三角形，二者只有其一，同时二者必居其一．值得注意的是，如果说明两个概念是不相容概念，只要直接去比较二者的外延；但如果要进一步说明，是对立概念还是矛盾概念，则一定要相对于它们的一个给定的共同的属概念才能讨论．例如“正整数”和“负整数”两个概念，相对于属概念“整数”来说是对立概念，而相对于属概念“非零整数”来说，则是矛盾概念．概念的不相容关系在数学证明的反证法、穷举法中有所应用．任何两个联系着的可比较的概念之间必具有相容关系和不相容关系中的一 A B图4-5种．进而分析，必具有同一关系、从属关系、交叉关系、对立关系、矛盾关系之一种．具有全异关系的两个概念未必是对立关系、矛盾关系，但具有对立关系、矛盾关系的两个概念必是全异关系．对具相容关系的两个概念亦可作类似分析．4、概念的定义（1）概念的定义定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．下定义的方式，可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义，也可以是通过揭示概念的外延来给出定义，这是因为概念的外延完全确定了它的内涵．对于用前一类办法定义的概念，定义中揭示的这个概念所反映的对象的本质属性，称为基本本质属性，也称为这个概念的基本内涵．当要求说出一个概念的内涵时，通常只要说出它的基本内涵．一个概念，其对象的所有属性都可以由定义推出．由于和本质属性等价的属性也是本质属性，所以一个概念，其反映的对象的本质属性常常不止一个，由它的任意一个本质属性都可以得到这个概念的一个等价定义．例如，平行四边形的定义为：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”定义中直接揭示的“两组对边分别平行的四边形”就是平行四边形概念的基本内涵．而与之等价的，“两组对边分别相等的四边形”，“一组对边平行且相等的四边形”，“两组对角分别相等的四边形”，“对角线互相平分的四边形”等，都是平行四边形的本质属性，由其中任一个都可得到平行四边形的一个等价定义．不过，中学数学教学中，一般不提等价定义．概念的定义是一种约定，因此，任何定义都不能证明它是否正确，但是它应当选择得合理．在教学过程中，向学生说明一个概念定义的理由是有益的．（2）原始概念在数学中总是力求对数学概念下定义，就是说用一些已知的概念来定义新概念，这样就构成了一个概念的体系，但是数学概念的个数是有限的，所以在这个概念的体系中总有一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．在中学数学里，对原始概念采用直观描述的办法．如拉紧的线、纸的折痕给我们以直线的形象，平静的水面给我们以平面的形象．又如中学数学里对集合所作的描述，只是使用一些同义语让学生意会，不是集合的定义．再如“0，1，2，3，……叫自然数”，这是直观说明的方法，不是自然数的定义，这些概念都是不定义的概念．在数学科学中，对原始概念可用公理来间接定义．如点、直线、平面的概念，由希尔伯特公理系统间接给出，它们除了满足公理系统外，不需要再给出任何其它意义．自然数（序数理论）由皮亚诺公理、集合也由公理化方法来间接定义，等等．前面说过，对概念逐步进行概括，就可得到一系列具有从属关系的概念．不过，这个过程只能进行有限个步骤，就必然归结为原始概念．如图4-6所示，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边菱形平行四边形四边形多边形正方形点集—几何图形形是特殊的四边形，四边形是特殊的多边形，多边形是特殊的几何图形，几何图形是点集．这样，就追溯到了原始概念：点和集合．（3）常用的定义方法i）属概念加种差定义法我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法．种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵．注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些．属概念加种差定义法使概念间的关系很明了，有助于概念的系统化．ii)发生式定义法不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．iii) 关系定义法是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性．例如，偶数的定义：能被２整除的整数叫做偶数．这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与２的一种关系．iv)外延定义法有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．v）递归定义法例如用递推公式a n=a n-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．（4）定义的规则i）定义必须是相称的我们知道，常常是先形成概念，再用下定义这样的逻辑方法来明确和建立概念．因此，下定义时，必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．另外，学生学习、理解、掌握定义，必须与人们已经建立的概念、已经下的定义相一致，或者说相称．因为，定义虽然是一种约定，任何定义谈不上证明是否正确，但是，一经约定，就不能再下与此不一致的“定义”了，不能随便把与数学中已建立的概念不相一致的东西作为这个概念的“定义”．例如，不能把“两条不相交的直线”当作平行线的定义，因为在空间，不相交的直线还有异面直线的情形．应该是“在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线”．又如，不能把“无理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2、sin1o等等．ii）不能循环定义如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．iii）一般不用否定形式作定义定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．iv）定义中应没有多余的条件定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．5、概念的划分（1）概念划分的意义把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分．在数学中常用划分把概念系统化．例如，对复数可作如下的分类：（2）划分的基本要求正确的划分应符合下列条件：i）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．例如，把“平行四边形”作如下“划分”是错误的．平行四边形矩形菱形正方形非纯虚数a+bi （a≠0）因为“矩形”和“菱形”的外延有重合部分，就是“正方形”的外延．又如，把“三角形”作如下“划分”也是错误的．因为等边三角形是特殊的等腰三角形．ii ）划分应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．例如，把“三角形”作如下“划分”是错误的．漏掉了“只有两边相等的三角形”，“不等边”并非是对“等边”的否定，而是“三边都不相等”．iii ）每次划分都应按照同一个标准进行． 在一次划分中用不同的根据就造成了混乱．例如，在对三角形进行“划分”时，如果分出的种概念中，既有等边三角形，同时又有“直角三角形”，就是不正确的．iv ）划分不应越级应把属概念分为最邻近的种概念．例如，把“实数”分为“有理数”和“无理数”两类是正确的．如果把“实数”分为“整数”、“分数”和“无理数”就越级了．越级分类会把概念的系统搞乱．三角形不等边三角形等腰三角形 等边三角形三角形不等边三角形 等边三角形（3）二分法二分法是一种常用的划分方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类．换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念．例如，把“实数”分为“负实数”和“非负实数”，就是用的二分法．二分法，集中注意了概念的某个属性，而且自然满足了上面关于正确分类的前三个条件，因此常常被采用．§2 数学命题2．1 数学命题的意义和结构一、判断的意义和种类产生概念之后，人们就要运用已有的概念对客观事物进行肯定或否定．对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明．判断，按思维对象的量分类，有全称判断、特称判断、单称判断；按质来分，有肯定判断、否定判断．二、数学命题的意义关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题．在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题．由于判断有真假，所以数学命题也就有真命题和假命题之分．命题的“真”和“假”，称为命题的真值，我们分别用1和0表示．一个命题要么真，要么假，二者必居其一．形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系．在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．例如，“2+3=5”，“线段AB的长为10cm”，“三角形ABC是等腰三角形”等，都是数学命题．在数学中，弄清以下四种常用命题形式及相互关系是重要的：（1）全称肯定命题，通常用A表示．它的逻辑形式为“所有的S是P”，可记为“SAP”．（2）全称否定命题，通常用E表示．它的逻辑形式为“所有的S都不是P”，可记为“SEP”．（3）特称肯定命题．通常用I表示．它的逻辑形式为“有的S是P”，可记为“SIP”．（4）特称否定命题．通常用O表示．它的逻辑形式为“有的S不是P”，可记为“SOP”．此外，还有单称肯定命题，如＂π是无理数＂；单称否定命题，如＂3.1416不是无理数”.以上四种命题形式中，S叫做命题的主项（或称主词），表示命题的对象；“所有的”或“有的”，表示主项的数量，叫做量项（或称量词）；（需要注意的是，全称命题中的量词“所有的”常常省略不写）．P叫做谓项（或称宾词），表示性质；“是”或“不是”称为联项（或联结词），表示肯定或否定．我们来看对于有相同主项、谓项的这四种命题之间，其真假有什么联系．。
中小学数学的逻辑基础
中小学数学的逻辑基础概念一、什么是数学概念概念是指反映事物的本质属性和特征的思维形式。
比如，圆是一类事物，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质属性，而圆的概念就是这一本质属性的反映。
客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性。
事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，属性不同的事物就形成不同的类。
正确概念是科学抽象的结果。
人们在实践活动中接受客观事物的各种各样的信息，形成观念，从而获得感性认识，在此基础上运用比较、分析、综合、抽象和概括等方法，去粗取精，舍掉事物的一些次要方面，保留了事物的本质属性，抽象出一类物事所具有而其它类事物所不具有的那些属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性和特征的各种各样的概念。
现实世界的空间形式和数量关系是数学的特定研究对象，数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。
例如，人们对太阳、满月等现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识，初步形成了关于圆的观念，在实践活动中，通过制造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识了圆的本质属性，最后形成圆的概念。
在数学中，每一个概念通常都用一个特有的名称或符号来表示，例如，O表示以点O为圆心的圆，又如两个三角形全等用≌来表示。
数学概念的产生与发展途径是多方面的。
有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的。
例如，几何中的三角形、梯形等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的。
又如，自然数概念是从绳子的条数，或其它单位事物集合元素的个数，或者从事物排列的次序抽象概括得来的。
另外，有的数学概念是经过人们的加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的。
例如，直线这个概念所反映的“直”和“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的。
还有些数学概念是从数学内部的需要中产生出来的。
例如，无理数，它是在运用勾股定理计算以1和1为两条直角边的直角三角形斜边长时而得到的，由此引发了无理数的诞生。
探究数学推理的数学逻辑讲解
探究数学推理的数学逻辑讲解数学推理是指通过逻辑推理方法来解决数学问题的过程。
在数学学科中，数学推理是非常重要的一环，它涉及到对数学问题的认识、理解、分析和解决。
而数学逻辑则是数学推理的基础，它是用来描述和分析数学推理过程的一种形式系统。
本次讲解将围绕数学推理的数学逻辑展开。
一、数学逻辑基础首先，我们来了解一下数学逻辑的基础知识。
在数学逻辑中，有三个基本概念：命题、推理和证明。
1. 命题命题是陈述句，它要么是真，要么是假。
在数学中，命题一般用符号P、Q等表示。
命题有两种基本形式：简单命题和复合命题。
- 简单命题是不能再分解的命题，它只有一个基本的陈述，例如：“2是偶数”、“3是质数”。
- 复合命题由两个或多个简单命题组合而成，通过逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”等）进行连接，例如：“若A，则B”、“A与B”。
2. 推理推理是基于已知事实或命题，根据逻辑关系得出结论的过程。
数学推理可以分为直观推理和严格推理。
- 直观推理是基于直觉和经验进行的推理，它不涉及形式化的逻辑推理，而是依赖于直觉和经验的观察。
- 严格推理是通过逻辑规则进行的推理，它严格遵循数学逻辑的规则和原则，确保推理过程的准确性和可靠性。
3. 证明证明是为了证实一个陈述的真实性而进行的过程。
在数学中，证明通常采用了演绎推理法。
数学证明包括直接证明、间接证明等形式。
- 直接证明：通过逻辑推理，从已知条件出发，通过一系列推理步骤，得出所要证明的结论。
- 间接证明：通过逻辑推理，假设所要证明的结论不成立，然后通过一系列推理步骤，导出与已知条件矛盾的结论，从而证明所要证明的结论是正确的。
二、数学推理的数学逻辑应用了解了数学逻辑的基础知识后，我们可以将其应用于数学推理中，以解决一些复杂的数学问题。
以下是一些常见的数学推理方法和技巧：1. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，常用于证明关于自然数的命题。
它基于两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
- 基础步骤：证明当n取某个特定值时，命题成立。
数学中的逻辑与表达
第二章数学中的逻辑与表达逻辑把数学材料组织成一个科学的系统，使数学成为刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
事实上，任何一部数学理论都是由一套概念、命题和命题的推理证明所组成，数学是建立在逻辑基础上，借助于逻辑的基本形式、推理规则和推理方法使数学成为一门独立的学科。
义务教育和普通高中《数学课程标准》（实验稿）都强调中学数学教材内容的编排和呈现要突出知识的形成（发生发展）过程。
因此，中学数学离不开概念、命题、推理和证明。
在《数学课程标准》（实验稿）中明确规定了与逻辑思维、表达的有关培养目标，本章主要论述中学数学中的逻辑基础知识、数学语言、数学文化等。
第一节逻辑学简析逻辑学是研究人类思维形式、思维规律、思维方法的科学。
逻辑学的历史十分悠久，发展至今已有越来越多的学科分支，一般认为其主要学科包括形式逻辑、数理逻辑和辩证逻辑，它们分别从不同的角度研究思维问题。
形式逻辑是研究思维的形式结构及其内在规律和基本方法，这是人类思维的初步规律。
数理逻辑是应用数学方法研究逻辑问题，从各种演算和基本概念出发，可推出定理、性质，再由此推出新的定理、性质，使得逻辑的表达精确化、形式化。
辩证逻辑是用辩证观点研究思维的形式结构及其规律，这是人类高级的思维规律。
形式逻辑的知识对于教育工作者理解数学教材的结构和内容有重要的意思，因此在此对形式逻辑的知识作初步介绍。
形式逻辑的基本内容是思维的形式、思维的规则和思维的方法。
一．思维所谓思维，是人类所特有的一种高级心理活动，是人脑反映客观事物及其相互关系的一种过程，是认识发展的一个新阶段。
例如，某人清晨起来，看见外面屋顶湿了，道路也湿了，树木的叶子也都湿了（这是人脑对客观事物的感性认识），他马上会想到：昨天夜里又下过雨了（这是理性认识的过程）！尽管这个人不是直接知觉到雨，但他知道“雨”和“屋顶道路等的变湿”有着因果关系，所以作出“昨晚下雨”这个论断，这一思考过程就是思维。
也就是说，人们在实践中得到的感性认识，积累多了，就要用脑子来想一想，整理一下所得的材料（注：喻平等编著《数学教育学导引》，广西师范大学出版社，1998年3月第1版，第46页）。
数学概念及其教学PPT课件
对于“矩形”这个概念，如果增加“有一组邻边相等”这个性质后，就成 为外延缩小的概念——正方形；在矩形内涵中减少“有一个角是直角”的属性， 就得到外延扩大的概念——平行四边形.
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概念的限定和概括是明确 概念内涵和外延的逻辑方法， 即给概念下定义.
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二、概念间的关系
2）概念的内涵和外延既是统一的又是互相联 系、互相制约的，在一定的条件下，概念的内 涵和外延是互相确定的.
3）概念的内涵和外延之间还表现在发展中的反 变关系即：概念的内涵越多，则外延越小；概 念的内涵越少，则外延越大.
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举例： 在自然数系中，“偶数”概念的内涵和外延分别是什么？ “平行四边形”的内涵和外延分别是什么？
1、通过与原有概念类比引入新概念。例如类比分 数概念引入分式概念。
2、通过对已有概念的限定或概括引入新概念。例 如，通过对平行四边形的限定，可以引入矩形、菱形、 正方形等概念。
3、通过运算间的关系引入新概念。例如，对数的 概念，可以由指数的运算的逆运算引入等。
4、通过揭示事物发生的过程引入新概念。例如。 几何中的平角、周角、圆、椭圆、双曲线、抛物线等， 都可以通过演示直观教具或演示图画说明的方法引入， 具有生动、直观、形象的教学效果。
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2.概念的内涵和外延
概念的内涵（内包）——概念所反映 的这类事物的共同的本质属性，即确 定的涵义，是对概念的质的规定； 概念的外延（外包）——概念所反映 的这类事物的全体，即确定的对象范 围，是对概念的量的描述.
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注：
1）概念的内涵和外延分别指一个概念“是什 么样的？”和“是指哪些对象？”
规则2 划分要用同一的标准.