人教版高中数学必修4综合质量评估

综合质量评估

第一至第三章

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(2013·菏泽高一检测)cos的值是( )

A. B.- C. D.-

2.已知扇形的圆心角为π弧度，半径为2，则扇形的面积是( )

A.π

B.

C.2π

D.π

3.已知sinα-cosα=，α∈(0，π)，则tanα= ( )

A.-1

B.-

C.

D.1

4.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是

( )

A.π，1

B.π，2

C.2π，1

D.2π，2

5.(2012·安徽高考)在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针旋转后得向量，则点Q的坐标是( ) A.(-7，-) B.(-7，)

C.(-4，-2)

D.(-4，2)

6.在△ABC中，=a，=b，且=，则= ( )

A.a-b

B.a+b

C.a-b

D.a+b

7.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有( )

A.c

B.a

C.a

D.b

8.(2012·新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=

sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ= ( )

A. B. C. D.

9.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是( )

A.a∥b

B.a⊥b

C.|a|=|b|

D.a+b=a-b

10.如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有( )

A.ω=，A=3

B.ω=，A=5

C.ω=，A=5

D.ω=，A=3

11.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是

( )

12.若向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，则△P1P2P3的形状是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.不能确定

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)

13.f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示，则f(x)= .

14.(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为，·的最大值为.

15.(2013·四川高考)设sin2α=-sinα，α∈，则tan2α的值是.

16.关于下列结论：

①函数y=tanx在第一象限是增函数；

②函数f(x)=cos 2是偶函数；

③函数y=4sin的一个对称中心是；

④函数y=sin在闭区间上是增函数.

写出所有正确的结论的序号：.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(-3，4).

(1)求向量的坐标及||.

(2)求向量与的夹角的余弦值.

18.(12分)(2013·辽宁高考)设向量a=(sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，x∈.

(1)若|a|=|b|，求x的值.

(2)设函数f(x)=a·b，求f(x)的最大值.

19.(12分)(2013·天水高一检测)已知a=(6，2)，b=(-3，k)，当k 为何值时，

(1)a∥b？

(2)a⊥b？

(3)a与b的夹角为钝角？

20.(12分)已知函数f(x)=sin+sin+cos 2x+4.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.

(2)已知f(α)=5，求tanα的值.

21.(12分)如图，矩形ABCD的长AD=2，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限.求OB2的最大值.

22.(12分)(能力挑战题)已知向量m=，n=，设函数f(x)=m·n.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)求函数f(x)，x∈[-π，π]的单调递增区间.

(3)设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围.

答案解析

1.【解析】选B.cos=cos=cos=cos=-.

2.【解析】选D.由S扇形=|α|R2，可得S扇形=×π×22=π.

3.【解析】选A.将等式sinα-cosα=两边平方，

得到2sinαcosα=-1，整理得1+2sinαcosα=0，即

sin2α+cos2α+2sinαcosα=0，

得(sinα+cosα)2=0，

所以sinα+cosα=0，

又sinα-cosα=，

故tanα==-1.

4.【解题指南】先利用公式把函数f(x)转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求解.

【解析】选A. f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin，所以A=1，T=π.

5.【解析】选A.将向量=(6，8)按逆时针旋转后得=(8，-6)，则=-(+)=(-7，-).

6.【解析】选B.因为=a，=b，

且=，

所以=+=a+

=a+(-)=a+(b-a)=a+b.

7.【解析】选C.由已知可得a=sin24°，b=sin 26°，c=sin 25°，所以a

8.【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定ω的值，将其中一条对称轴方程代入函数f(x)的解析式，求得φ值.

【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π，故ω=1，所以f(x)=sin(x+φ)，

令x+φ=kπ+，将x=代入可得φ=kπ+，

因为0<φ<π，所以φ=.

9.【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.

【解析】选B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b.

10.【解析】选A.由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转rad，所以ω=；又水轮上的最高点距离水面r+2=5(米)，所以y的最大值A+2=5，A=3.

11.【解析】选A.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=cosx+1的图象，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数解析式是y=cos(x+1)，此函数图象是A.

12.【解析】选 C.由++=0，知O为三角形的重心，由||=||=||=1，知O为三角形的外心，所以此三角形为等边三角形.

13.【解析】由题干图知A==2，=-，所以T=2，所以ω=π，当x=时，有π+φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，故解得φ=.故函数解析式为f(x)=

2sin(πx+).

答案：f(x)=2sin(πx+)

14.【解题指南】可利用图形中的直角关系建系用坐标计算.也可以适当选取基向量进行计算.

【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，

设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，=(t，-1)，=(0，-1)，=(1，0)，所以·=1，·=t≤1.

方法二：选取{，}作为基向量，

设=t，0≤t≤1，

则·=(t-)·(-)

=-t·+2=0+1=1，

·=(t-)·=t≤1.

答案：1 1

15.【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.

【解析】根据题意sin2α=-sinα，可得2sinαcosα=-sinα，可得cosα=-，tanα=-，所以tan2α===.

答案：

16.【解析】函数y=tanx在(k∈Z)上是增函数，不能说在第一象限是增函数，故①错.

因为f(-x)=cos 2≠cos 2，

故不是偶函数，故②错误.

对于函数y=4sin，

当2x-=kπ(k∈Z)，

即x=+(k∈Z)，

当k=0时，得到x=，

故是该函数的一个对称中心，③正确.

函数y=sin在上是增函数，在上是减函数，故④错误. 答案：③

17.【解析】(1)因为A(1，2)，B(-3，4)，

所以=-=(-3，4)-(1，2)=(-4，2).

所以||==2.

(2)设与的夹角为θ.

因为·=5，||=，||=5，

所以cosθ===.

18.【解析】(1)由a=(sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，得|a|2=(sinx)2+

(sinx)2=4sin2x，

|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.

又因为|a|=|b|，所以4sin2x=1.

又x∈，所以sinx=，x=.

(2)函数f(x)=a·b=(sinx，sinx)·(cosx，sinx)

=sinxcosx+sin2x

=×2sinxcosx+

=sin2x-cos2x+

=cos sin2x-sin cos2x+

=sin2xcos-cos2xsin+

=sin+.

因为x∈，所以-≤2x-≤，

故-≤sin≤1，0≤sin+≤，

即f(x)的最大值为.

19.【解析】(1)当a∥b时，6k-2×(-3)=0，解得k=-1.

(2)当a⊥b时，a·b=0，即6×(-3)+2k=0，得k=9.

(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ=<0且≠-1，得k<9且k≠-1.

20.【解析】(1)f(x)=2sin 2xcos+cos 2x+4

=sin 2x+cos 2x+4=2sin+4.

所以函数f(x)的最小正周期T==π，最大值为6.

(2)由f(α)=5，得sin 2α+cos 2α=1，

即sin 2α=1-cos 2α，

即2sinαcosα=2sin2α，

所以sinα=0或tanα=，

所以tanα=0或tanα=.

21.【解题指南】设∠OAD=θ，求出B点的坐标，建立OB2关于θ的函数，求最大值.

【解析】过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，

OA=2cosθ，

BH=sin=cosθ，AH=cos=sinθ，

所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)，

OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ

=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.

由0<θ<，知<2θ+<，

所以当θ=时，OB2取得最大值7+4.

22.【解析】

(1)f(x)=m·n=4sin xcos x+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.

(2)由(1)，知f(x)=4sin，x∈[-π，π]，

所以x+∈，

由-≤x+≤，解得-≤x≤，

所以函数f(x)的单调递增区间为.

(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点讨论如下：

当k>4或k<-4时，h(x)无零点，n=0；

当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，n=1；

当-4

当k=-2时，h(x)有三个零点，n=3.

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