第四章 正规矩阵与矩阵的分解

第一节 正规矩阵

【Schur 三角化定理】设n n

A ⨯∈

，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一

个上三角矩阵.

【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.

1H H H n U U UU E U U -==⇔=

性质：设有矩阵A ，B ，则

（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；

（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；

（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；

（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.

*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=

A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =

***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD U

U D DU U DU U DU A A ======

【定义4.1.1】设n n

A ⨯∈

，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.

【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n n

A ⨯∈

，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.

【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.

【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）

221

,1||||n n

i

i j

i i j a

λ==≤∑∑

（2）A 为正规矩阵⇔2

21

,1

||||

n

n

i i j i i j a λ===∑∑

（3）*

2,,1

tr()||n

i j

i j AA a

==

∑

【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.

【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵

a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭

为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得

12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕

其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.

（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得

120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕

其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；

（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得

12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕

其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.

（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；

（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；

（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.

第二节 正规矩阵的谱分解

设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.

因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则

12*

1*2

12***

*

111222

(,,

,)n n n n n n

A αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪= ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

=+++ （4.2.1）

由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，

故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。

若把式（4.2.1）中系数相同的放在一起（0特征值对应的项去掉），然后把系数提出来，则公式（4.2.1）就变成

11

22s s A P P P λλλ=+++，

其中12,,,s λλλ为A 的互不相同的非零特征值，由于

***(),1,i i i i i n αααα=≤≤ **()()0,1,i j i j

i j n αααα=≤≠≤ *2*(),1,i i i i i n αααα=≤≤

所以

*2,,0,1.i i i i i j

P P P P PP i j s ===≤≠≤ 由幂等矩阵与投影变换的对应关系可知，i P 是某正交投影变换（在某基下）的矩阵，故常称为正交投影矩阵。