复变函数第3章

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F ( z z ) F ( z ) 即 lim f ( z ) 也就是F'(z)=f(z) z 0 z
定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(z)， 则称(z)为f(z)在D内的原函数或不定积分. 变上限函数 F ( z ) f ( )d 为f(z)的一个原函数.
1 2 1
(2) C = C1 + C2 C1的参数方程为：z = t, t 从0到1; C2的参数方程为：z=1+it, t 从0到1.

C
z 2 dz z 2 dz z 2 dz
C1 1 C2
x t dt (1 it ) d(1 it ) 0 0 3
2 z 例3.1 分别沿下列路径计算积分 C dz 和来自CIm zdz :
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解：(1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1.

C
z dz [(1 i )t ]2 d((1 i )t )
例 证明： |z 1|2
z 1 dz 8 . z 1
证：由积分不等式，有

| z 1| 2
z 1 z 1 dz ds | z 1| 2 z 1 z 1 | ( z 1) 2 | ds | z 1| 2 2 | z 1| 2 ds | z 1| 2 2 22 ds | z 1| 2 2 2
2 1 2 3 1
3 1
0
(1 t 2 i2t )idt
0
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0

C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2

C
C
f ( z )dz f ( z )dz.
C
性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则
[ f ( z) g ( z)]dz
其中,为任意常数.
C
f ( z )dz g ( z)dz,
C
性质3.3（积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可 积，曲线C由曲线段, 依次首尾相接而成，则
解：取C1为连结点0到点2的直线段， 因为sin z在复平面上解析， 由推论3.2可得，
sin zdz
c
c1
sin zdz sin xdx 1 cos 2.
0
2
2. 原函数（积分方法三） 若f(z)在单连通区域D内解析，则沿D内任一曲线 C的积分 C f ( z )dz 只与其起点和终点有关. 因此, 当起点z0固定时，让终点z在区域D内变动, 此积 分就定义了D上的一个单值函数
推论3.1 设C为z平面上的一条围线，它围成单连通域 D，若函数f(z)在D内解析，在C上连续，则

C
f ( z )dz 0.
推论3.2 设函数f(z)在单连通域D内解析, 则f(z)在D内积 分与路径无关. 即积分 与终点z1的曲线C, 而只与z0、z1的位置有关. 证： 设C1和C2为D内连接z0 与z1的任 意两条曲线，C = C1¯+ C2.
C
其中 ds dz dx2 dy 2 , 为曲线C的弧微分. 证：记sk为zk-1与zk之间的弧长
n n n
f ( )z
k 1 k
n
k
f (k ) zk | f (k ) | sk .
k 1 k 1
0 两端取极限

C
f ( z )dz | f ( z ) | ds.
例3.3 计算积分 I C
r为半径的正向圆周，n为整数.
2 dz irei I d n 1 n 1 i( n 1) C (z z ) 0 r e 0
1 dz，其中C为以z0为中心， n 1 ( z z0 )
解：曲线C的方程为：z = z0+rei (0 2π)
§3.1 复变函数积分的概念
1.复变函数积分的定义 向曲线C：设平面上光滑或分段光滑曲线 C 的两个端 点为A和B. C 有两个可能方向：从点 A 到 点 B 和从点B到点 A. 若规定其中一个方向 (例如从点 A 到点 B 的方向)为正方向，则 称 C 为有向曲线，此时称点 A 为曲线 C 的起点，点 B 为曲线 C 的终点. 从终点B到起点A的方向则称为C的负方向, 记作C. C
f (
k 1 n k 1
n
k
)zk [u ( k ,k ) iv( k ,k )](xk iyk )
k 1 n k 1
n
[u ( k ,k )xk v( k ,k )yk ] i[v( k ,k )xk u( k ,k )yk ].
C可积，并称这个极限值为函数 f(z)沿曲线 n C的积分，记作 C f ( z )dz lim k 1 f (k )zk ,
0
其中 f(z)称为被积函数，f(z)dz 称为被积表达式.
若C为围线，则f(z)沿曲线C的积分也记作

C
f ( z )dz
2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
§3.2 柯西-古萨定理及其推广
1.柯西-古萨定理 （积分方法二） 定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数，C是D内任一围线，则

C
f ( z )dz 0.
★定理3.2中的围线C也可以是任一闭曲线，即由有 限多条简单闭曲线衔接而成的。

2
0
i i d n n in r e r
2

2
0
ein d .
当n=0时, I i 0 d 2 i; i 2 当n≠0时，I n 0 (cos n i sin n )d 0. r
2πi, n 0; dz n 1 ( z z0 ) 0, n 0. C
已知f(z) 沿C连续，所以u、v都沿C连续，于是这两 个第二类曲线积分都存在. 因此积分存在，且

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy.
C C
（积分方法一）参数方程法 设C为光滑或分段光滑曲线，其参数方程为 z(t)=x(t)+iy(t) (a t b), 曲线C的起点z(a)，终点z(b).

C
f ( z )dz 不依赖于连接起点z0

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
C1 C2
C1
C2

C1
f ( z )dz f ( z )dz
C2
例1 计算积分 C sin zdz, 其中积分路径C为连结点0到点2 的圆周|z−1|=1的上半周.
1 1
例3.2 计算积分

C
域的正向边界.
z dz , 其中C为图3.2所示半圆环区 z
解 积分路径可分为四段： C1：z = t ， -2 t -1; C2：z = ei , 从 到0; C3：z = t ， 1 t 2; C4：z =2ei , 从0到.

C
z z z z z dz dz dz dz dz C C C C 1 z 2 z 3 z 4 z z i i 1 t 0 e 2t 2e i dt i iei d dt 2 ie d i 2 t e 2 t 0 2e 2 4 4 1 1 . 3 3 3
2) 求和 在每个小弧段
并作和式 Sn f (k )zk , 其中 zk zk zk 1
k 1
n
(k=1,2,…,n)上任取一点k,
Sn , 其中为n个小弧段长度中的最大值. 3) 取极限 lim 0
若不论曲线C的分法及点k的取法如何，当趋 向于零时Sn极限都存在，则称函数f(z)沿曲线
C

k 1
f ( k ) sk M sk ML
k 1
n
| f ( z) | ds ML.
C
3.复积分的基本计算方法 （ ◆ ）实曲线积分法 定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z) 沿C可积，且 C f ( z)dz C udx vdy i C vdx udy. k k ik , zk xk iyk , xk xk xk 1, yk yk yk 1 证： zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) xk iyk .
a a
b
b
f ( z (t )) z(t )dt.
a
b
z'(t) = x'(t) + i y'(t)
f ( z (t )) z(t ) [u (t ) iv(t )][ x(t ) iy(t )] [u (t ) x(t ) v(t ) y(t )] i[u (t ) y(t ) v(t ) x(t )]
2 0
1
(1 i )(1 i ) 2 t 2 dt
0 3 t (1 i ) (1 i )3 . 30 3
1 0
1
3 1

C
Im zdz Im[(1 i )t ]d((1 i )t ) t 1 i t (1 i )dt (1 i ) . 0 20 2
设f(z)沿曲线C连续，对任意z=z(t) C，有 f(z(t)) = u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t)) = u(t) +i v(t)

C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
(u (t ) x(t ) v(t ) y(t ))dt i (u (t ) y (t ) v(t ) x(t ))dt ,
F ( z ) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z) 必在D内解析，且有F '(z)=f(z). 证明：设 z, z +z D， z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z z z z 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z 1 z z f(z)连续，则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时， | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
周线：分段光滑的简单闭曲线简称为周线. 当观察者绕周线环行时, 如果周线内部在
观察者的左手方, 就规定这个环行方向为
周线的正向, 反之就叫负向.
定义3.1
设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起 点，B为终点，函数f(z)在曲线C上有定义. 1)分割 沿着C正方向在C上依次任取分点： z0=A, z1, …, zn-1, zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段

C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
f ( z )dz.
Cn
性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对任 意z C，满足| f(z)| M, 曲线C的长度为L,则

C
f ( z )dz | f ( z ) | ds ML,