量子光学基础第三章分析

N j nj aj a nj nj nj
ˆj 0 0 a
基态为真空态，表为
0 ，表示一个光子也没有，定义
ˆ 0 1 0 H j 基态能量 ,真空态能量不为零，由于频率求和没有 2 j 上限，总能量可以趋向无限，这是量子化电磁场的一个概念性的困难， 在实际问题讨论中，我们求的是能量的变化，无限大零点能不会对结果 带来影响。在量子电动力学中常利用重整化方法将零点能去掉，这样电 磁场哈密顿算符为 ˆ a ˆ a ˆ H
ˆ ), a ˆ )( a ˆ (a ˆa ˆ ) exp( i ˆ exp( i ˆa ˆ ) a
2
1
1
2
因此，1964年Susskind-Glogowev定义相位算符为 1 1 ˆ ) (a ˆa ˆ ) 2 a ˆ [n ˆ 1] 2 a ˆ exp(i
j j
光子数态有一个重要性质是在光子数态上，电场强度的平均值为0，
j i t i j t ˆ ˆ j u j ( r )e j a ˆ E i [a ] j u j ( r )e 2 j ˆ nj E nj 0
j 1 ˆ nj E2 nj (n j ) 2
2
在多模时， ˆ 1 ˆ ˆ H j (a a ) j j
j
。
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第一节 电磁场的量子化
3，光子数态
电磁场经量子化后变为光子场，电磁场状态将用不同状态光子数表 ˆ a n ˆ ˆ 示，光子数算符， N ，称光子数态，本 j j j a j ，它的本征态 征方程 ˆ ˆ ˆ
B D 0, E t D B 0, H t B H , D E
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第一章 电磁场的量子化
引入电磁矢势
A
，电场强度， E A A ， t
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第一节 电磁场的量子化
得到
ˆ) n 1 n 1 exp(i ˆ) n 1 n 1 exp(i

ˆ, a ˆ 算符 的矩阵元相似。 exp(i ˆ ) 不是 其它矩阵元为0，这与 a 算符 Hermite算符，不对应可观测量，可以定义以下Hermite算符
量子化后哈密顿算符
1 ˆ ˆ k a ˆ k ] H k [a 2 k
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第一节 电磁场的量子化
ˆk ˆ k 分别是电磁场中光子的产生和湮灭算符，量子化后， 量子化后 a ,a ˆ a 电磁场变成光子场， N ˆk ˆ k ˆk ˆ k 为光子数算符，光子为波色子， a k a ,a 满足波色对易关系 ˆ k , a ˆk ˆ ˆ ˆ ˆ [a ] a a a k k ， k ak kk 正则坐标与正则动量满足横对易关系
1 k
2 k
(ak u k (r )e ik t c.c)
2 ˆ 为波矢。 n ˆ 表示偏振方向，τ=1，2为两个偏振态，k e
1 i k ˆ e r u k (r ) V 2 e

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第一节 电磁场的量子化
正则动量
2 k A (iak u k (r )e ik t c.c) 2 1 k
ˆ ˆ (r t )] i T (r r ) [ A j (rt ), l jl
T表示垂直于电磁场传播方向，量子化后电磁场变成光子场，状态用光子 数表示。在一般量子电动力学中，认为光子没有确定位置，但自由光子 有确定动量和偏振方向，因此用波矢和偏振方向表示状态，为简单，后 面用j代替kτ，光子产生与湮灭算符为 ， ˆ ˆ a j ,aj 1 ˆ [a 电磁场能量 ˆ ˆ ， H j j aj ] 2 j 电场强度 j i t i t ˆ ˆ j u j ( r )e ˆ E i [a a u ] j j ( r )e 2
而电场强度的平方平均值不为0，
为什麽光子数态中电场强度平均值为0呢？这是由于光子数和相位是 不能同时确定的，即波的振幅和相位算符是不对易的，如粒子的坐标和 动量一样。光子数完全确定，相位完全混乱，相位完全混乱的场测其强 度平均值为零。下面讨论光场的相位问题。
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第一节 电磁场的量子化源自文库

j
j
j
j
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第一节 电磁场的量子化
类似于第一章对谐振子讨论，给出光子产生与湮灭算符对光子数态作 用的结果
ˆ j n j n j n j 1 a ˆ a j 0 1
ˆ a nj 1 nj 1 j nj
多光子态可以通过产生算符对真空态连续作用得到
nj ˆ (a j ) ( n j !)
j j
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第一节 电磁场的量子化
2，仿谐振子量子化方法
仿谐振子量子化方法又称驻波场的量子化方法，考虑单模场， 振动频率为ω，设想波在一维谐振腔中来回反射形成驻波，相应电 场强度， ˆq(t ) N sin kz E( zt ) x
ˆ 为偏振方向， x
N (2
2
方程，
，V归一化体积，ε介电常数。利用Maxwell D H y E H , x t z t ，
ˆ是不能同时确定的，下面给出它们的测不准关系，利用 ˆ, 和 这表明 n 量子力学中测不准关系的一般表示式，物理量F，G的均方差根的乘积

其中k为不同频率的波数，正则量子化方法就是将正则坐标和动量变 成算符， ˆ i k t ˆ ˆ A (ak uk (r )e ak uk (r )e ik t ) 2 k k
ˆ i
k

k i k t ˆ k uk (r )e ik t a ˆk (a ) u k ( r )e 2
k
V
)
1
2
得到， H ， ˆq (t ) N cos kz ( zt ) y
电磁场能量，利用
sin kz 1 ， 2
2
p q
2
2

k
1 c ，

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第一节 电磁场的量子化
有
1 dV (E 2 H 2 ) 2 V 1 2 2 2 1 2 2 2 V 1 2 (q V q ) ( 2 q 2 p 2 ) 2 2 V 2 V k 2 2 H
nj 1 2
0 , n j 0,1,2,
光子数态是正交完备的，满足
n j nl jl
n
j 0
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j
nj 1
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第一节 电磁场的量子化
即光子数态构成Hilbert空间中一个完备正交系，因此任意光子场的态 函数都可以用光子数态展开，
nj nj nj nj
这与谐振子哈密顿量相似，其中m=1，量子化将其中q，p变成算符，得
ˆ 1 ( 2 q ˆ2 p ˆ 2) H 2
取
ˆ q 1 ˆ a ˆ ), p ˆ ˆa ˆ ) (a (a 2 i 2
利用 [a ，得 ˆ, a ˆ ] 1
1 ˆ 1 ( 2 a ˆ a ˆ ˆa ˆ ) (a ˆ a ˆ ) H a 2 2 2 2
1
2
ˆ] a
1 2
1
2
ˆ, a ˆ ] (n ˆ 1) [n
ˆ) ˆ exp(i a
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ˆ
第一节 电磁场的量子化
相似 对易子
ˆ )] exp(i ˆ) ˆ, exp(i [n ˆ ] i sin ˆ ,[n ˆ ] i cos ˆ ˆ, cos ˆ, sin [n
量子光学基础
第三章，电磁场的量子化
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第三章 电磁场的量子化
第一章我们讲量子力学的基本知识，主要介绍原子系统的量子 化，引入二能级原子模型和Bloch方程，上一章介绍激光的半经典 理论，其中电磁场经典处理，原子系统量子化，半经典理论可以 讨论激光器的增益饱和、频率牵引、模式竞争、Lamb凹陷等问 题，这理论也可以用来讨论非线性光学中Raman散射与四波混频等 现象。但也有许多量子光学问题，半经典理论给不出正确的结果， 包括自发辐射、激光谱线宽度、共振荧光和压缩态等。对它们处理 必须用全量子理论，全量子理论不仅原子系统量子化，电磁场也要 量子化。 本章介绍电磁场的量子化及量子化电磁场的性质。分以下几节： 1，电磁场的量子化； 2，相干态与电磁场的相干性质； 3，电磁场的表示； 4，量子噪声.
ˆ ＞＞1时，得到 当 n ˆ ), exp(i， ˆ )] 1 [exp( i
将相位算符作用于光子数态有
1 1
ˆ ) n [n ˆ 1] exp(i n (n 1 1)
同理
1 2
2
ˆ n [n ˆ 1] a
2
n n 1
n 1 n 1
ˆ) n n 1 exp(i
ˆ) a ˆ [n ˆ 1] exp(i
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1 2
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第一节 电磁场的量子化
ˆ 其中
为相位算符，上两式两边相乘得
ˆ ) exp(i ˆ) 1 exp(i ˆ ) exp(i ˆ) a ˆ (n ˆ 1) 1 a ˆ exp(i ˆ ), exp(i ˆ )] 1 a ˆ (n ˆ 1) 1 a ˆ [exp( i
4，光子的相位算符
从经典物理知道，对各种波动现象的研究，特别是波的相互作用的 研究，包括波的干涉和衍射，其中最重要的量就是相位，如两光相干的 条件是同频率、同振动方向和恒定的相位差。前面指出量子化以后的电 磁场，振幅与相位不能同时确定。前面仅讨论振幅的量子化，现在讨论 电磁场相位的量子化，引入光子相位算符和相位算符的本征态。 在经典电磁场理论中，通常将复振幅写成实振幅与相位因子的乘积 ， ˆ, a ˆ写成振幅与相位算符的乘积， A A ei 相似的也可以将算符 a
磁感应强度 ， B A
矢势满足方程
在库仑规范下 ，
A 0
2 A 2 A 2 t
2
在真空中， 0 0 1/ c ，方程写为
取 A 为正则坐标，系统拉氏函数密度， 1 L (E 2 H 2 ) 2
2 1 A ， 2 A 2 2 c t
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第一节 电磁场的量子化
在分析力学中正则动量为 L A E D A 系统的哈密顿量
1 H ( A L)dV (E 2 H 2 )dV 2
电磁场包括各种不同频率波，因此取
2 A
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第一节 电磁场的量子化
对电磁场量子化有两套方法，正则量子化和仿谐振子量子化方法， 下面分别介绍：
1，电磁场的正则量子化
正则量子化就是对系统引入相应正则坐标和正则动量，而其它物理 量写成坐标和动量的函数，然后将坐标,动量量子化，并完成其它物理量 的量子化，特别引入量子化的哈密顿量。在电磁场中正则坐标就是电磁 矢势，而电场强度与磁场强度都用电磁矢势 A 来表示，对其量子化， 就完成电磁场的量子化。 自由电磁场中Maxwell方程：
1 ˆ [exp( ˆ ) exp(i ˆ )] cos i 2 1 ˆ [exp( ˆ ) exp(i ˆ )] sin i 2i
下面计算它们与光子数算符的对易关系
ˆ )] [n ˆ, exp(i ˆ, (n ˆ 1) [n ˆ 1) (n
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