3-2弹簧扭转解析

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8 DP K 3 d
3
64 R n P 4 Gd
例 3 。圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm ，簧丝直径
为：d=18mm ， 受拉力 P=500N 的作用，试求最大切应力的近似值
和精确值；若 G=82GPa ，欲使弹簧变形等于 6mm ，问：弹簧至 少应有几圈？ 解：、最大切应力的近似值： d 8 DP 18 8 0.125 500 t max ( 1) ( 1) 3 2D d 2 125 0.018 3 18 27.3 * ( 1) 29.3 MPa 2 125 、最大切应力的精确值
h 1 对于狭长矩形 (即 : 10 ) ; ) b 3
（二）、闭口薄壁截面杆的切应力分布如图（b）: 1，同一厚度处，应力均匀分布； 2，边缘(内部)切应力流的方向与扭矩
方向一致。
3，切应力流为常量∶
M Tn
T
t
图（b）
A
图（c）
T A
利用切应力互等定理， 考虑单元体的平衡
上
弹簧、非圆杆
下
2018年10月10日星期三
§3－6 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算
T
P P
T P
=
t
Q
+
t
T
应 力 的 近 似 值 ：
t max t Q t T
1 、 T
应 力 的 计 算
P
=
t
Q
+
t
T
t max
PD Q T P d 8 DP 2 tQ tT ( 1) 2 3 d A W p d 2D d 3 4 16
Tn M 2 min 2t ab
T n M
5000 42 MPa 9 2 5 50 75 10
X 0
表 面
图（c）
(dx 1 )t 1 (dx 2 )t 2
横截面
纵向轴截面
dx
τ2
t 1 1 t 2 2 常量
δ2
δ1
τ1
T (t ds ) t 2d 2t

r
t
T 2
t max
T 2 min
4，壁厚越薄处切应力越大
I P 0.229 0.1 0.05 286 10 m
3
8
4
Mn 4000 9 8 GI P 80 10 286 10 0.01745rad / m 1 / m
o
综上,此杆满足强度和刚度要求。
§3－7 、薄壁截面杆在自由扭转时的应力
二、约束扭转：
翘曲
杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲
程度不同。约束扭转时，横截面上有正应力。
三、矩形杆横截面上的切应力: 1、切应力分布如图：
b
角点、形心切应力为零； 长边中点切应力最大； 短边中点切应力次大。 2、最大切应力∶
t max
h
t1
注意！ hb
Mn
T
t max
T WP
解：、查表，求、
长 边 100 2; 短 边 50
、校核强度
0.246; 0.229
2
W
p
6 3 0.246 0.1 0.05 61.6 10 m
t
max

T max WP
4000 65MPa t 6 61.6 10
、校核刚度。
4
6
64 500 0.1253
6.6 (圈)
上
弹簧、非圆杆
下
§3－7 非圆截面等直杆在自由扭转时 的应力和变形
一、自由扭转： 二、约束扭转： 三、矩形杆横截面上的切应力: 四、薄壁截面杆在自由扭转时的应力
一、自由扭转：
杆件扭转时，横截面翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度
完全相同。 自由扭转时， 横截面上无正应力。
1 1 T 2 U dU t dV ( ) LdA 2 2G I P V V V
1 T2 2Rn( PR)2 L 2G I P 2GI P
1 外 力 功: W P 2
W U 64R 3 n P P 4 Gd K Gd 4 K 为弹簧常数 . 3 64R n


1 ds 2

d 为 厚 度 中 线 所 包 围 的 积 面.
例 2。 下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm， b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆 的最大切应力。 解：闭口薄壁杆自由扭转时的最 大切应力： t a b
t max
(一)、开口薄壁截面杆的切应力分布如图（a）∶ 1，厚度中线点处，应力为零 2，边缘最大 3，外边缘切应力流方向与 扭矩方向一致 T
T
图（ a ）
4，最大切应力在壁厚最厚处∶
t max
T tmax In
1 3 I n hi b i 3
hi bi
5，扭转角∶
T
1 3 I n hi bi 3
D C d

125 15 .63 ; K 4C 1 0.615 1.09 18 4C 4 C
t max K
8 DP
d
3
1.09
8 0.125 500
0.018
3
33.2 MPa
、弹簧圈数：
n
Gd
4
64PR 3

6 82 18 10
WP hb 2
hb
t 1 tmax
b
3、单位扭转角∶
t max
h
T GI P
IP h b
3
t1
注意！ hb
Mn
T
αβγ查表
h 1 对于狭长矩形 (即 : 10 ) ; ) b 3
例 1。一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：b=100 mm， h=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 M=4000Nm 的作用 ， 钢的G=80GPa ，[t]=100M Pa，[ ]=1º /m ，试校核此杆的强度和 刚度。
t max
d 8 DP ( 1) 3 2D d
精确值 : t max
8 DP K ; 3 d
4C 1 0.615 D 其中: K ;C 4C 4 C d
2、 簧丝的强度条件:
称为弹簧指数
t max K
8 DP
d
3
t max
3、 弹簧位移的计算(能量法） 变性能