无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)

第四章 无约束优化方法

——最速下降法，牛顿型方法

概述

在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。

为什么要研究无约束优化问题?

（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。

所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。

二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。

无约束优化问题的一般形式可描述为：

求n 维设计变量 []1

2T

n n X x x x R =∈

使目标函数 ()min f X ⇒

目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法

可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方程

0)(min *=X f

的解。也就是求Ｘ＊使其满足

解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。

2、数值方法

数值迭代法的基本思想是从一个初始点)

0(X

出发，按照一个可行的搜索方向)

0(d

搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)

0(d 方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步

地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为

),2,1,0()

()

()

1( =+=+k d

X

X

K K K K α （4.2）

在上式中， ()

K d 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。

由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜

索方向)

(k d 和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了

如何在搜索方向)

(k d 上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向)

(k d 。

最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示：

0)

(0)

(0)

(*2*1*=∂∂=∂∂=∂∂n

x X f x X f x X f

无约束优化方法可以分为两类。一类是通过计算目标函数的一阶或二阶导数值确定搜索方向的方法，称为间接法，如最速下降法、牛顿法、变尺度法和共轭梯度法。另一类是直接利用目标函数值确定搜索方向的方法，称为直接法，如坐标轮换法、鲍威尔法和单形替换法。各种无约束优化方法的区别在于确定其搜索方向0d 的方法不同。

4．1最速下降法

最速下降法是一个求解极值问题的古老算法，1847年由柯西（Cauchy ）提出。 4.1.1最速下降法的基本原理

由第二章优化设计的数学基础可知，梯度方向是函数增加最快的方向，负梯度方向是函数下降最快的方向，所以最速下降法以负梯度方向为搜索方向，每次迭代都沿着负梯度方向进行一维搜索，直到满足精度要求为止。因此，最速下降法又称为梯度法。由公式（4.2）

),2,1,0()

()

()

1( =+=+k d

X

X

K K K K α

可知，若某次选代中己取得点)(k X ，从该点出发，取负梯度方向

)

()()

()()(k k k X f X f d ∇∇-= 为搜索方向。则最速下降法的迭代公式为

()(1)

()

()()(0,1,2,)()

k K K K

k f X X

X

k f X α+∇=-=∇ （4.3）

当第ｋ次的迭代初始点)

(k X 和搜索方向)

(k d 已经确定的情况下，原目标函数成为关于

步长α的一维函数。即

()()()()K K f X S ϕαα=+

最优步长K α可以利用一维搜索的方法求得

(1)

()

()()

()

min ()()()min ()k K k K k k f X

f X

d f X d α

α

ϕααα+==+=+

根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数的求导公式，得

()()()

()()()0T

K k K f X d f X ϕαα⎡⎤'=-∇+∇=⎣⎦

(1)()

()()0T

K K f X f X +⎡⎤∇∇=⎣⎦

或写成 (1)()

[]0K T k d d +=

由此可知，在最速下降法中相邻两个搜索方向互相正交。也就是说在用最速下降法迭代求优的过程中，走的是一条曲折的路线，该次搜索方向与前一次搜索方向垂直，形成“之”字形的锯齿现象，如图4.1所示。最速下降法刚开始搜索步长比较大，愈靠近极值点其步长愈小，收敛速度愈来愈慢。特别是对于二维二次目标函数的等值线是较扁的椭圆时，这种缺陷更加明显。因此所谓最速下降是指目标函数在迭代点附近出现的局部性质，从迭代过程的全局来看，负梯度方向并非是目标函数的最快搜索方向。