地下水环境影响评价

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有限元中的基函数

三角形单元

试探函数
~ C a1 a 2 x a3 y

基函数 （结点i，j，m按逆时针编号）
1 l (al bl x d l y ) 2
a i x j y m x m y j a j x m y i xi y m a x y x y i j j i m
Rd 0

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RWi d 0
(i 1,2, , M )
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有限元法(FDM)

加权余量法
• 根据权函数Wi的选择方法不同，可以得到 各种计算方法 • 伽辽金法选取权函数Wi为基函数Φi，即Wi = Φi


~ i L(u ) f d 0
(i 1,2, , M )
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边界元法(BEM)

基本步骤

2、在任意边界段 上，引进局部坐标 系（ξ，η），找出 浓度及其法向导数 的表达式；在区域 内部的浓度可用线 性插值基函数表示
C ( x, y , t ) N j ( x, y )C j (t )
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有限元法(FDM)

加权余量法
• 余量R ：R＝L(Ũ)—f

2、使余量R在某种意义下达到最小，找出待 求参数uj
• 简单的办法是使R在区域平均意义下为零

• 但是，这对于M个未知数来说仅能得到一个方程。 为了得到M个方程：通过选取权函数W(i＝1， 2，…，M)，使每个加权的余量在积分意义下为零

伽辽金 (Galerkin)有限单元法
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有限元法(FDM)

基本步骤——加权余量法 (Method of Weighted Residuals)

设微分方程：L(u) — f＝0
1、用一组有限级数Ũ代替未知函数u
试探函数
~ u u j j
j 1
M
基函数 形状函数 插值函数
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有限差分法(FDM)

基本步骤

（1）剖分渗流区，确定离散点 （2）建立水动力弥散问题的差分方程组 （3）求解差分方程组
• 点逐次超松驰方法(SOR) • 线逐次超松驰方法(LSOR) • 交替方向隐式迭代法(IADI)及强隐式方法(SID)等
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(Cui Dij
•
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C ) ni xi
f 3 ( x, y , z, t )
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数学模型的求解方法

解析法
• 简单条件下的溶质运移模型 • 表达式过于复杂而难于实际应用

数值模拟法
• 有限差分法（Finite Difference Method） • 有限单元法(Finite Element Method) • 边界元法 (Boundary Element Method)




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有限元中的基函数

线单元

试探函数
( x x )C1 ( x x1 )C2 ~ C ( x) 2 x2 x1

单元e的基函数
x2 x e 1 x x 2 1 x x1 e 2 x 2 x1 x1 x x2
bi y j y m b j y m yi bm y i y j d i xm x j d j xi x m d m x j xi
(l i , j , m)
1 xi yi yj ym
1 xj 1 xm
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有限元中的基函数
(对于光滑边界) (对于折线边界)
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M C ( M 0 ) C
0
M
0
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边界夹角的弧度
边界元法(BEM)

基本关系

可以统一写为
M C ( M 0 ) C
0
C G G dsM GCdxdy n n
O(△t2+△x2)
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有限元法(FDM)

基本思想

把研究区域剖分为有限个子区域

在每个子区域上用某种插值函数来近似 待求解的未知函数
得到求解相应偏微分方程的线性代数方 程组

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有限元法(FDM)

种类

里兹(Ritz)有限单元法
• 基于变分原理，从泛函取极小的变分问题 出发进行离散化的 • 寻找泛函往往较为困难，常对原方程进行 适当变换，但这种变换常引起较大的误差， 而导致计算失败
Green第二公式：
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(u v v u)dxdy (u

v u v )ds n n
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边界元法(BEM)


基本关系

若取
u C v ln rM 0 M G
若M与M0重合，G在M0点 产生的奇异性，不能应用 Green第二公式。为此， 可做一个以M0为圆心，ε 为半径的园，把M0包围起 来，余下的区域使用第二 公式


d 2 f f ( x x ) 2 f ( x ) f ( x x ) 4、二阶导数的差分 2 dx x 2
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差分方程的 相容性、收敛性、稳定性

相容性
• 导数与其差分近似式之间存在截断误差 • 当时间步长△t和空间步长△x都趋近于零时，差分 方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式 就是原偏微分方程

运移方程
• (i,j=1,2,3)
C C ( Dij ) (Cui ) I t xi x j xi
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污染物迁移的数学模型

初始条件
• 区域(Ω)上所有点在某一初始时刻t=0时的 浓度分布
C ( x , y , z , t ) t 0 C 0 ( x , y , z )
数学模拟法
在区域水文地质特征调查基础上，根据污染途 径分析，通过建立数学模型，获取计算参数等 步骤进行的 数学模式包括污染物迁移和水质评价两大类 在污染物迁移模式中，可视情况和条件采用数 值方法或解析法，而模式中所需参数需要经过 现场调查、现场试验及实验室测量来获取
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污染物迁移的数学模型
ACin1 BCin 1 ECin1 Cin 1 1
2、隐式差分格式
浓度取tn+1,
O(△t+△x2)
u 2 DL x

3、Crank-Nicolson差分格式
ACin1 BCin 1 ECin1 ACin1 FCin ECin1 1 1
M
0
2 ( M 0 位于内部) ( M 0 位于光滑边界上) ( M 0 位于边界的转折点上)
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边界元法(BEM)

基本步骤

1、先把边界离散为N 个结点，每个结点用 直线相连，该联线称 为边界单元，外边界 上的结点编号顺序为 顺时针，内边界上结 点编号顺序为逆时针。 然后把区域Ω离散为 NT个三角形单元。
差分与导数
（Tarley级数）

几种导数的差分近似

1、一阶向前差分 2、一阶向后差分 3、一阶中心差分
df f ( x x ) f ( x ) dx x
df f ( x ) f ( x x ) dx x
df f ( x x ) f ( x x ) dx 2x
地下水环境影响评价
评价方法
类比法
由于污染物的迁移除取决于污染物本身特征外，还取决 于环境水文地质条件和水文地球化学条件 环境水文地质和地球化学条件的相似性决定了其污染影 响的可比性 在查明相似工程项目及其所处地区的环境水文地质条件 和地球化学基础上，通过量化处理，即可对拟建项目的 环境影响范围、大小做出评估 在量化处理中将开发因素与环境后果都概化为数值指标， 并确定出类比系数。依此，即可进行环境影响预测
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边界元法(BEM)

基本原理

Green第一公式、第二公式
• 令
v P u x v Q u y
Green第一公式：
u v u v u dxdy u vdxdy u ds x x y y n
ne
~ • 当待求函数为浓度C时 C C j j
j 1
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有限元法(FDM)

加权余量法

3、将试探函数式代入权剩余方程，把 权剩余在整个区域上的积分化为在各个 单元上的积分，然后求和，便得到一个 方程组

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MM e ~ ~ i L(C ) f d j L(C ) f d 0 e 1

C为浓度 G称为Green函数，为 区域Ω中任意一固定点 （即基本点）M0（x0， y0）至动点M（x，y） 的距离
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边界元法(BEM)

基本关系

如果点M0位于边 界上，也可作类似 处理，即以M0为 圆心，ε为半径作 一半园（园缺）。
C G G dsM GCdxdy n n
2
实例：
利用稳定铬同位素（53Cr/52Cr）在Cr（VI） 被还原过程中发生的同位素分馏机理可定量评 价含水层对Cr（VI）的还原速率和还原能力
这样，只要我们掌握了一个地区特定含水层中 铬同位素（53Cr/52Cr）的变化规律，就可 以定量预测Cr（VI）在该含水层中的被还原情 况
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评价方法

基本思想

基于Green公式和Green函数


把问题的解表示为沿区域边界的积分
在计算上把三维问题约化为二维问题， 把二维问题约化为一维问题 能方便并且精确地处理作为奇点的井点

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边界元法(BEM)

基本原理Baidu Nhomakorabea

Green公式
• 表示平面上的曲线积分与二重积分之间的 关系
P Q x y dxdy P cos(n, x ) Q cos(n, y )ds
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差分格式


C 2C C DL 2 u t x x
0 x L, 0 t T
格式不同，其截断误差、稳定性条件不同
1、显式差分格式
浓度取tn, O(△t+△x2)
DL t 1 x 2 2
ut 1 x
Cin 1 ACin1 BCin ECin1

三角形单元

基函数的性质
l=i, j, m
• —φl在结点l上为1，在其它两个结点上为0 • —φl沿着三角形的边随距离作线性变化 • —φl在三角形中心处的值等于1/3 • —在结点l的对边上，φl＝0
• —在单元上任一点处都有：φi +φj +φm＝1

矩形单元
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边界元法(BEM)
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1、有限差分法(FDM)

基本思想


按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖 分成若干网格 用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差 分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导 数 把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散 为有限个代数方程 求解此线性代数方程组，以求出溶质在各网 格结(节)点上不同时刻的浓度
• 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种 相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程
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差分方程的 相容性、收敛性、稳定性

收敛性
• 指差分方程的解，即当步长△t、△x→0时收敛于 原偏微分方程的解

稳定性
• 差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进 的过程中，误差也逐步积累 • 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的； 若这种误差积累无界，则差分方程是不稳定的
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污染物迁移的数学模型

边界条件
• 第一类边界条件，边界上浓度是已知的
C ( x, y , z, t ) f1 ( x, y , z, t )
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• 第二类边界条件，边界上弥散通量是已知
Dij C x j f 2 ( x, y , z , t )
2
• 第三类边界条件，边界上溶质通量是已知