连续系统的数字仿真
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目 录
第一章
绪论
第二章 系统建模方法
第三章 连续系统数字仿真
第四章 模型的校核、验证与确认 第五章 离散事件系统仿真简介
第三章 连续系统数字仿真
概述
本章讨论经典的连续系统数字仿真的原理与方法， 内容包括连续系统数字仿真的基本概念、经典的数值积 分法、经典的线性多步法等。 3.1节讨论离散化原理及要求，这是连续系统仿真的 基础； 3.2节对经典的数值积分法——龙格—库塔法及其他 典型的数值积分法仿真建模原理进行详细分析，并 通过实例说明其应用要点； 3.3节对经典的线性多步法进行了介绍。
13
设 是规定的足够小正数，称作允许误差。 i 1 2 称 i 1 1称作第一次校正；i 1 ， 若i 0 ， 作第二次校正。
i 1 i y y 通过反复迭代，直到满足 k 1 k 1 ，这时 ( i 1) yk 1 就是满足误差要求的校正值。
称为实时仿真，则 Tk hk 称为超实时仿真，而大多 数情况是 Tk hk ，对应于离线仿真。
k k
8
连续系统数字仿真中最基本的算法是数值积分算
法。 对于形如 y f ( y, u, t ) 的系统，已知系统变量y的初始 条件 y(t0 ) y0 ，现在要计算y随时间变化的过程 y(t ) 。
yk hf (tk , yk )
（3.4） （3.5）
1 (i ) yk h[ f (tk , yk ) f (tk 1 , yk 1 )] 2
(3.4)式称为预报公式，(3.5)式称为校正公式。用欧拉法 ( i 1) (i ) y 估计 yk 1的值，代入校正公式得到 k 1 的校正值 yk 1 。
4
u(t)
原连续模型 y f ( y, u , t )
y(t) + ey(tk)≈0
h
u (tk )
仿真模型 y f ( y , u , t k )
y (tk )
图3.1 相似原理示意图
5
设系统模型(参见图3.1)为 y f ( y, u, t ) ，其中 u(t ) y(t ) 为系统变量。令仿真时间间隔为h，离 为输入变量， 散化后的输入变量为 u (tk ) ，系统变量为 y (tk ) ，其中t k 表示t kh 。如果 u (tk ) u(tk ) ， y(tk ) y(tk ) ， eu (tk ) u (tk ) u(tk ) 0 即ey (tk ) y(tk ) y(tk ) 0 ， (对所有k＝0，1，2…)，则可认为两模型等价，这称为 相似原理。
欧拉法用矩形面积近似表示积分结果，也就是 y(t1 ) 的近似值为 y1 ： 当 t t1 时，
y(t1 ) y1 y0 tf (t0 , y0 )
重复上述做法，当 t t2 时，
y(t2 ) y2 y1 (t2 t1 ) f (t1, y1 )
（3.2）
11
所以，对任意时刻 tk 1 ，有：
12
1 y (tk 1 ) yk 1 yk h[ f (tk , yk ) f (tk 1 , yk 1 )] 2 （3.3）
可见，梯形法是隐函数形式。采用这种积分方法，其最 简单的预报-校正方法是用欧拉法估计初值，用梯形法 校正，即：
y
y
( i 1) k 1
(i ) k 1
9
计算过程可以这样考虑(参见图3.2)：首先求出初始点
y(t0 ) y0 的 f (t0 , y0 )，对微分方程积分，可以写作
f(t,y)
y(t ) y0 f (t , y)dt
t0
t
（3.1）
f(t0,y0)
t0 0 ⊿t
t1 t
10
图3.2 数值积分原理
图3.2所示曲线下的面积就是 y(t ) ，由于难以得到f ( y, u, t ) 积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行了长期探 索，其中欧拉法是最经典的近似方法。
3ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 离散化原理及要求
在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇 到的问题是，数字计算机的数值及时间均具有离散性， 而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何 用前者来实现。
连续系统仿真，从本质上是从时间、数值两个方 面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法 来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模 型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表 原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决 的问题。
(2)准确性 有不同的准确性评价准则，最基本的准 则是： 绝对误差准则： ey (tk ) y (tk ) y (tk )
7
y (tk ) y (tk ) 相对误差推则：e y (tk ) y (tk )
其中 表示规定的误差量。 (3)快速性 数字仿真是一步一步推进的，即由某 y (t2 ) ，… 一初始值 y (t0 ) 出发，逐步计算，得到 y (t1 ) ， y (tk ) 。每一步计算所需时间决定了仿真速度。如果第k 步计算对应的系统时间间隔为hk tk 1 tk ，计算机由 y (tk ) 计算 y(tk 1 ) 需要的时间为 Tk ，那么，若 T h
6
ey (tk ) 0 是很困难的。 实际上，要完全保证eu (tk ) 0 ，
进一步分析离散化引入的误差，随着计算机技术的发展， 由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积 分算法，也称为仿真建模方法。相似原理用于仿真时， 对仿真建模方法有三个基本要求： (1)稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得 到的仿真模型也应是稳定的。
y(tk 1 ) yk 1 yk (tk 1 tk ) f (tk , yk )
令 tk 1 tk hk 称为第 k 步的计算步距。若积分过程中 步距 hk h不变，则可以证明，欧拉法的截断误差正比 于h2 。 为进一步提高计算精度，人们提出了“梯形法”。 令 tk 1 tk hk h ， 已知 t tk 时y (tk ) 的近似值 yk ， 那么，梯形法近似积分形式如下式所示：
第一章
绪论
第二章 系统建模方法
第三章 连续系统数字仿真
第四章 模型的校核、验证与确认 第五章 离散事件系统仿真简介
第三章 连续系统数字仿真
概述
本章讨论经典的连续系统数字仿真的原理与方法， 内容包括连续系统数字仿真的基本概念、经典的数值积 分法、经典的线性多步法等。 3.1节讨论离散化原理及要求，这是连续系统仿真的 基础； 3.2节对经典的数值积分法——龙格—库塔法及其他 典型的数值积分法仿真建模原理进行详细分析，并 通过实例说明其应用要点； 3.3节对经典的线性多步法进行了介绍。
13
设 是规定的足够小正数，称作允许误差。 i 1 2 称 i 1 1称作第一次校正；i 1 ， 若i 0 ， 作第二次校正。
i 1 i y y 通过反复迭代，直到满足 k 1 k 1 ，这时 ( i 1) yk 1 就是满足误差要求的校正值。
称为实时仿真，则 Tk hk 称为超实时仿真，而大多 数情况是 Tk hk ，对应于离线仿真。
k k
8
连续系统数字仿真中最基本的算法是数值积分算
法。 对于形如 y f ( y, u, t ) 的系统，已知系统变量y的初始 条件 y(t0 ) y0 ，现在要计算y随时间变化的过程 y(t ) 。
yk hf (tk , yk )
（3.4） （3.5）
1 (i ) yk h[ f (tk , yk ) f (tk 1 , yk 1 )] 2
(3.4)式称为预报公式，(3.5)式称为校正公式。用欧拉法 ( i 1) (i ) y 估计 yk 1的值，代入校正公式得到 k 1 的校正值 yk 1 。
4
u(t)
原连续模型 y f ( y, u , t )
y(t) + ey(tk)≈0
h
u (tk )
仿真模型 y f ( y , u , t k )
y (tk )
图3.1 相似原理示意图
5
设系统模型(参见图3.1)为 y f ( y, u, t ) ，其中 u(t ) y(t ) 为系统变量。令仿真时间间隔为h，离 为输入变量， 散化后的输入变量为 u (tk ) ，系统变量为 y (tk ) ，其中t k 表示t kh 。如果 u (tk ) u(tk ) ， y(tk ) y(tk ) ， eu (tk ) u (tk ) u(tk ) 0 即ey (tk ) y(tk ) y(tk ) 0 ， (对所有k＝0，1，2…)，则可认为两模型等价，这称为 相似原理。
欧拉法用矩形面积近似表示积分结果，也就是 y(t1 ) 的近似值为 y1 ： 当 t t1 时，
y(t1 ) y1 y0 tf (t0 , y0 )
重复上述做法，当 t t2 时，
y(t2 ) y2 y1 (t2 t1 ) f (t1, y1 )
（3.2）
11
所以，对任意时刻 tk 1 ，有：
12
1 y (tk 1 ) yk 1 yk h[ f (tk , yk ) f (tk 1 , yk 1 )] 2 （3.3）
可见，梯形法是隐函数形式。采用这种积分方法，其最 简单的预报-校正方法是用欧拉法估计初值，用梯形法 校正，即：
y
y
( i 1) k 1
(i ) k 1
9
计算过程可以这样考虑(参见图3.2)：首先求出初始点
y(t0 ) y0 的 f (t0 , y0 )，对微分方程积分，可以写作
f(t,y)
y(t ) y0 f (t , y)dt
t0
t
（3.1）
f(t0,y0)
t0 0 ⊿t
t1 t
10
图3.2 数值积分原理
图3.2所示曲线下的面积就是 y(t ) ，由于难以得到f ( y, u, t ) 积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行了长期探 索，其中欧拉法是最经典的近似方法。
3ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 离散化原理及要求
在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇 到的问题是，数字计算机的数值及时间均具有离散性， 而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何 用前者来实现。
连续系统仿真，从本质上是从时间、数值两个方 面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法 来近似积分运算，由此得到离散模型来近似原连续模 型。如何保证离散模型的计算结果从原理上确能代表 原系统的行为，这是连续系统数字仿真首先必须解决 的问题。
(2)准确性 有不同的准确性评价准则，最基本的准 则是： 绝对误差准则： ey (tk ) y (tk ) y (tk )
7
y (tk ) y (tk ) 相对误差推则：e y (tk ) y (tk )
其中 表示规定的误差量。 (3)快速性 数字仿真是一步一步推进的，即由某 y (t2 ) ，… 一初始值 y (t0 ) 出发，逐步计算，得到 y (t1 ) ， y (tk ) 。每一步计算所需时间决定了仿真速度。如果第k 步计算对应的系统时间间隔为hk tk 1 tk ，计算机由 y (tk ) 计算 y(tk 1 ) 需要的时间为 Tk ，那么，若 T h
6
ey (tk ) 0 是很困难的。 实际上，要完全保证eu (tk ) 0 ，
进一步分析离散化引入的误差，随着计算机技术的发展， 由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积 分算法，也称为仿真建模方法。相似原理用于仿真时， 对仿真建模方法有三个基本要求： (1)稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得 到的仿真模型也应是稳定的。
y(tk 1 ) yk 1 yk (tk 1 tk ) f (tk , yk )
令 tk 1 tk hk 称为第 k 步的计算步距。若积分过程中 步距 hk h不变，则可以证明，欧拉法的截断误差正比 于h2 。 为进一步提高计算精度，人们提出了“梯形法”。 令 tk 1 tk hk h ， 已知 t tk 时y (tk ) 的近似值 yk ， 那么，梯形法近似积分形式如下式所示：