专题11 直角三角形的应用与解直角三角形(解析版)

专题11解直角三角形及其应用

一、选择题

1、下列计算错误的个数是（ ）

①sin60°-sin30°=sin30°②sin 245°+cos 245°=1

③（tan60°）2=13④tan30°=cos30sin 30o

o A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

答案：C

分析：根据特殊角三角函数值，可得答案．

解答：A 12

≠sin30°，故A 错误； B .sin 245°+cos 245°=1，故B 正确；

C .（tan60°）2=3，故C 错误；

D .tan30°=

3030sin cos ︒︒

，故D 错误； 选C ．

2、如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CBA ∠等于（ ）

A. 45

B. 35

C. 34

D. 答案：A

分析：过点C 作CD ⊥AB ，根据勾股定理求出BC 长，在Rt △CDB 中cos =BD CBA BC

∠，即可求解．

解答：过点C 作CD ⊥AB ，

∴5BC ==

在Rt △CDB 中 ∴4cos =

5

BD CBA BC ∠= 选A

3、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）

A. 3sin α米

B. 3cos α米

C. 3sin α米

D. 3cos α

米 答案：A 分析：直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α=

=，进而得出答案． 解答：解：由题意可得：sin 3

BC BC AB α=

=， 故()3sin BC m α=．

选A

4、如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．

A. 30+

B. 30+

C. 10+

D. 答案：B

分析：根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ︒∠=，60BCD ︒∠=；根据直角三角形的性质求解即可．

解答：解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D .可得AB =652045DAB ︒︒︒∠=-=

204060DCB ︒︒︒∠=+=

所以可得cos 4530AD AB ︒===g

sin 45302

BD AB ︒===

tan 60BD CD ︒===

因此可得30AC AD CD =+=+选B ．

5、如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是（ ）

A. B. 60nmile C. 120nmile D. (30+nmile 答案：D

分析：过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．

解答：过C作CD⊥AB于D点，

∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．

在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC

，

∴CD=AC•cos∠ACD=

在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，

∴CD=BD，

∴AB=AD+BD

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（nmile．

选D．

6、南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（）

A. a sin α+a sin β

B. a cos α+a cos β

C. a tan α+a tan β

D. tan tan a a αβ+ 答案：C

分析：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝a tan α，BD ＝a tan β，得出CD ＝BC +BD ＝a tan α+a tan β即可．

解答：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tan α＝

BC AB ，tan β＝BD AB

， ∴BC ＝a tan α，BD ＝a tan β，

∴CD ＝BC +BD ＝a tan α+a tan β，

选C ．

7、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）

A. 12

B. 2

C.

D. 答案：A

分析：连接AC ，根据勾股定理求出AC 、BC 、AB 的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，根据正切的定义计算即可．

解答：连接AC ，

由网格特点和勾股定理可知，

AC AB BC ==

AC 2+AB 2=10，BC 2=10，

∴AC 2+AB 2=BC 2，

∴△ABC 是直角三角形，

∴tan ∠ABC =1

2

AC AB ==． 8、如图，点(4,0)C ，(0,3)D ，(0,0)O ，在A e 上，BD 是A e 的一条弦，则sin OBD ∠=（ ）

A. 12

B. 34

C. 45

D. 35

答案：D

分析：连接CD ，可得出∠OBD =∠OCD ，根据点D （0，3），C （4，0），得OD =3，OC =4，由勾股定理得出CD =5，再在直角三角形OCD 中利用三角函数即可求出答案． 解答：连接CD ，

∵D （0，3），C （4，0），

∴OD =3，OC =4，

∵∠COD =90°，

∴5CD ==，

∵∠OBD =∠OCD ，